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2024年湖南省邵阳市邵东市邵东县两市镇向阳中学中考三模数学试题
1．（2024九上·邵东模拟）下列各数中最小的是（　　）
A． B． C． D．0
2．（2024九上·邵东模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·邵东模拟）观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024九上·邵东模拟）2023年中秋、国庆假期，我国铁路发送旅客累计达1.41亿人次，数据1.41亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·邵东模拟）如图，已知，添加选项______仍不能证明．（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·邵东模拟）某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（　　）
成绩（分） 30 29 28 26 18
人数（人） 32 4 2 1 1
A．该班共有40名学生
B．该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分
C．该班学生这次考试成绩的众数为30分
D．该班学生这次考试成绩的中位数为28分
7．（2024九上·邵东模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·邵东模拟）如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·邵东模拟）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
10．（2024九上·邵东模拟）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
11．（2024九上·邵东模拟）分解因式：=　 　．
12．（2024九上·邵东模拟）如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是　 　．
13．（2024九上·邵东模拟）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则取值范围是　 　．
14．（2024九上·邵东模拟）已知，为一元二次方程的两个实数根，那么　 　．
15．（2024九上·邵东模拟）如图，四边形是菱形，，于点，则　 　．
16．（2024九上·邵东模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的结论有　 　（填上序号即可）
17．（2024九上·邵东模拟）计算：．
18．（2024九上·邵东模拟）平行四边形中，对角线相交于点O，E、F分别为线段的两点，，求证：．
19．（2024九上·邵东模拟）先化简，再求值：，其中x的值是不等式的最大整数解．
20．（2024九上·邵东模拟）“勤劳孝亲”是中华民族的传统美德，学校倡导同学们利用假期在家里帮助父母做力所能及的家务．明德同学在本学期开学初随机对自己所在学校的部分同学整个寒假在家做家务的时间情况进行了抽样调查(时间取整数小时)，并绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图解决下列问题：
（1）抽样调查抽取的样本容量是________；
（2）通过计算补全频数分布直方图；
（3）如果该学校共有学生2800人，那么大约有多少名学生在整个寒假做家务的时间在30.5~50.5小时之间？
21．（2024九上·邵东模拟）如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．
（1）试说明：．
（2）求的长．
22．（2024九上·邵东模拟）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到）
（2）求显示屏项端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：）
23．（2024九上·邵东模拟）牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
（1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元；
（2）假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，．
①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？
②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？
24．（2024九上·邵东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为．
（1）求过点B的反比例函数的解析式；
（2）点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
25．（2024九上·邵东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线上方抛物线上一动点；
①连接，，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值；
②是否存在点D，使等于的2倍？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
，
最小的是，
故答案为：B．
【分析】先求绝对值，再根据负数小于0，正数大于0判断即可．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方，单项式乘单项式、完全平方公式逐一计算后判定．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
综上所述， 从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有两个．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，对四个图形逐一分析作出判断．轴对称图形是 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿用科学记数法表示为．
故答案为：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定，据此求解。
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加，不能证明，故A符合题意；
添加，利用证明，故B不符合题意；
添加，利用证明，故C不符合题意；
添加，利用证明，故D不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据全等的判定定理及推论（，，，，），对选项一一分析，再作出判断．
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：A、32+4+2+1+1=40，该班共有40名学生，A不符合题意；
B、（30×32+29×4+28×2+×1+18×1）÷40=29.4，B不符合题意；
C、30分出现的次数最多，众数为30，C不符合题意；
D、第20和21两个数的平均数为30，故中位数为30，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】通过计算可知A、B选项错误；众数是一组数据中，出现次数最多的数，可知C选项错误；根据中位线的定义可知D选项正确。
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图像可得：
当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∵一次函数与反比例函数的图像两个交点的横坐标分别是：
当时，，
故答案为：D．
【分析】根据，可列一次函数在反比例函数的图象上方，只需在图象中找出这部分图象，再根据交点的横坐标求出不等式的解集．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形；归纳与类比
【解析】【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，
设AC＝x，则BC＝x，AB＝，CD＝，
∴
故答案为：B.
