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5.3用待定系数法确定二次函数表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数（其中x是自变量），当时，，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
2．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
3．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,)
4．如图，已知抛物线顶点在轴上，抛物线与直线相交于、两点．点在轴上，点的横坐标为，那么抛物线顶点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5．小明在研究某二次函数时列表如下：
… 0 2 3 …
… 11 6 3 3 6 …
当自变量满足时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值6，有最小值3 D．有最大值6，有最小值2
6．关于二次函数，自变量与函数的对应值如表，下列说法正确的是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 0 1 …
y … 7 ﹣2 ﹣2 7 …
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴是直线
C．的最小值为 D．图像与轴有且只有一个交点
7．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
9．开口向下的抛物线的对称轴经过点，则的值为(　　)
A． B． C．-1或2 D．
10．二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下：
… 0 1 …
… 1 …
则代数式的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点，且A（－1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，m的值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x的值增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1
二、填空题
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，变量x和y的部分对应值如下表：
x … － －1 － 0 1 …
y … － －2 － －2 － 0 …
则该二次函数的表达式为 ．
14．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象满足下列条件：(1)当x＜2时，y随x的增大而增大；(2)当x≥2时，y随x的增大而减小．请写一个这样的二次函数解析式是 ．
15．已知抛物线过和两点，与轴交于点，且，则抛物线的解析式 ．
16．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点M在第二象限，且经过点 A(1，0)和点 B(0，2)．则
（1）a 的取值范围是 ；
（2）若△AMO的面积为△ABO面积的倍时，则a的值为
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 ．
三、解答题
18．如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣2，0），点B（1，0），交y轴于点C（0，2）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上有一点N，过点N作y轴的平行线，交直线AC于点F，设点N的横坐标为n，线段NF的长为l，求l关于n的函数关系式；
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
20．已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．
21．若二次函数y=ax2的图象经过点（-1，2），求二次函数y=ax2的解析式
22．如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
（1）点C的坐标为（ ， ）；
（2）若二次函数的图象经过点C．
①求二次函数的关系式；
②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；
③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线经过点．

(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，的取值范围是___________．
24．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值
《5.3用待定系数法确定二次函数表达式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D B C D D A A
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：当时，；时，，则，解得：，
当时，；时，，则，解得：，
∴a的值为±1．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题时需分两种情况计算，注意自变量和函数值得对应关系．
2．D
【分析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选D
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．
3．C
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
【详解】∵Rt△OAB的顶点A（ 2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4＝4a，解得a＝1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（ 2，4），
∴B（ 2，0），
∴OB＝2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
令y=2，得2=x2，
解得：x=±
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故答案为：C．
【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化－旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，再求出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标．
【详解】解：∵点A在x轴上，
取y＝0，得：0＝x＋1，
∴x＝ 1，
∴A（ 1，0），
∵点B的横坐标为2，
取x＝2，得y＝2＋1＝3，
∴B（2，3）
又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2＋b，
代入A（ 1，0），B（2，3），
得，
解得，
∴y＝x2 1，
∴M（0， 1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据解析式求出顶点．
5．B
【分析】先用待定系数法求出二次函数解析式，改成顶点式，找出二次函数图像的对称轴，结合自变量的取值范围即可求得最值．
【详解】解：由题意，二次函数的图象经过，，，代入函数解析式，
可得，
解得，
该二次函数的解析式为，
该二次函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线．
，，，
时，y取最小值，，
时，y取最大值，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，利用待定系数法求出函数解析式，找出函数图象的对称轴是解决问题的关键．
6．C
【分析】将表格中坐标代入二次函数，得到解析式，再化为顶点式，即可判断．
【详解】解：将、代入二次函数，
，
解得，
，
图像与轴交点坐标，A选项错误；
图像对称轴是直线，B选项错误；
的最小值为，C选项正确；
，图像与轴有两个交点，D选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求解析式是解题关键．
7．D
【分析】依题知，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B；可得B点坐标，又OB=OA，可得A点坐标，然后将A的坐标代入函数解析式即可；
【详解】依题：抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，
∴ B（0，c），
∴ OB＝c，
∵ OA＝OB，
∴ OA＝c，
∴ A（c，0），
∴﹣c2+2c+c＝0，解得c＝3或c＝0（舍去），
故选：D
【点睛】本题考查二次函数待定系数法，重点在理解和熟练求解过程的转化．
8．D
【详解】把原点坐标代入抛物线y=x2-mx-m2+1，
得：-m2+1=0，
所以m=±1．
故选D．
9．A
【分析】根据开口向下可得到m2 2＜0，根据对称轴经过点（ 1，3），可得到，从而求出m的值即可．
【详解】解：由题意可知，，解得：m=或2，
又∵抛物线开口向下，
∴m2 2＜0，
∵当m=2时，m2 2=2＞0，故m=2舍去，
当m=-1时，m2 2=-1＜0，故m＝ 1符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．A
【分析】由表格数据可知，当x=-2或0时，y=-2，所以可以判断出，（-1，-3）是抛物线的顶点，于是假设顶点式，代入一组数据可求出解析式，得出a、b、c的值，于是可求出9a 3的值．
【详解】解：由表格数据可知，当x=-2或0时，y= 2；
∴（-1，-3）是抛物线的顶点，
∴y=a(x+1)2 3
把x=0，y=-2代入得a=1，
∴y=(x+1)2 3=
∴a=1，,b=,2,c=-2
∴9a 3b= 9×1 3×2=3.
