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5.2二次函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，APQ的面积为S，则S与t的函数关系图象是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A．右移 个单位长度，再下移 个单位长度
B．右移 个单位长度，再上移 个单位长度
C．左移 个单位长度，再下移 个单位长度
D．左移 个单位长度，再上移 个单位长度
6．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
8．同一坐标系中，抛物线的共同特点是（ ）
A．关于轴对称，开口向上 B．关于轴对称，随的增大而增大
C．关于轴对称，随的增大而减小 D．关于轴对称，顶点是原点
9．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为， ；⑤若m， n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
11．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
12．已知抛物线过点(2，2)，则m的值为( )
A．1 B．4 C．3 D．0
二、填空题
13．在平面坐标系中，已知二次函数的图像与 轴交点为，与轴交点为，为坐标原点，则的面积是 .
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m= ．
15．抛物线y＝x2＋2x＋3关于y轴对称的解析式y= ．
16．二次函数y＝的图象开口向上，则k＝ ．
17．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 0．（填写“>”“<”或“=”）
三、解答题
18．画函数的图象．
19．已知点，，探究抛物线与线段的交点情况．
(1)①点在抛物线上：
当点在抛物线对称轴右侧时，的值为________；
当点在抛物线对称轴左侧时，的值为________；
②点在抛物线上：
当点在抛物线对称轴右侧时，的值为________；
当点在抛物线对称轴左侧时，的值为________；
(2)当没有交点时，的取值范围为________；
(3)当只有一个交点时，的取值范围为_________；
(4)当有2个交点时，的取值范围为_________．
20．怎样由函数的图象得到函数的图象？对于函数，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．
22．填表
函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性
23．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；
（3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
《5.2二次函数的图像和性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B A B D D C B
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】解：∵的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为，
故选B
【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
2．D
【分析】二次函数的顶点式方程：y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是P（h，k）．
【详解】∵二次函数的顶点式方程是：y=2(x 1)2 3，
∴该函数的顶点坐标是：(1, 3)；
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
3．D
【分析】
根据a的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案．
【详解】解：当时，的图像开口向上，过一、二象限；的图像位于一、三象限，可知，D正确；
当时，的图像开口向下，过三、四象限；的图像位于二、四象限，无此选．
故选：D
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像，理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关键．
4．B
【分析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象．
【详解】解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP＝t，QB＝2t，
故可得S＝AP QB＝t2，函数图象为抛物线；
②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，
此时AP＝t，△APQ底边AP上的高保持不变，为正方形的边长4，
故可得S＝AP×4＝2t，函数图象为一次函数．
综上可得总过程的函数图象，先是一段抛物线，然后是一条线段．
故选：B．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求出函数解析式，利用解析式判断图象．
5．A
【分析】根据二次函数图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：抛物线 可由抛物线 右移个单位长度，再下移个单位长度得到，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
6．B
【分析】根据的图象和性质判断即可；
【详解】解：的对称轴为x=0，开口向上，y的最小值为4，顶点坐标为（0，4），
故选： B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其图象特征是解题关键．
7．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】解：由方程有两个不相等的实根、
可得，，，
∵，可得，，即
化简得
则
故最大值为
故选D
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．
8．D
【分析】形如y=ax2的抛物线共同特点就是：关于y轴对称，顶点是原点，a正负性决定开口方向．a的绝对值大小决定开口的大小．
【详解】解：因为抛物线都符合抛物线的最简形式y=ax2，
其对称轴是y轴，
A、开口向下，故选项错误；
B、抛物线y=ax2在x＜0时和x＞0，随的增大的变化情况不一样，故选项错误；
C、抛物线y=ax2在x＜0时和x＞0，随的增大的变化情况不一样，故选项错误；
D、抛物线y=ax2的顶点是原点，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质确定抛物线的开口、对称轴以及顶点坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质确定二次函数的图象是关键．