【分析】延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则BC＝x，AB＝，CD＝，再利用正切的定义及计算方法求出即可.
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，解得 ，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，
故选：D．
【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
11．【答案】．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=．
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
12．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
，，
，解得：，
直尺的两边平行，
，
故答案为：．
【分析】先利用平角的定义，求出，再根据平行线的性质求得.
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为0、1、2，
∴，
故答案为：．
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解列关于a的不等式即可得答案．
14．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，为一元二次方程的两个实数根，
故答案为： .
【分析】先利用根与系数的关系求得两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形式后，代入求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
16．【答案】①，②．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（ 1，4），
∴二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4，
故①正确；
当x＝2时，函数图象在x轴的下方，
∴y＜0，
∴4a＋2b＋c＜0，
故②正确；
∵抛物线与x轴的两个交点分别为（-3，0）和（1，0）
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根为x=-3和x=1，
∵-3+1=-2，
∴ 一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为 2，
故③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤ 2，故④错误．
故答案为：①，②．
【分析】①根据图中抛物线的顶点坐标，确定二次三项式ax2＋bx＋c的最大值；
②根据图象可知当x＝2时，y＜0，可确定4a＋2b＋c的符号；
③先根据抛物线与x轴的两个交点，写出两个交点的坐标，就可确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根，再求它们的和；
④利用函数图象，可确定使y≤3成立的x的取值范围．
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，先计算负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可．
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质和已知条件，证得和有两边夹角分别相等，可证，再由全等三角形的性质，证得，再利用平行线的判定求解．
19．【答案】解：解不等式，得，
∴不等式的最大整数解是－3，
．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先解不等式，求出x的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后代入求值．
20．【答案】解：（1）100；
（2）20.5~30.5的频数为： ，
补全频数分布直方图如下：
；
（3）∵在整个假期做家务的时间在 ~ 小时之间的人数为15+10=25（人），
∴在整个假期做家务的时间在 ~ 小时之间的人数为（人）.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵10.5~20.5这一组有25人，占25%，
∴抽取的样本容量是25÷25%=100（人）．
故答案为：100；
【分析】（1）根据10.5~20.5这一组的频数与所占百分比，可求得总数；
（2）先求出20.5~30.5这一组的频数，再补全频数分布直方图；
（3）先计算出30.5~50.5之间的频数，再根据该学校总学生数求出在整个寒假做家务的时间在30.5~50.5小时之间的学生数．
21．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
∵，
，
，解得：（负值舍去）．
答：的长度为．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）通过证明两个三角形有两对角分别相等，来证明；
（2）先根据，列出比例式，证得，结合已知求得CH，再根据，列出比例式求出DH即可．
22．【答案】解：（1）由已知得：，
在中，，
（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为；
（2）如图，过点B作于点F，
．
，
∴，
，
，
，
，
（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先根据已知求得AP，再利用锐角三角函数求出AE；
（2）先利用锐角三角函数求出AF和BF，再利用线段和求出AC．
23．【答案】（1）解：设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，
可列方程组为，
解得：，
答：甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元．
（2）解：①由题意得：，
解得：，
，
，即当日生产5千克时，盈利为180元．
②当时，利润，
∴当时，利润最大，最大利润为196元，
当时，利润，
随的增大而减小，
∴当时，（元），
∵，
每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，根据“ 甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元 ”列出方程组求解；
（2）①先列出方程求解，再根据生产量小于8千克，说明巴特尔当日的利润能180元；
②分别在“”、“”时求出最大值，作出比较，再下结论．
24．【答案】（1）解：如图，过点A作轴于E，过B作轴于G，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，轴，
∴，
∴，
∴．
∵过B点的反比例函数解析式为，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为.
