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第五章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线经过，两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．当时，二次函数的最小值为－1，则a的值为（ ）
A．-2 B．±2 C．2或 D．2或
4．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）

A． B．8 C． D．
5．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．如果点M(-2，y1)，N(-1，y2)在抛物线y=－x2+2x上，那么下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2．
7．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5
10．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图像如图2，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形的最大面积为8平方米 B．与之间的函数关系式为
C．当时，矩形的面积最大 D．的值为12
11．二次函数的图像如图所示，那么、、、 这四个代数式中，值为正的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．抛物线与的开口大小、形状一样、开口方向相反，则 ．
14．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为 ．
15．已知为函数图像上的两点，比较与的大小： （填>，<或=）．
16．如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm．请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S= ．长方形的体积为V= ，各边长的和L= ．
17．二次函数的最小值 ．
三、解答题
18．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．

(1)则k的值为____；对称轴为_____．
(2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______．
(3)请画出该函数图象．
19．已知块边长为的正方形草地．

(1)如图1，先将正方形草地的一条边减少，再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则　　　　　（填“是“或“不是”）关于x的函数．
(2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为，
①写出y与x之间的函数关系式，
②当时，求y的值．
20．如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，
(1)为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？
21．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）直接写出A点B点坐标及抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
22．如图，一条抛物线经过(－2，5)，(0，－3)和(1，－4)三点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)假如这条抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点A在点B左侧，试判断△OCB的形状．
23．已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
24．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
《第五章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D C A A A B D
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误．
故选：．
2．A
【思维构建】已知抛物线开口向上，且，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离．
，分别位于抛物线对称轴的两侧，或，，由题意得，抛物线的对称轴是直线．，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又，，即．，．综上所述，．
3．A
【分析】将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可．
【详解】解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x=-a．
∴当-a≤1时，即a≥-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y有最小值=1+2a+3=4+2a，
∴4+2a=-1，
∴a=-，不合题意，舍去．
当1<-a<3时，x=-a，y有最小值3-a2．
∴3-a2=-1．
∴a2=4，
∵1<-a<3，
∴a=-2．
当-a≥3时，即a≤-3，当1≤x≤3，y随x的增大而减少．
∴当x=3时，y有最小值=9+6a+3=12+6a．
∴12+6a=-1．
∴a=-．
∵a≤-3．
∴不合题意，舍去．
综上：a=-2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．
4．D
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，

由题意可知各点坐标为，，，
设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式，
∴，解得：，
∴解析式为，则，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
5．C
【详解】试题分析：∵抛物线向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：．故选C．
考点：二次函数图象与几何变换．
6．A
【详解】解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣=1，
∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，
∴y1＜y2．
故选A．
7．A
【分析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断
【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=+3
将（0，0）代入解析式得a＝，
∴抛物线解析式为y=，
当x＝10时，y＝，
∵＜2.44，满足题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，选择顶点式求二次函数的表达式是解题的关键．
8．A
【分析】根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数的图象与x轴交点的个数．
【详解】解：∵△=b2-4ac=（-2）2-4×1×2=-4＜0，
∴该二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴无交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．B
【分析】根据二次函数的图象特征解答．
【详解】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标特征是解题关键．
10．D
【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断．
【详解】解：由图2可知，函数图像最高点为，经过原点，
设二次函数解析式为，
代入，解得，
由此判断：A．矩形最大面积是4平方米，选项错误；
B．二次函数解析式为，选项错误；
C．矩形面积最大时，，选项错误；
D．当时，矩形面积取最大值，，，选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像和性质，解题的关键是识别函数图像，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值，并利用待定系数法求得函数解析式．
11．A
【分析】由抛物线开口向上，a＞0，由对称轴-＞0，可得b＜0，抛物线与y轴交点为负半轴，可知c＜0，由抛物线与x轴有两个交点可得△=b2-4ac＞0，再根据特殊点进行推理判断即可得答案．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴-＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点为负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，
∵对称轴-＜1，
∴2a+b＞0，
当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，
故值为正的有四个，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握根据图象获取信息的能力是解题关键．
12．A
【分析】根据二次函数的定义判断即可；
【详解】y＝2x﹣1是一次函数；
y＝﹣2x2﹣1是二次函数；
y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．
13．
【分析】根据二次函数的性质即可得到结果．
【详解】解：抛物线与的开口大小、形状一样、开口方向相反，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（1，2）．
【分析】先根据对称轴是直线，求得的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标.
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴解析式，
∴顶点坐标为：（1，2），
故答案为（1，2）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键.
15．＜
【分析】先求解抛物线的对称轴为根据离对称轴越远的点的纵坐标越大，从而可得答案.
【详解】解： 函数的对称轴为直线 而二次项系数为1＞0，
函数图象的开口向上，离对称轴越远的点的纵坐标越大，
又
故答案为：＜
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线的开口向上时，离对称轴越远的点的纵坐标越大”是解本题的关键.
16． 24x 6x2 8x+24
【分析】侧面展开图的面积应为边长为xcm的正方形的周长乘6；长方体的体积应为边长为xcm的正方形的面积乘高；各边长的和应为边长为xcm的正方形的周长的2倍加上边长为6的4倍．
【详解】长方体的侧面展开图的面积S=4x×6=24x；
长方体的体积为V=x2×6=6x2；
各边长的和L=4x×2+6×4=8x+24,故答案为(1). 24x ， (2). 6x2 ， (3). 8x+24.
【点睛】本题考查了二次函数的简单应用，关键是找到所求量的等量关系是解决问题的关键，注意此几何体为底面积为正方形的长方体．
17．7
【分析】二次函数的顶点式为：y=a（x-h）2+k，其中a的正负确定抛物线的开口方向，对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k），据此求解可得．
【详解】解：∵二次函数y=（x-5）2+7中a=1＞0，
∴当x=5时，y取得最小值7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，把二次函数化为顶点式，根据顶点式可以知道二次函数的开口方向，对称轴以及顶点坐标．
18．(1)，轴
(2)
(3)图像见解析
【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可；
（3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可．
【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得
，
解得：，
二次函数的解析式为，
对称轴为轴，
故答案为：，轴；
（2）点，
当时，，
点
点的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）如图