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法，熟悉待定系数法是解题关键．
11．B
【详解】如图，作点C关于x轴的对称点C1，连接C1D交x轴于点M，连接CM．
则根据轴对称的性质和三角形三边关系，此时MC＋MD的值最小．
∵点A（－1，0）在抛物线，
∴，解得．∴抛物线解析式为．
又∵，∴点D的坐标为．
在中，令x=0，得，∴点C的坐标为（0，－2），点C1的坐标为（0， 2）．
设直线C1D：，由C1（0， 2），D 得
，解得．∴直线C1D：．
令y=0，即，解得．∴．故选B．
12．D
【详解】由题知，解得
∴二次函数的解析式为．
∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，故A选项不符合题意．
∵，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B选项不符合题意．
令y＝0得，，解得x1＝0，x2＝2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又∵抛物线的顶点坐标为（1，1），∴抛物线经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意．
∵二次函数解析式为，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，故D选项符合题意．
13．y＝x2＋x－2
【分析】选取三组自变量与因变量的值（-1，-2）、（0，-2）、（1，0）代入解析式即可解出.
【详解】把（-1，-2）、（0，-2）、（1，0）分别代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
得
∴y＝x2＋x－2.
【点睛】此题主要考查二次函数的解析式，用待定系数法是解题的关键.
14．答案不唯一，如：y＝－x2＋4x＋3　
【详解】根据已知得，图象开口向下，则二次项系数为负数，不妨设为-1，因为对称轴是x=2，所以代入x=-，得b=-4，c取任意数即可，如3，可得：y=-x2+4x+3．
只要写出符合要求的二次函数即可．
故答案是：答案不唯一，如：y＝－x2＋4x＋3
15．或
【分析】首先由抛物线经过点B（3，0），与y轴交于点C，且BC=3，求出C点的坐标，然后设其解析式为交点式用待定系数法求得二次函数的解析式．
【详解】∵抛物线与y轴交于点C,B(3,0),且BC=3，
C(0,3),或C(0, 3).
抛物线过A( 1,0)和B(3,0)两点
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x 3).
当C(0,3)时，
3=a×(0+1)(0 3)，
a= 1.
故抛物线的解析式为y= (x+1)(x 3)；
当C(0, 3)时，
3=a×(0+1)(0 3)，
a=1.
故抛物线的解析式为y=(x+1)(x 3)
所以抛物线的解析式为y= (x+1)(x 3)或y=(x+1)(x 3).
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式.
16． （1）﹣2＜a＜0 （2）﹣4+2.
【分析】（1）把点A（1，0）和点B（0，1）的坐标代入抛物线的解析式，可求出c的值，整理就得到a，b的关系，根据M点在第二象限，可知抛物线的开口方向，可确定a的符号，即可得答案；（2）利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标，进而表示出△AMO的面积，根据S△AMO＝S△ABO，就可以得到关于a的方程，解得a的值．
【详解】（1）∵顶点M在第二象限，且经过点A（1，0），B（0，2）
∴抛物线开口向下，
∴a<0，把A、B坐标代入抛物线的解析式，得
a+b+c=0，c=2，
整理得b=-a-2，c=2，
∴抛物线的解析式为y=ax2-（a+2）x+2 ①，
∵顶点M在第二象限，
∴<0， 由于a<0，=>0
∴a+2>0，-2（2）∵b=-a-2，
∴抛物线的解析式为：y=ax2-(a+2)x+2，
∴顶点的纵坐标为：=
∵S△ABO= =1，
∴S△AMO= 1 =，
解得：a1=-4+；a2=-4-（不符合题意，舍去），
∴a=-4+.
