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湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角的对边分别是．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，则
A． B． C． D．
7．二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到轴距离为4，，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．的面积为6 D．
二、多选题
9．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象对于点对称
C．函数在单调递增 D．函数在上的值域是
10．已知向量，满足，，则（ ）
A．的最大值是3 B．的最小值是0
C．的最大值是 D．的最小值是4
11．如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ）

A．面 B．与是异面直线
C．的最小值为 D．三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．正实数a，b满足3a+2b＝9，则的最小值为 .
13．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
14．在中，，，，点为边边上一动点，将沿着翻折，使得点到达，且平面平面，则当最小时，的长度为 .
四、解答题
15．已知是第四象限角，且，计算：
（1）；
（2）.
16．如图，在四棱锥中，，侧面平面．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积．
17．如图，在梯形中，，分别为的中点，是线段上的动点．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若，求的最小值．
18．如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
（I）证明：CE∥平面PAB；
（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值
19．函数是定义在区间上的奇函数，且当时，.
(1)求当时，的解析式；
(2)令函数，求的值域.
湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D B A D D ABD ACD
题号 11
答案 ACD
1．B
【详解】令，因为，
所以，
得，
所以与的夹角为.
故选：B.
2．A
【详解】依题意，.
故选：A
3．C
【详解】在方向上的投影向量为，
故选：C
4．D
【详解】，由正弦定理得，故，
又，，故，
，所以．
又，
设，则，解得或（舍去）．
故选：D．
5．B
【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得，
所以圆台的母线长为，
则圆台的表面积为.
故选：B．
6．A
【详解】∵，∴．
又，
，
又，∴．
故选A．
7．D
【详解】如图，二次函数的图象开口向上，由于，则点在x轴下方，
过作轴于，设点，
则，由，得，
于是，即有，
整理得，显然是方程的两个实根，
则，从而，即，
由点在二次函数的图象上，得，因此，解得，
所以a的值为.
故选：D
8．D
【详解】对于A，，
由余弦定理得，则，A正确；
对于B，，，
，由正弦定理得
，又
， ，，B正确；
又，由正弦定理得
，D错误；
，C正确；
故选：D.
9．ABD
【详解】由题知，.
函数的最小正周期为，故选项A正确；
令，，得，
所以函数的图象的对称中心为，.
当时，，所以点是函数的图象的对称中心，故选项B正确；
由，得，，
当时，有在上递增；当时，有在上递增；
所以在上先递增后递减，故选项C错误；
当时，，，
所以函数在上的值域是，故选项D正确；
故选：ABD.
10．ACD
【详解】因为，
所以，当且仅当，反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确；
因为，
所以，当且仅当，反向时取最小值，同向时取最大值，故B错误；
设，由A，B可知，，
所以，所以，故CD正确.
故选：ACD
11．ACD
【详解】
对于A，连接，

正方体中，，，四边形为平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面，
同理平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故A正确；
对于B，当点P在点处时，，即，故B错误；
对于C，将平面沿展开到与平面共面，连接与的交点即为P，如图，

此时，在中，，，，
由余弦定理有：
∴的最小值为，故C正确；
对于D，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，则有，
∵平面，平面，∴平面，
∴P到平面的距离等于到平面，为定值，
又的面积也为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：ACD．
12．3
【详解】因为3a+2b＝9，所以，当且仅当a＝1，b＝3时取等号.
故答案为：3
13．
【详解】解：在正方体中，
因为，
所以即为异面直线与所成的角，
所以异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
14．/
【详解】在中，，，，由勾股定理可得;

设，过 作交或的延长线于点，过作交或的延长线于点，
，，
,
又平面平面，平面平面，
平面，平面，,
,
在中，；
在中，；
,
又，而,
，
，当时， 取最小值为，
即，，
为的角平分线，
由角平分线定理可得，即，
，
,
故答案为：
15．（1）1；（2）1.
【详解】（1）
；
（2）由，
则，
因为是第四象限角，
所以，，
所以
．
16．(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
(3)2.
【详解】（1）证明：在△中，取的中点M，连接，
因为，所以，
因为侧面平面，且侧面平面，平面
所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，所以平面.
（2）由（1）知平面，又平面，所以，
在△中，因为，所以，
所以，
在同一平面中，因为，，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（3）由（1）知平面，连接，则为直线与平面所成的角.
在Rt△中，，所以,
在Rt△中，，所以，解得.
故三棱锥的体积.
17．(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）由题意知，，
所以，
所以三点共线；
（2）在梯形中，，
易得，
设，
解法一：所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：因为，
所以，
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以最小值为；
解法三：以为坐标原点建立如图所示坐标系，
则，
设，则，
由于，因此，
解得，，
因此，
故，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
18．（I）见解析；（II）.
（Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可证明；（Ⅱ）由题意，取BC，AD的中点M，N，可得AD⊥平面PBN，即BC⊥平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．依此可在Rt△MQH中，求∠QMH的正弦值．
试题解析：
（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连接EF，FB．
因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，
又因为，，所以且，
即四边形BCEF为平行四边形，所以，
因此平面PAB．
（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连接PN交EF于点Q，连接MQ．
因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，
在平行四边形BCEF中，MQ//CE．
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD．
由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD．
所以AD⊥平面PBN，
由BC//AD得BC⊥平面PBN，
那么平面PBC⊥平面PBN．
过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH．
MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．
设CD=1．
在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，
在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，
在Rt△MQH中，QH=，MQ=，
所以sin∠QMH=，
所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．
19．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
设，则，
因为函数是定义在区间上的奇函数
故得到
故得到.
当时，.
（2）函数
化简得到
当时，，当时函数取最值；
当时，是增函数，函数值域为
综上所述，值域为.
.

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