9．C
【分析】由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案；
【详解】解：由函数图象可得，
，，，
则，故①正确；
，得，
∵时，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误；
∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
∴的两个根为，，
∴的两个根为，，
∴一元二次方程的两根分别为， ，故④正确；
∵该函数与x轴的两个交点为，，
∴该函数的解析式可以为，
当时，，
∴当对应的x的值一个小于，一个大于2，
∴若m，为方程的两个根，则且，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解．
10．B
【分析】根据函数的对称轴为：x=h和的位置关系，分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：x=h，
①当时，x=3时，函数取得最小值1，即，
解得h=4或h=2（舍去）；
②当时，x=1时，函数取得最小值1，即，
解得h=0或h=2（舍去）；
③当时，x=h时，函数取得最小值1，不成立，
综上，h=4或h=0，
故选：B．
【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．
11．D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
12．B
【分析】将点(2，2)代入求值即可．
【详解】将点(2，2)代入，得：，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查抛物线上的点的坐标特征．掌握抛物线上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
13．1
【分析】已知函数解析式，可求出点A、B的坐标，再由三角形的面积公式直接解答；
【详解】解：由已知函数解析式得点A坐标为（1,0）；
由=2x2-4x+2得点B坐标为（0，2），
所以中边OA=1，OB=2；
则的面积＝.
故答案为：1.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而进行计算．
14．3
【分析】设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，根据韦达定理可表示出x1+x2与x1x2，进而表示出BC的长度和BD的长度，根据BD=AD可列出方程求出m的值.
【详解】设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，抛物线的顶点坐标为A（3，-1），
由题意得直线l的表达式为直线y=m，
当y=m时，可得方程
原方程整理可得，
由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=，
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=36-20+16m=16+16m
∵直线l与抛物线交于点B和点C，
故m＞-1，
∵BC2=16+16m，AD=m+1,BD==AD,
∴BC=2AD，BC2=4AD2，
16+16m =4（m+1）2
整理得，m2-2m-3=0
解得m=3或m=-1（舍去）
即m=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和等腰三角形的性质，解题的关键是运用韦达定理正确表示出BC的长度.
15．
【分析】利用关于y轴对称后的解析式a值不变，b变为原来的相反数解答即可．
【详解】，
关于y轴对称的解析式是，
故答案为：(x 1)2+2
【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．
【分析】由解析式是二次函数可知 ，再由图像的开口向上得，由此求解即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得，
∵图像的开口向上，
∴即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，a＞0，图像开口向下时，a＜0是解题的关键．
17．<
【分析】根据题意，先把题目中给的二次函数的顶点式转换成一般式，然后得到对应的系数，，，最后求出判断它与零的大小关系．
【详解】∵，∴，，，∴，
故答案为：<．
【点睛】本题考查二次函数顶点式转换成一般式以及一般式的各个项的系数，需要注意在说到二次函数各项系数的时候是根据一般式来的，本题要先进行转换．
18．见解析
【分析】本题考查二次函数图象，注意利用描点法画函数图象要用平滑曲线．先列表、再描点、最后连线即可．
【详解】解：列表：
x 0 1 2 …
y 1 0 1 4 …
描点，连线，如答图．
19．(1)①，；②0，2
(2)或
(3)或
(4)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的平移；
（1）①将代入解析式中，求出此时的值，再分别根据对称轴的位置确定最终结果即可；
②将代入解析式中，求出此时的值，再分别根据对称轴的位置确定最终结果即可；
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征、坐标的平移，解决本题的关键是综合利用二次函数的图象和性质．
（2）根据题意画出图象，求出抛物线与直线的交点坐标为，，结合函数图象分析即可；
（3）根据题意画出图象，找临界端点结合函数图象分析即可；
（4）根据题意画出图象，找临界端点结合函数图象分析即可．
【详解】（1）对称轴为，
①将代入中得，
解得或，
∴当点在抛物线对称轴右侧时，，此时；
当点在抛物线对称轴左侧时，，此时；
②将代入中得，
解得或，
∴当点在抛物线对称轴右侧时，，此时；
当点在抛物线对称轴左侧时，，此时；
故答案为：①，；②0，2；
（2）平移，画出与线段的函数图象如下图：
令，
解得，
∴抛物线与直线的交点坐标为，，
∴当抛物线与线段的没有交点时，或，
解得或，
故答案为：或；
（3）∴当抛物线与线段的只有一个交点时时，或，
解得或，
故答案为：或；
（4）∴当抛物线与线段的有2个交点时，，
解得，
故答案为：．
20．将函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，就可以得到函数的图象；当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数可推出开口向方向，再根据顶点式表达式的特点，推出顶点坐标及对称轴，由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．
【详解】将函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，就可以得到函数的图象；当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则和利用顶点式表达式的特点确定抛物线的增减性是解答此题的关键．