（2）解：∵，
∴，
①当O为顶点时，，
∴或；
②当D为顶点时，，
∵四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，
∴点D与C重合，
∴；
③当B为顶点时，，则，
∴，
∴；
综上所述，D的坐标为或或或.
（3）解：如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，
∵，
∴，
∴．
设，则，，
①当以为斜边时，，
∴，
解得，
∴Q或；
②当以为斜边时，∵ 以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴；
③当以为斜边时，∵ 以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，Q的坐标为：或或或．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标可求出OE与AE，再利用勾股定理求得OA，然后根据菱形的性质可求得AB，再利用线段和求出OG，从而可求得B点坐标，将B点坐标代入反比例函数解析式中，求得k即可得出反比例函数解析式；
（2）先根据勾股定理求得OB，再分“O为顶点”、“D为顶点”、“B为顶点”三种情讨论，分别求得D点的坐标；
（3）先根据B点的坐标，求得F点的坐标，从而可求得BF2，再利用勾股定理求得BQ2与FQ2，然后分“为斜边”、“为斜边”、“为斜边”三种情况，分别求出Q点的坐标．
25．【答案】（1）解：对于直线，
当时，；
当时，，解得，
，
∴可设抛物线解析式为，
∵点，
∴，
解得：，
∴，
抛物线解析式为．
（2）解：①过点作轴，交于点，过点作轴交直线于点，
设点，
点，
∴，
将代入中得，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
的最大值为．
②过点作轴，交轴于点，直线于点，
设点，
则，
当，则，
，
∵，
，
∴，
解得：（舍去），
点．
【知识点】利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先根据直线求得A、C两点的坐标，再设抛物线解析式为，将点代入抛物线解析式中，求出a即可；
（2）①先设点，就可用m表示出点M的坐标，从而可用m表示出DM，再将代入中，可求得点N的坐标，再证明，用m表示出，再利用二次函数的性质求解；
②先设点，则，根据正切，得到关于a的方程求解，再求出D点的坐标．
1 / 12024年湖南省邵阳市邵东市邵东县两市镇向阳中学中考三模数学试题
1．（2024九上·邵东模拟）下列各数中最小的是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
，
最小的是，
故答案为：B．
【分析】先求绝对值，再根据负数小于0，正数大于0判断即可．
2．（2024九上·邵东模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方，单项式乘单项式、完全平方公式逐一计算后判定．
3．（2024九上·邵东模拟）观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
综上所述， 从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有两个．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，对四个图形逐一分析作出判断．轴对称图形是 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
4．（2024九上·邵东模拟）2023年中秋、国庆假期，我国铁路发送旅客累计达1.41亿人次，数据1.41亿用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿用科学记数法表示为．
故答案为：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定，据此求解。
5．（2024九上·邵东模拟）如图，已知，添加选项______仍不能证明．（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加，不能证明，故A符合题意；
添加，利用证明，故B不符合题意；
添加，利用证明，故C不符合题意；
添加，利用证明，故D不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据全等的判定定理及推论（，，，，），对选项一一分析，再作出判断．
6．（2024九上·邵东模拟）某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（　　）
成绩（分） 30 29 28 26 18
人数（人） 32 4 2 1 1
A．该班共有40名学生
B．该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分
C．该班学生这次考试成绩的众数为30分
D．该班学生这次考试成绩的中位数为28分
【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：A、32+4+2+1+1=40，该班共有40名学生，A不符合题意；
B、（30×32+29×4+28×2+×1+18×1）÷40=29.4，B不符合题意；
C、30分出现的次数最多，众数为30，C不符合题意；
D、第20和21两个数的平均数为30，故中位数为30，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】通过计算可知A、B选项错误；众数是一组数据中，出现次数最多的数，可知C选项错误；根据中位线的定义可知D选项正确。
7．（2024九上·邵东模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图像可得：
当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∵一次函数与反比例函数的图像两个交点的横坐标分别是：
当时，，
故答案为：D．
【分析】根据，可列一次函数在反比例函数的图象上方，只需在图象中找出这部分图象，再根据交点的横坐标求出不等式的解集．
8．（2024九上·邵东模拟）如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型
9．（2024九上·邵东模拟）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形；归纳与类比
【解析】【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，
设AC＝x，则BC＝x，AB＝，CD＝，
∴
故答案为：B.
