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2024年贵州省铜仁市万山区九年级中考数学三模试题
1．（2024九下·万山模拟）2的相反数是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2的相反数是.
故答案为：C.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．（2024九下·万山模拟）生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（　　）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．四棱锥
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：正方体的三视图都是正方形，故A符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，左视图是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故B不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，故C不符合题意；
四棱锥主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是四边形，故D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据逐一分析几何体的三视图形，再作出判断．
3．（2024九下·万山模拟）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州奥体中心体育场占地面积430亩，共有80800个座位，其中数80800用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数．
4．（2024九下·万山模拟）如图，，平分，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质得出∠1，再利用角平分线的意义求出∠BCD，然后利用三角形内角和定理求出∠B．
5．（2024九下·万山模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
6．（2024九下·万山模拟）正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正十二边形的外角和为．
故选：C．
【分析】本题考查多边形的外角和定理．根据多边形的外角和都为，据此可选出答案.．
7．（2024九下·万山模拟）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，
则 .
故答案为：A.
【分析】因为平均增长率为x，则第三天揽件量=第一天揽件量× (1 +平均增长率) 2， 依此列出等式，即可解答.
8．（2024九下·万山模拟）一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（　　）
A．6个 B．12个 C．18个 D．24个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中红球有x个，
可列方程为：，
解得：，
经检验：时，，
∴是原方程的解．
故答案为：B．
【分析】利用频率估计概率，列出分式方程求解．
9．（2024九下·万山模拟）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故答案为：A．
【分析】由于位似图形的位似中心一定在任意一对对应点所在直线上，故直线AD与BE的交点就是位似中心，于是利用待定系数法求出直线AD的解析式，再求出直线AD与x轴的交点坐标即可.
10．（2024九下·万山模拟）若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数y=的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（﹣6，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，C（3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y3＞y1＞y2.
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数的比例系数的符号，确定增减性，再利用增减性求解.
11．（2024九下·万山模拟）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： ∵与正五边形的两边相切于两点，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故答案为：A．
【分析】先利用切线的性质，求得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，再利用正五边形的每个内角的度数为108°，可求∠AOC的度数 ．
12．（2024九下·万山模拟）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故答案为：C．
【分析】过点C作于D，连接，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，即，再根据三角形面积可得CD，根据勾股定理可得AD，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，当最小时，即最小，当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，即可求出答案.
13．（2024九下·万山模拟）计算： 　 　
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
【分析】首先根据二次根式的性质，将二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可。
14．（2024九下·万山模拟）如果方程的两个实数根分别是，那么　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两个实数根分别是，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解.一元二次方程根与系数的关系为：若是一元二次方程的两根，，．
15．（2024九下·万山模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点B的坐标是，且，则点A的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，.
∵点B的坐标是，
∴.
∴，
∴点A的坐标．
故答案为：．
【分析】先根据菱形的性质求得AB，再根据勾股定理求出，然后写出A点的坐标.
16．（2024九下·万山模拟）如图，弧所对圆心角，半径为8，点C是中点，点D弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 　 　．
【答案】
【知识点】圆的相关概念；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，以为边向下作正方形，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AE的最小值为．
故答案为：．
【分析】先利用SAS证明，再根据全等三角形的性质求得EF，然后根据，求得AE的最小值．
17．（2024九下·万山模拟）计算
（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式的混合运算；零指数幂；求特殊角的三角函数值；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而合并同类项即可求解；
