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5.4二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2 +1与 x 轴的交点的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
3．抛物线y=2x2－2x+1与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0
5．二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为（ ）
A．-7 B．7 C．-10 D．10
6．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
7．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B． C．且 D．或
8．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
9．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
10．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
11．已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线与坐标轴的交点个数为( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
13．自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：＞0．
解：设=0，解得：=0，=5，则抛物线y=与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，所以，一元二次不等式＞0的解集为：x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式＜0的解集为 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：＞0．
14．二次函数的图像与轴的交点坐标是 .
15．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有
16．函数y=2x2中，自变量x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ．
17．函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．

三、解答题
18．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）求这个二次函数图象的顶点坐标．
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标．
（3）直接写出这个二次函数图象与y轴的交点坐标　 　．
20．人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利元时，平均每天可销售件．经调查发现，该商品每降价元，商场平均每天可多售出 件．
假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到元，请你帮忙思考，该降价多少？
假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？
21．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
22．如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点 ．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)当时，的取值范围是
23．已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与y轴交于点．
（1）求函数和的解析式，并画出函数示意图；
（2）x为何值时，①；②；③．
24．如图，已知抛物线，过点D（0，）的直线与抛物线交于点M、N，与轴交于点E，且点M、N关于点E对称，求直线MN的解析式．
《5.4二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C B B D A C A
题号 11 12
答案 D A
1．B
【详解】抛物线 y ＝－x 2 +1与 x 轴相交时，y＝0，
即－x 2 +1＝0，
∵
∴－x 2 +1＝0有两个不相等的实数根，
∴抛物线 y ＝－x 2 +1与 x 轴交点的个数为2.
故选B.
2．B
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
3．C
【详解】根据一元二次方程2x2-2+1=0的根的判别式的符号来判定抛物线y=2x2-2+1-与x轴的交点个数．
解：当y=0时，2x2-2+1=0．∵△=（-2）2-4×2×1=0，∴一元二次方程2x2-2+1=0有两个相等的实数根，∴抛物线y=2x2-2+1与x轴有一个交点，∴抛物线2x2-2+1=0与两坐标轴的交点个数为2个．
故选C．
4．C
【分析】根据二次函数的定义及抛物线与x轴有交点，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵抛物线和轴有交点，
,
解得：且．
故选．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当时，抛物线与x轴有交点是解题的关键．
5．B
【分析】把一元二次方程根的个数问题，转化为二次函数的图象与直线y=-m的图象的交点问题，然后结合图形即可解答．
【详解】解：将变形可得：
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴二次函数的图象与直线y=-m的图象有交点
如下图所示，易得当-m≥-7，二次函数的图象与直线y=-m的图象有交点
解得：m≤7
故的最大值为7
故选B．
【点睛】此题考查的是二次函数和一元二次方程的关系，掌握将一元二次方程根的情况转化为二次函数图象与直线图象之间的交点问题和数形结合的数学思想是解决此题的关键．
6．B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
7．D
【分析】本题考查利用图象法求解一元二次不等式，找到二次函数图象与x轴的交点横坐标即可求解，“数形结合”是解题关键．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴不等式的解集是或
故选：D．
8．A
【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况即是判断函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝4交点的情况．
【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4，
∴直线y＝4与抛物线只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解题的关键.
9．C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断．
【详解】A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合是解题的关键．
10．A
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-=-1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11．D
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
【详解】解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
12．A
【分析】本题考查了抛物线与两坐标轴的交点坐标.令，根据根的判断式即可判断出抛物线与x轴的交点个数，令，可得出抛物线与y轴的交点坐标，进而即可得出答案.
【详解】令，则，
∵，
∴抛物线与x轴有两个交点，
令，则，
∴抛物线与y轴交点坐标为，
即抛物线与y轴有一个交点，
∴抛物线与坐标轴的交点个数为3个.
故选A.
13．（1）①，③；（2）0＜x＜5；（3）x＜﹣1或x＞3．
【详解】试题分析：（1）根据题意容易得出结论；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即＜0，即可得出结果；
（3）设=0，解方程得出抛物线y=与x轴的交点坐标，画出二次函数y=的大致图象，由图象可知：当x＜﹣1，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，即可得出结果．
试题解析：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；
故答案为①③；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即＜0，∴一元二次不等式＜0的解集为：0＜x＜5；
故答案为0＜x＜5．
（3）设=0，解得：=3，=﹣1，∴抛物线y=与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．
画出二次函数y=的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，∴一元二次不等式＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3．
考点：二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点；阅读型．
14．
【分析】令二次函数解析式中y＝0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x轴的交点坐标.
【详解】令代入
∴x=2或x=1,
∴二次函数的图像与轴的交点坐标是
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，要求二次函数与x轴的交点，即要y＝0，得到关于x的方程来求解.
