资源简介

江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研（二）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ）
A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形
7．在等腰直角中，，点将三等分，则（ ）
A． B． C． D．
8．在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则一定是锐角三角形
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则有两解
11．在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使与平面相交 B．
C．与平面所成角的正弦最大值为 D．的最小值为
三、填空题
12．已知角满足，，则 ．
13．已知向量满足，且，则 ．
14．已知圆锥的轴截面是正三角形，为圆锥底面圆上的一点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
四、解答题
15．在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．如图，在正三棱柱中，分别为中点．
求证：
(1)平面；
(2)平面．
17．如图，在梯形中，，且为的中点，，．
(1)求的值；
(2)若，求．
18．在中，角所对的边分别为．已知．
(1)求角；
(2)设为边上一点，记，的面积分别为，若，且．
①求；②求的值．
19．如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值．
江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研（二）数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C D B C D ABD AC
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】由题设.
故选：A
2．C
【详解】由，且，则，
又，则.
故选：C
3．B
【详解】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误；
对于B，如图，设，，点是平面内一点，
过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
因为，且，，
且，，
所以，.又，
则，.又，所以，故B正确；

对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误；
对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误.
故选：B
4．C
【详解】由题设，则，
所以，又，可得.
故选：C
5．D
【详解】由正四棱台的结构特征有，A不符；
由棱台的性质知，四条侧棱延长线交于一点，记为，
又分别为的中点，则也交于点，B不符；
由棱台结构易知平面，
由平面，平面平面，则，C不符；
由平面，又且都在平面内，，则和为异面直线，D符合.
故选：D
6．B
【详解】延长交直线于，连接交于，连接，即即为所求截面，
由题设有，即为的中点，则且，
又，，则为平行四边形，
所以且，故且，又，
所以为等腰梯形.
故选：B
7．C
【详解】设，则，则，
故，同理，
所以，又，则，
所以.
故选：C
8．D
【详解】由三角形为斜三角形且，故，
又，，，
则，而，
所以，则，
所以
令，则，
所以，故.
故选：D
9．ABD
【详解】因为，所以，又，
所以，
所以
，故A正确；
所以，故C错误；
因为，，所以，
所以，故B正确；
，故D正确.
故选：ABD
10．AC
【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，A选项正确；
对于B，若满足，则不是锐角三角形是直角三角形，B选项错误；
对于C，若，则所以为钝角，所以一定是钝角三角形，C选项正确；
对于D，若，则，所以，只有一个解，有一个解，D选项错误；
故选：AC.
11．BCD
【详解】由正方体知，则为平行四边形，故，
由平面，平面，则平面，
同理可得平面，且都在平面内，
所以平面平面，平面，则平面，A错；
由平面，平面，则，又，
由且都在平面内，则平面，平面，
所以，同理可证，而且都在平面内，
所以平面，平面，则，B对；
由上平面，而到平面的距离，
而，则到平面的距离，
所以与平面所成角的正弦值为，
要使正弦值最大，只需最小，当时，有最小，
所以最小正弦值为，C对；
将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示，
当且仅当共线时，最小，
而，，故，D对.
故选：BCD
12．/
【详解】因为，即，
又，所以，
所以.
故答案为：
13．
【详解】由题设，，又，
所以，可得，
所以，可得.
故答案为：
14．/
【详解】过作，交底面圆周于，故异面直线与所成角，即为，
若底面半径为，轴截面是正三角形，，
则，，故.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
所以由余弦定理得，
又，则.
（2）由余弦定理得，
又，则，
由，则为锐角，故，
所以.
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）连接，交于，连接，由题意易知是的中点，
又分别为中点，则，
由平面，平面，则平面；
（2）由分别为中点，则，
在正三棱柱中且，则，
所以，则，
由为正三角形，为中点，则，
而平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，则，
由且都在平面内，则平面.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）由，
由，又，结合图知同向共线，
所以；
（2）由,
由（1），则，
，
，，则.
18．(1)；
(2)①；②.
【详解】（1）由和正弦定理，可得，即(*)，
又且，则，
故由(*)可得，联立解得；
（2）①由（1）易得，则有，，
因，，则，
即得，代入，可得①，
由，可得②，
将①②两式相乘，得，又，
联立解得，因为锐角，则；
②由上可得，代入①，，
所以，故.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）连接交于点，连接，
不妨设，
因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则，
因为为的中点，且，
因为，所以，即点为的中点，
翻折前，，翻折后，则有，则，即，
因为，为的中点，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，故直线与平面所成角，
易知，，，
故，即，
所以，故.
（2）取的中点，连接、，则，
因为，则，
因为平面，则平面，平面，所以，
因为，、平面，故平面，
因为平面，故.
（3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，故，
因为，，、平面，故平面，
因为平面，故，故二面角的平面角为，
因为，为的中点，故，
在平面内，，，则，
所以，故，所以，
故，
，
由勾股定理可得，
故，
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦直线为.

展开更多......

收起↑