21．（1）b＝﹣3a+1；（2）B（﹣4a，4）；（3）a＝﹣1或a＜﹣
【分析】（1）将点(3，3)代入解析式即可求解；
（2）把y=4代入y=x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求出B点坐标；
（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况进行讨论，即可得到结论．
【详解】解：（1）将点(3，3)代入y＝ax2+bx，得：9a+3b＝3,
∴b＝-3a+1；
（2）令x+4a+4＝4，得x＝-4a，
∴B(-4a，4)，
（3）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵A(1，4)，B(-4a，4)，
∴点A、B所在的直线为y＝4，
由（1）得b＝1-3a，
则抛物线可化为：y＝ax2+（1-3a）x，
当抛物线与线段AB恰有一个公共点时，分两种情况讨论：
①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点且抛物线的顶点在点A、B之间时，
则或，
方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，
即（1﹣3a）2+16a＝0，
解得a1＝，a2＝，
当a1＝时，（不符合题意），
当a2＝﹣1时，，则1≤≤-4a成立，
②当抛物线经过点A时，
即当x＝1，y＝4时，a+1-3a＝4，
解得a＝；
∴a＜时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，
综上所述，当a＝-1或a＜-时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征，解决本题的关键是理解抛物线与线段AB恰有一个公共点的含义．
22．见解析
【分析】根据二次函数，，的图象与性质即可完成填表．
【详解】
函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性
上 y轴 最小值0 y随x增大而增大
下 y轴 最大值1 y随x增大而减小
上 直线 最小值0 y随x增大而增大
【点睛】本题考查了一类特殊的二次函数的图象与性质，掌握这些知识是关键．
23．（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣，0）．
【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标．
（2）根据勾股定理证明是直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC，计算求解．
（3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴于点Q，代入计算求出点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，
∴点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝＝．
（3）存在，Q（﹣，0），如图
作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，
∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得，
，
解得，
∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，
令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣，
∴点Q的坐标为（﹣，0）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆用，求多边形面积及两点间线段最短，运用数形结合的方法是解题关键．
24．（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值为8， M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．
【详解】试题分析：（1）先由OA′＝OA得到点A′的坐标，再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴，交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN, △AMA′的面积＝△AMA′的面积＋△AMN的面积＝OA′ MN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA′的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立△AMA′的面积关于x的二次函数关系式，再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.
试题解析：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）.
∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得：
. 解得：.∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4.
（2）连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y＝kx＋b，可得
.解得：.
∴直线AA'的函数解析式是y＝－x＋4.
设M（x，－x2＋3x＋4），
S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8.
∴x＝2时，△AMA′的面积最大S△AMA′＝8．
∴M（2，6）.
（3）设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，
①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ，
∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.
当一x2＋3x＋4＝4时，x1＝0，x2＝3，即P1（0,4），P2（3，4）；
当一x2＋3x＋4＝一4时，x3＝，x4＝，即P3（,－4），P4（，－4）；
②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1（0，4），P2（3，4）;
当这个平行四边形为矩形时，即Pl（0，4），P2（3，4）时，N1（0，0），N2（3，0）.
综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（,－4），P4（，－4）时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）.
考点：二次函数综合题.
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