15．
【分析】根据抛物线图象开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，据此即可判定①②；根据二次函数的性质知：当时，函数有最大值，据此即可判定③；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，据此即可判定④；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算，即可判定⑤．
【详解】解：∵抛物线图象开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，即，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴函数的最大值为，
，即，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
，所以④错误；
，
，
，
，
，
，即，
，
，所以⑤正确，
综上所述，正确的有．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16． 全体实数 y≥0.
【分析】先判断自变量x的取值范围，再判断函数值y的取值范围.
【详解】函数y=2x2中，
∵自变量x的取值范围是全体实数，且x2≥0，
∴函数值y的取值范围是y≥0.
故答案为全体实数，y≥0.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从几个方面考虑：
①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
17．①③/③①
【分析】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④
【详解】解：则，，即函数图象与轴无交点，
该函数自变量的取值范围是；
故①正确；
根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，
故②不正确；
如图与存在3个交点，则方程有三个根；

故③正确
当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．
故④不正确
故正确的有①③
故答案为：①③
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
18．（1），；（2）或；（3）
【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；
（3）根据图象可以看出k取值范围．
【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．
19．（1）（﹣1，4）；（2）（﹣3，0），（1，0）；（3）（0，3）
【分析】（1）将二次函数解析式改为顶点式即可知顶点坐标．
（2）令，即得方程-x2-2x+3＝0，求解即可．
（3）令，即得，即坐标为(0，3)．
【详解】（1）∵二次函数解析式为y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4，
∴二次函数的图像的顶点坐标为(-1，4)．
（2）∵令y＝0，即-x2-2x+3＝0，解得x＝-3或1，
∴二次函数的图像与x轴的交点坐标为：(-3，0)，(1，0)．
（3）∵当x＝0时，y＝3，
∴这个二次函数图像与y轴的交点坐标是(0，3)，
故答案为(0，3)．
【点睛】本题考查二次函数的一般式转化成顶点式，抛物线与x轴、y轴交点坐标的求解．
20．（1）降价20元可使销售利润达到1750元；（2）当x=15时 日盈利达到最大，为1800元．
【分析】（1）设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可以售出30+2x，所以此时商场平均每天要盈利（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1750元，为等量关系列出方程求解即可．（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（30+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．
【详解】（1）设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件．
根据题意得：（45-x）（30+2x）=1750，
解得x1=10，x2=20．
因为要减少库存，所以x=20．
答：降价20元可使销售利润达到1750元．
设商场平均每天盈利元，则商场平均每天盈利元与每件应降价元之间的函数关系为：
．
∴当时 日盈利达到最大，为元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．
21．（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）由图象直接写出答案．
【详解】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
22．(1)
(2)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据函数图象的交点求表达式的解集；
（1）设抛物线解析式为，将点代入，即可求解；
（2）先解方程，得出，根据函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，设抛物线解析式为，将点代入，
得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）当时，
解得：
又∵抛物线开口向上，
∴当时，的取值范围是或
23．（1）．（2）①当时，．②当或时，，③当或时．
【分析】（1）利用待定系数法可确定函数y1和y2的解析式，然后画草图；
（2）观察函数图象即可得到答案．
【详解】解：（1）把（-2，-5）、（1，4）、（0，3）代入y1=ax2+bx+c（a≠0）得
解得：，
∴y1=-x2+2x+3，
把（-2，-5）、（1，4）代入y2=mx+n得
，
解得：，
∴y2=3x+1；
函数图象如图所示：
（2）由图象可得：①当-2＜x＜1时，y1＞y2．
②当x=-2或x=1时，y1=y2．
③当x＜-2或x＞1时y1＜y2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可确定其解析式．也考查了二次函数的图象与性质．
24．y=x.
【分析】设直线MN的解析式为y=kx（k≠0）．根据一元二次方程x2-4x+3=0的根求得点E的坐标．把点E的坐标代入求得k的值即可．
【详解】过点D(0，)的直线与抛物线交于M(xM,yM)、N(xN,yN)两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．
设直线MN的解析式为：y=kx，
则有：YM+YN=0,
由 ，
x2 4x+3=kx，
移项后合并同类项得x2 (k+4)x+=0，
∴xM+xN=4+k.
∴yM+yN=kxM+kxN=k(xM+xN) 5=0，
∴yM+yN=k(xM+xN)=5，
即k(k+4) 5=0，
∴k=1或k= 5.
当k= 5时,方程x2 (k+4)x+=0的判别式△<0，直线MN与抛物线无交点，
∴k=1，
∴直线MN的解析式为y=x.
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于把点E的坐标代入求得k的值.
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