【点睛】本题值函数与三角形相结合的题目，注意数与形的结合是解题的关键．
17．y=x2-4x+3
【分析】把点A、B、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b、c的值，即可得解．
【详解】解：将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入函数解析式得，
，
解得：，
所以二次函数的解析式为y=x2-4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握，难点在于解三元一次方程组．
18．（1）y＝﹣x2+5x；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【分析】（1）设y＝ax（x﹣5），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC＝﹣m2+4m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，分为三种情况：①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC＝OP时，③当PC＝OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．
【详解】解：（1）设y＝ax（x﹣5），
把A点坐标（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，
解得a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+5x，
答：二次函数的解析式是y＝﹣x2+5x．
（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+5x上，C在直线OA上，A（4，4），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（2，0）时，PCmax＝4，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4．
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝m，
解得m＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，
①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，
解得：m＝4+或m＝0（舍去），
∴P（4+，2﹣3）；
②当OC＝OP时，（m）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m1＝6，m2＝4，
∵m＝4时，P和A重合，即P和C重合，不能组成△POC，
∴m＝4舍去，
∴P（6，﹣6）；
③当PC＝OP时，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m＝5，
∴P（5，0），
答：存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的待定系数法、二次函数的图象性质以及等腰三角形的性质和判定．解答关键是，根据等腰三角形的腰与底边进行分类讨论，构造方程求解．
19．（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）l＝﹣n2﹣2n；（3）存在，点M的坐标为（﹣1，0）或（1，0）或（1﹣，0）或（﹣，0）．
【分析】（1）先根据两点的坐标，可设抛物线的解析式的交点式，再由点C的坐标利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据点N的横坐标可求出点N与点F的纵坐标，从而根据即可得出答案；
（3）先利用勾股定理求出BC、BM、CM的长，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，分别列出等式求解即可．
【详解】（1）由两点的坐标，设抛物线的表达式为
将点代入得
解得
故抛物线的表达式为；
（2）设直线AC的表达式为
将代入得
解得
则直线AC的表达式为
由题意设点，则点
因此，，即
故l关于n的函数关系式为；
（3）存在，求解过程如下：
设点，因点，点
则
根据等腰三角形的定义分以下3种情况：
①当时，，解得（此时点M与点B重合，舍去）或
②当时，，解得
③当时，，解得
综上，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的定义等知识点，较难的是题（3），依据等腰三角形的定义分三种情况是解题关键，勿漏解．
20．抛物线的表达式为y= （x+3）2+2．
【分析】根据题意可设顶点式y=a（x-h）2+k，然后再把点（4，-5）代入进行计算即可解答．
【详解】解：∵抛物线的顶点是（-3，2），
∴设抛物线的表达式为：y=a（x+3）2+2，
把点（4，-5）代入y=a（x+3）2+2中得：
a（4+3）2+2=-5，
解得：a= ，
∴抛物线的表达式为：y= （x+3）2+2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
21．y=2x2
【分析】把（-1，2）代入二次函数的解析式y=ax2得出2=a×（-1）2，求出a后代入即可解题.
【详解】解：∵二次函数y=ax2的图象经过点（-1，2），
∴代入得：2=a×（-1）2，
解得：a=2，
即二次函数y=ax2的解析式是：y=2x2，
【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象上的点的关系，属于简单题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键.
22．（1）－3，1；（2）①；②≤y≤8；③存在，(1，－1)，（2，1）
【分析】（1）根据旋转的性质得出C点坐标；
（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.
【详解】(1) 点C的坐标为(－3，1) ．
(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，
∴.解得
∴二次函数的关系式为
②当-1≤x≤4时，≤y≤8；
③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△ 是以AB为直角边的等腰直
角三角形，过点作轴，
∵＝，∠＝∠ ，∠＝∠＝90°，
∴△≌△，∴AE＝AD＝2， ＝ CD＝1,
∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；
ii） 当B点为直角顶点时，过点B作直线l⊥BA，在直线l上分别取，得到以 AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作 ⊥ y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点 的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上
综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△ 是以AB为直角边的等腰直角三角形．
23．(1)，
(2)或
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质．
（1）把点代入抛物线解析式中，即可求得m的值，得到抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标；
（2）当，求出抛物线与x轴的交点，再结合函数图象即可解答．
【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵
∴抛物线开口向下，当时，函数y有最大值，为，
∵当时，，
解得：，
∴当时，x的取值范围是或．
24．（1）y=x2-4x+3；（2）
【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax2+bx+3，求出a、b，即可求解；
（2）求出直线BC解析式；设点P坐标为（t，t2-4t+3），过点P作轴，表示出PE长，得到△BCP面积与t函数关系式，根据函数性质即可求解．
【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
∴这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解得 ，
∴直线BC的解析是为y=-x+3，
设点P坐标为（t，t2-4t+3），过点P作轴，交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S△BCP最大=．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．
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