（2）运用分式的性质与化简即可求解。
18．（2024九下·万山模拟）国家花样滑雪运动队为了选拔奥运会运动员，去某体育学校举办了一次预选赛，将成绩分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
（1）这次预选赛共有 名运动员参赛，在扇形统计图中，表示“优秀”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请写出一条对同学们滑雪运动的建议．
【答案】（1）40；
（2）解：及格的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：根据条形图及扇形统计图看出优秀率不是很高，良好和及格的人数较多，
建议平时多训练，提高滑雪水平（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）这次预选赛共有（名），
表示“优秀”的扇形圆心角的度数为；
故答案为：40；；
【分析】（1）根据成绩“优秀”的学生人数与所占百分比求出预选赛一共随机抽取的学生人数，再利用乘以成绩“优秀”的学生人数所占百分比求出 表示“优秀”的扇形圆心角的度数 ；
（2）先求出及格人数，再补全条形统计图；
（3）根据统计图的数据分析解答．
（1）解：这次预选赛共有（名），
表示“优秀”的扇形圆心角的度数为；
（2）解：及格的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：根据条形图及扇形统计图看出优秀率不是很高，良好和及格的人数较多，
建议平时多训练，提高滑雪水平（答案不唯一）．
19．（2024九下·万山模拟）如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：；
（2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵点O为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先利用线段的中点证明BO=DO，再利用平行线的性质证明，，然后根据证明；
（2）先根据全等三角形的性质，得出，再证明四边形为平行四边形，然后利用，证明四边形为菱形．
20．（2024九下·万山模拟）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，
由题意得：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得：，
∴w与m的函数关系式为；
②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，
∴当时，w最大，最大值，
则，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，先根据题意列出w和m的关系式，进而根据题意即可得到m的取值范围；
②根据一次函数的性质结合题意即可得到当时，w最大，进而即可求解。
21．（2024九下·万山模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）
【答案】解：如图，过点作于点，于点，
∵，，
∴∠AGC=∠AFC=90°，
又∠C=90°，
∴四边形是矩形，
∴AG=CF，
∵，（米）
∴（米），
（米），
∴（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先证明四边形是矩形，再利用正弦求得BG，利用余弦求得AG，然后根据矩形的性质求得CF，接着利用线段的差求得AF，再利用等腰直角三角形的性质求得DF，最后利用，求出CD．
22．（2024九下·万山模拟）如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ACB，再利用等边对等角，证得，从而有，可证得，再根据OC是半径，可证得结论成立；
（2）先利用两角之差求得∠A，再根据圆周角定理求得∠AOC，然后利用正切，得到关于OC的方程求解，求得OC，从而利用扇形及三角形的面积公式求解．
23．（2024九下·万山模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵点在 反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴B（-1，4）.
∵ 一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
根据图象可知，在A与B之间满足要求，在y轴的右侧也满足要求，
∵点，B（-1，4），
∴ 不等式的解集为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出B点的坐标，然后利用待定系数法求出 一次函数的解析式；
（2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分，再写出不等式的解集．
24．（2024九下·万山模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）若，点在该抛物线上，且，比较的大小，并说明理由；
（3）当抛物线与线段只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.

（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线.
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴关于对称轴对称的t的取值范围为，
∴.
（3）解：由直线，
当时，，
当时，，解得
∴，
分三种情况讨论：
①当抛物线过点B时，可得，
解得或.
当时，抛物线的表达式为，
联立
解得或.
∵，
∴两交点都在线段上．
当时，同理可得或（负值舍去），
∴；
②当抛物线过点A时，可得，
解得或，
∴＜m≤；
③当直线与抛物线的公共点为抛物线顶点时，
∵由（1）知抛物线顶点的纵坐标为－2，故此情况不存在．
综上所述，m的取值范围为或.

【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式转化为顶点式，再求出抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）先求出抛物线的对称轴，再利用增减求解；
（3）分"抛物线过点B"、"抛物线过点A"、“直线与抛物线的公共点为抛物线顶点”三种情况，分别求出m的范围．
（1）∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线.
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴关于对称轴对称的t的取值范围为，
∴；
（3）由直线，
当时，，
当时，，解得
∴，
分三种情况讨论：
①当抛物线过点B时，可得，
解得或.
当时，抛物线的表达式为，
联立
解得或.
∵，
∴两交点都在线段上．
当时，同理可得或（负值舍去），
∴；
②当抛物线过点A时，可得，
解得或，
∴＜m≤；
③当直线与抛物线的公共点为抛物线顶点时，
∵由（1）知抛物线顶点的纵坐标为－2，故此情况不存在．
综上所述，m的取值范围为或
25．（2024九下·万山模拟）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．
（1）当旋转角为多少度时，；
（2）若点，求的长；
（3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式．
【答案】（1）解：设G是轴正半轴上的一点，如下图：
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵交直线于点，
∴，
∴，
即；
（2）解：过点A作轴，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：.