【分析】延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则BC＝x，AB＝，CD＝，再利用正切的定义及计算方法求出即可.
10．（2024九上·邵东模拟）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，解得 ，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，
故选：D．
【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
11．（2024九上·邵东模拟）分解因式：=　 　．
【答案】．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=．
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
12．（2024九上·邵东模拟）如图，把一块三角板的角的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
，，
，解得：，
直尺的两边平行，
，
故答案为：．
【分析】先利用平角的定义，求出，再根据平行线的性质求得.
13．（2024九上·邵东模拟）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为0、1、2，
∴，
故答案为：．
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解列关于a的不等式即可得答案．
14．（2024九上·邵东模拟）已知，为一元二次方程的两个实数根，那么　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，为一元二次方程的两个实数根，
故答案为： .
【分析】先利用根与系数的关系求得两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形式后，代入求解．
15．（2024九上·邵东模拟）如图，四边形是菱形，，于点，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
16．（2024九上·邵东模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的结论有　 　（填上序号即可）
【答案】①，②．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（ 1，4），
∴二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4，
故①正确；
当x＝2时，函数图象在x轴的下方，
∴y＜0，
∴4a＋2b＋c＜0，
故②正确；
∵抛物线与x轴的两个交点分别为（-3，0）和（1，0）
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根为x=-3和x=1，
∵-3+1=-2，
∴ 一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为 2，
故③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤ 2，故④错误．
故答案为：①，②．
【分析】①根据图中抛物线的顶点坐标，确定二次三项式ax2＋bx＋c的最大值；
②根据图象可知当x＝2时，y＜0，可确定4a＋2b＋c的符号；
③先根据抛物线与x轴的两个交点，写出两个交点的坐标，就可确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根，再求它们的和；
④利用函数图象，可确定使y≤3成立的x的取值范围．
17．（2024九上·邵东模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，先计算负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可．
18．（2024九上·邵东模拟）平行四边形中，对角线相交于点O，E、F分别为线段的两点，，求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质和已知条件，证得和有两边夹角分别相等，可证，再由全等三角形的性质，证得，再利用平行线的判定求解．
19．（2024九上·邵东模拟）先化简，再求值：，其中x的值是不等式的最大整数解．
【答案】解：解不等式，得，
∴不等式的最大整数解是－3，
．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先解不等式，求出x的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后代入求值．
20．（2024九上·邵东模拟）“勤劳孝亲”是中华民族的传统美德，学校倡导同学们利用假期在家里帮助父母做力所能及的家务．明德同学在本学期开学初随机对自己所在学校的部分同学整个寒假在家做家务的时间情况进行了抽样调查(时间取整数小时)，并绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图解决下列问题：
（1）抽样调查抽取的样本容量是________；
（2）通过计算补全频数分布直方图；
（3）如果该学校共有学生2800人，那么大约有多少名学生在整个寒假做家务的时间在30.5~50.5小时之间？
【答案】解：（1）100；
（2）20.5~30.5的频数为： ，
补全频数分布直方图如下：
；
（3）∵在整个假期做家务的时间在 ~ 小时之间的人数为15+10=25（人），
∴在整个假期做家务的时间在 ~ 小时之间的人数为（人）.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵10.5~20.5这一组有25人，占25%，
∴抽取的样本容量是25÷25%=100（人）．
故答案为：100；
【分析】（1）根据10.5~20.5这一组的频数与所占百分比，可求得总数；
（2）先求出20.5~30.5这一组的频数，再补全频数分布直方图；
（3）先计算出30.5~50.5之间的频数，再根据该学校总学生数求出在整个寒假做家务的时间在30.5~50.5小时之间的学生数．
21．（2024九上·邵东模拟）如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．