【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．
19．(1)是；
(2)①；②；
【分析】（1）根据题意结合面积公式列出关系式判断即可得到答案；
（2）①根据正方形面积公式直接求解即可得到答案；
②将代入解析式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：变化后草地的一边长为，另一边长为，
则，
∴S是关于x的函数，
故答案为：是；
（2）解：①由题意知，扩充后的草地的边长均为，
则，
∴y与x之间的函数关系式是；
②当时，；
【点睛】本题考查二次函数几何问题，解题的关键是根据面积公式列等式．
20．(1)长是14米，宽是8米
(2)猪圈的长是15米，宽是米时，猪圈的面积最大，为米
【分析】（1）设猪圈的长为m，则宽为m，其中，根据，计算求出满足要求的的值，进而可得结果；
（2）由（1）可知，根据二次函数的性质可确定最大值时的值，进而可得结果．
【详解】（1）解：设猪圈的长为m，则宽为m，其中，
∴矩形ABCD的面积，
∴，
解得（不合题意，舍去），或，
∴，
∴猪圈的长为14m，宽为8m．
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴当时，最大，
∴，
∴猪圈的长为15m，宽为m时，猪圈的面积最大，最大值为m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值等知识．解题的关键在于根据题意列等式．
21．（1）A（-1，0），B（2，3），；（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°，理由见解析；（3）
【分析】（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；
（3）根据抛物线平移以后的顶点可得平移后的解析式为，由抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，则，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可．
【详解】（1）∵点A是直线与轴的交点，
∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，
∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，
∵A（-1，0）、B（2，3）
∴AC＝BC＝3，
∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线的顶点，
∴M点为（0，-1）
∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°
∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°
∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点
∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点，解得：，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法，直角三角形的判定，一元二次方程根的判别式，熟记基本的性质与运算公式是解题关键．
22．（1）抛物线的表达式为y＝x2－2x－3；（2）△OCB是等腰直角三角形．
【详解】试题分析：（1）待定系数法求解可得；
（2）分别求出抛物线与坐标轴的交点即可得出答案．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将（﹣2，5），（0，﹣3）和（1，﹣4）三点代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，
解得：x=﹣1或x=3，
∴抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），
∵c=﹣3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），
∴OB=OC，
∴△OCB是等腰直角三角形．
考点：1、抛物线与x轴的交点；2、待定系数法求二次函数解析式
23．（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0．
【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点．
【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小；
当时，，即当时，y有最大值，最大值为0，
故答案为：；1；大；0．
【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
24．当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴，
答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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