（3）解：过点N作于点G，交于点Q，
∵正方形，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴O、C、F、N四点共圆，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
1 / 12024年贵州省铜仁市万山区九年级中考数学三模试题
1．（2024九下·万山模拟）2的相反数是（　　）
A． B． C． D．2
2．（2024九下·万山模拟）生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（　　）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．四棱锥
3．（2024九下·万山模拟）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州奥体中心体育场占地面积430亩，共有80800个座位，其中数80800用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·万山模拟）如图，，平分，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·万山模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．9
6．（2024九下·万山模拟）正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
7．（2024九下·万山模拟）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九下·万山模拟）一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（　　）
A．6个 B．12个 C．18个 D．24个
9．（2024九下·万山模拟）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·万山模拟）若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
11．（2024九下·万山模拟）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024九下·万山模拟）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
13．（2024九下·万山模拟）计算： 　 　
14．（2024九下·万山模拟）如果方程的两个实数根分别是，那么　 　．
15．（2024九下·万山模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点B的坐标是，且，则点A的坐标是　 　．
16．（2024九下·万山模拟）如图，弧所对圆心角，半径为8，点C是中点，点D弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 　 　．
17．（2024九下·万山模拟）计算
（1）计算：．
（2）化简：．
18．（2024九下·万山模拟）国家花样滑雪运动队为了选拔奥运会运动员，去某体育学校举办了一次预选赛，将成绩分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
（1）这次预选赛共有 名运动员参赛，在扇形统计图中，表示“优秀”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请写出一条对同学们滑雪运动的建议．
19．（2024九下·万山模拟）如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：；
（2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．
20．（2024九下·万山模拟）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
21．（2024九下·万山模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）
22．（2024九下·万山模拟）如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
23．（2024九下·万山模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
24．（2024九下·万山模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）若，点在该抛物线上，且，比较的大小，并说明理由；
（3）当抛物线与线段只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
25．（2024九下·万山模拟）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．
（1）当旋转角为多少度时，；
（2）若点，求的长；
（3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2的相反数是.
故答案为：C.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：正方体的三视图都是正方形，故A符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，左视图是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故B不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，故C不符合题意；
四棱锥主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是四边形，故D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据逐一分析几何体的三视图形，再作出判断．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质得出∠1，再利用角平分线的意义求出∠BCD，然后利用三角形内角和定理求出∠B．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正十二边形的外角和为．
故选：C．
【分析】本题考查多边形的外角和定理．根据多边形的外角和都为，据此可选出答案.．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，
则 .
故答案为：A.
【分析】因为平均增长率为x，则第三天揽件量=第一天揽件量× (1 +平均增长率) 2， 依此列出等式，即可解答.
8．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中红球有x个，
可列方程为：，
解得：，
经检验：时，，
∴是原方程的解．
故答案为：B．
【分析】利用频率估计概率，列出分式方程求解．
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故答案为：A．
【分析】由于位似图形的位似中心一定在任意一对对应点所在直线上，故直线AD与BE的交点就是位似中心，于是利用待定系数法求出直线AD的解析式，再求出直线AD与x轴的交点坐标即可.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数y=的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（﹣6，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，C（3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y3＞y1＞y2.
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数的比例系数的符号，确定增减性，再利用增减性求解.
11．【答案】A
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： ∵与正五边形的两边相切于两点，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故答案为：A．
【分析】先利用切线的性质，求得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，再利用正五边形的每个内角的度数为108°，可求∠AOC的度数 ．
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故答案为：C．
【分析】过点C作于D，连接，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，即，再根据三角形面积可得CD，根据勾股定理可得AD，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，当最小时，即最小，当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
【分析】首先根据二次根式的性质，将二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可。
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两个实数根分别是，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解.一元二次方程根与系数的关系为：若是一元二次方程的两根，，．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，.
∵点B的坐标是，
∴.
∴，
∴点A的坐标．
故答案为：．
【分析】先根据菱形的性质求得AB，再根据勾股定理求出，然后写出A点的坐标.