（1）试说明：．
（2）求的长．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
∵，
，
，解得：（负值舍去）．
答：的长度为．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）通过证明两个三角形有两对角分别相等，来证明；
（2）先根据，列出比例式，证得，结合已知求得CH，再根据，列出比例式求出DH即可．
22．（2024九上·邵东模拟）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到）
（2）求显示屏项端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：）
【答案】解：（1）由已知得：，
在中，，
（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为；
（2）如图，过点B作于点F，
．
，
∴，
，
，
，
，
（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先根据已知求得AP，再利用锐角三角函数求出AE；
（2）先利用锐角三角函数求出AF和BF，再利用线段和求出AC．
23．（2024九上·邵东模拟）牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
（1）求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元；
（2）假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，．
①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？
②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，
可列方程组为，
解得：，
答：甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元．
（2）解：①由题意得：，
解得：，
，
，即当日生产5千克时，盈利为180元．
②当时，利润，
∴当时，利润最大，最大利润为196元，
当时，利润，
随的增大而减小，
∴当时，（元），
∵，
每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，根据“ 甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元 ”列出方程组求解；
（2）①先列出方程求解，再根据生产量小于8千克，说明巴特尔当日的利润能180元；
②分别在“”、“”时求出最大值，作出比较，再下结论．
24．（2024九上·邵东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为．
（1）求过点B的反比例函数的解析式；
（2）点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）解：如图，过点A作轴于E，过B作轴于G，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，轴，
∴，
∴，
∴．
∵过B点的反比例函数解析式为，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为.
（2）解：∵，
∴，
①当O为顶点时，，
∴或；
②当D为顶点时，，
∵四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，
∴点D与C重合，
∴；
③当B为顶点时，，则，
∴，
∴；
综上所述，D的坐标为或或或.
（3）解：如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，
∵，
∴，
∴．
设，则，，
①当以为斜边时，，
∴，
解得，
∴Q或；
②当以为斜边时，∵ 以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴；
③当以为斜边时，∵ 以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，Q的坐标为：或或或．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标可求出OE与AE，再利用勾股定理求得OA，然后根据菱形的性质可求得AB，再利用线段和求出OG，从而可求得B点坐标，将B点坐标代入反比例函数解析式中，求得k即可得出反比例函数解析式；
（2）先根据勾股定理求得OB，再分“O为顶点”、“D为顶点”、“B为顶点”三种情讨论，分别求得D点的坐标；
（3）先根据B点的坐标，求得F点的坐标，从而可求得BF2，再利用勾股定理求得BQ2与FQ2，然后分“为斜边”、“为斜边”、“为斜边”三种情况，分别求出Q点的坐标．
25．（2024九上·邵东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线上方抛物线上一动点；
①连接，，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值；
②是否存在点D，使等于的2倍？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：对于直线，
当时，；
当时，，解得，
，
∴可设抛物线解析式为，
∵点，
∴，
解得：，
∴，
抛物线解析式为．
（2）解：①过点作轴，交于点，过点作轴交直线于点，
设点，
点，
∴，
将代入中得，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
的最大值为．
②过点作轴，交轴于点，直线于点，
设点，
则，
当，则，
，
∵，
，
∴，
解得：（舍去），
点．
【知识点】利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）先根据直线求得A、C两点的坐标，再设抛物线解析式为，将点代入抛物线解析式中，求出a即可；
（2）①先设点，就可用m表示出点M的坐标，从而可用m表示出DM，再将代入中，可求得点N的坐标，再证明，用m表示出，再利用二次函数的性质求解；
②先设点，则，根据正切，得到关于a的方程求解，再求出D点的坐标．
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