16．【答案】
【知识点】圆的相关概念；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，以为边向下作正方形，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AE的最小值为．
故答案为：．
【分析】先利用SAS证明，再根据全等三角形的性质求得EF，然后根据，求得AE的最小值．
17．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；分式的混合运算；零指数幂；求特殊角的三角函数值；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而合并同类项即可求解；
（2）运用分式的性质与化简即可求解。
18．【答案】（1）40；
（2）解：及格的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：根据条形图及扇形统计图看出优秀率不是很高，良好和及格的人数较多，
建议平时多训练，提高滑雪水平（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）这次预选赛共有（名），
表示“优秀”的扇形圆心角的度数为；
故答案为：40；；
【分析】（1）根据成绩“优秀”的学生人数与所占百分比求出预选赛一共随机抽取的学生人数，再利用乘以成绩“优秀”的学生人数所占百分比求出 表示“优秀”的扇形圆心角的度数 ；
（2）先求出及格人数，再补全条形统计图；
（3）根据统计图的数据分析解答．
（1）解：这次预选赛共有（名），
表示“优秀”的扇形圆心角的度数为；
（2）解：及格的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：根据条形图及扇形统计图看出优秀率不是很高，良好和及格的人数较多，
建议平时多训练，提高滑雪水平（答案不唯一）．
19．【答案】（1）证明：∵点O为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
连接、，如图，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先利用线段的中点证明BO=DO，再利用平行线的性质证明，，然后根据证明；
（2）先根据全等三角形的性质，得出，再证明四边形为平行四边形，然后利用，证明四边形为菱形．
20．【答案】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，
由题意得：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得：，
∴w与m的函数关系式为；
②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，
∴当时，w最大，最大值，
则，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，先根据题意列出w和m的关系式，进而根据题意即可得到m的取值范围；
②根据一次函数的性质结合题意即可得到当时，w最大，进而即可求解。
21．【答案】解：如图，过点作于点，于点，
∵，，
∴∠AGC=∠AFC=90°，
又∠C=90°，
∴四边形是矩形，
∴AG=CF，
∵，（米）
∴（米），
（米），
∴（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先证明四边形是矩形，再利用正弦求得BG，利用余弦求得AG，然后根据矩形的性质求得CF，接着利用线段的差求得AF，再利用等腰直角三角形的性质求得DF，最后利用，求出CD．
22．【答案】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ACB，再利用等边对等角，证得，从而有，可证得，再根据OC是半径，可证得结论成立；
（2）先利用两角之差求得∠A，再根据圆周角定理求得∠AOC，然后利用正切，得到关于OC的方程求解，求得OC，从而利用扇形及三角形的面积公式求解．
23．【答案】（1）解：∵点在 反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴B（-1，4）.
∵ 一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
根据图象可知，在A与B之间满足要求，在y轴的右侧也满足要求，
∵点，B（-1，4），
∴ 不等式的解集为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出B点的坐标，然后利用待定系数法求出 一次函数的解析式；
（2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分，再写出不等式的解集．
24．【答案】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.

（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线.
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴关于对称轴对称的t的取值范围为，
∴.
（3）解：由直线，
当时，，
当时，，解得
∴，
分三种情况讨论：
①当抛物线过点B时，可得，
解得或.
当时，抛物线的表达式为，
联立
解得或.
∵，
∴两交点都在线段上．
当时，同理可得或（负值舍去），
∴；
②当抛物线过点A时，可得，
解得或，
∴＜m≤；
③当直线与抛物线的公共点为抛物线顶点时，
∵由（1）知抛物线顶点的纵坐标为－2，故此情况不存在．
综上所述，m的取值范围为或.

【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式转化为顶点式，再求出抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）先求出抛物线的对称轴，再利用增减求解；
（3）分"抛物线过点B"、"抛物线过点A"、“直线与抛物线的公共点为抛物线顶点”三种情况，分别求出m的范围．
（1）∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线.
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴关于对称轴对称的t的取值范围为，
∴；
（3）由直线，
当时，，
当时，，解得
∴，
分三种情况讨论：
①当抛物线过点B时，可得，
解得或.
当时，抛物线的表达式为，
联立
解得或.
∵，
∴两交点都在线段上．
当时，同理可得或（负值舍去），
∴；
②当抛物线过点A时，可得，
解得或，
∴＜m≤；
③当直线与抛物线的公共点为抛物线顶点时，
∵由（1）知抛物线顶点的纵坐标为－2，故此情况不存在．
综上所述，m的取值范围为或
25．【答案】（1）解：设G是轴正半轴上的一点，如下图：
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵交直线于点，
∴，
∴，
即；
（2）解：过点A作轴，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：.
（3）解：过点N作于点G，交于点Q，
∵正方形，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴O、C、F、N四点共圆，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
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