资源简介 第1课时 导数的概念及运算[考试要求] 1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f (ax+b))的导数.1.导数的概念(1)函数y=f (x)在x=x0处的瞬时变化率称为y=f (x)在x=x0处的导数,记作______________或y′|,即f ′(x0)==.(2)函数y=f (x)的导函数(简称导数)f ′(x)=y′=.2.导数的几何意义函数y=f (x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f (x)在点P(x0,f (x0))处的切线的____,相应的切线方程为________________________________.提醒:在点P处有切线,P一定是切点,过点P有切线,P点不一定是切点.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f (x)=c(c为常数) f ′(x)=__f (x)=xα(α∈R,且α≠0) f ′(x)=__________f (x)=sin x f ′(x)=__________f (x)=cos x f ′(x)=____________f (x)=ax(a>0,且a≠1) f ′(x)=____________f (x)=ex f ′(x)=____f (x)=logax(a>0,且a≠1) f ′(x)=f (x)=ln x f ′(x)=____4.导数的运算法则若f ′(x),g′(x)存在,则有(1)[f (x)±g(x)]′=________________________;(2)[f (x)g(x)]′=__________________________________________;(3)′=(g(x)≠0);(4)[cf (x)]′=______________.5.复合函数的定义及其导数复合函数y=f (g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=______________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.[常用结论]几类重要的切线方程(1)直线y=x-1是曲线y=ln x的切线,直线y=x是曲线y=ln (x+1)的切线,如图①.由图①可知ln (x+1)≤x(x>-1),ln x≤x-1(x>0).(2)直线y=x+1与直线y=ex是曲线y=ex的切线,如图②.由图②可知ex≥x+1,ex≥ex.(3)直线y=x是曲线y=sin x与y=tan x的切线,如图③.由图③可知当x∈时,sin x<x<tan x.(4)直线y=x-1是曲线y=x2-x,y=x ln x及y=1-的切线,如图④.由图④可知x ln x≥x-1(x>0).一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)f ′(x0)是函数y=f (x)在x=x0附近的平均变化率. ( )(2)求f ′(x0)时,可先求f (x0),再求f ′(x0). ( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( )(4)函数f (x)=sin (-x)的导数是f ′(x)=cos x. ( )二、教材经典衍生1.(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后, 他的重心相对于水面的高度与时间之间的关系为h(t)=-4.9t2+8t+10(高度单位:m,时间单位:s),则他在0.5 s时的瞬时速度为( )A.9.1 m/s B.6.75 m/sC.3.1 m/s D.2.75 m/s2.(多选)(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1改编)下列求导正确的是( )A.(3x)′=3x ln 3B.(x2ln x)′=2x ln x+xC.′=D.(sin xcos x)′=cos 2x3.(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y=f (x)的图象如图所示,f ′(x)是函数f (x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )A.2f ′(3)B.2f ′(3)<2f ′(5)C.f (5)-f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)D.2f ′(5)<2f ′(3)4.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f (x)=ex+的图象在x=1处的切线方程为________.考点一 变化率问题[典例1] (多选)环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f (t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列结论正确的是( )A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强[听课记录] 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率=,如果当Δx趋于0时,无限趋近于一个常数,那么这个常数就是函数f (x)在x=x0处的瞬时变化率.求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.[跟进训练]1.(2024·江苏南通二模)已知f (x)=x3-x2,当h→0时,→_________.考点二 导数的运算[典例2] (1)(2025·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)满足f (x)=f ′sin x-cos x,则f ′的值为( )A.C.- D.-(2)(多选)下列求导正确的是( )A.[(3x+5)3]′=9(3x+5)2B.(x3ln x)′=3x2ln x+x2C.′=D.(2x+cos x)′=2x ln 2-sin x[听课记录] 导数的运算方法(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.[跟进训练]2.(1)(2025·广东肇庆模拟)已知函数f (x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f ′(2)=( )A.0 B.-12C.-120 D.120(2)(2025·广东广州模拟)已知函数f (x)=ln (2x-3)+axe-x,若f ′(2)=1,则a=________.考点三 导数的几何意义 求切线方程[典例3] (1)(2023·全国甲卷)曲线y=在点处的切线方程为( )A.y=x B.y=xC.y=x+ D.y=x+(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|经过坐标原点的两条切线方程分别为________,________.[听课记录] 求参数的值(范围)[典例4] (1)(2024·浙江绍兴二模)曲线f (x)=x+a ln x在点(1,1)处的切线与直线y=2x平行,则a=( )A.1 B.2C.-1 D.-2(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______.[听课记录] 导数几何意义的应用要点(1)处理与切线有关的问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.(2)函数f (x)过某点(m,n)有若干条切线,转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题.[跟进训练]3.(1)(2025·安徽宣城模拟)若曲线y=a ln x+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是,则a=______.(2)若函数f (x)=x-+aln x的图象上存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围是________.(3)若点P是曲线y=x2-2ln x上任意一点,则点P到直线y=x-3的距离的最小值为________. 考点四 两曲线的公切线问题[典例5] (1)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln (x+1)+a的切线,则a=________.(2)(2025·福建泉州模拟)若曲线y=x2与y=tex(t≠0)恰有两条公切线,则t的取值范围为( )A.C.(-∞,0) D.(-∞,0)[听课记录] 曲线公切线的求解策略设直线与曲线y=f (x)相切于点(x1,f (x1)),与曲线y=g(x)相切于点(x2,g(x2)),则切线方程为y-f (x1)=f ′(x1)(x-x1),即y=f ′(x1)x+f (x1)-f ′(x1)x1,同理y=g′(x2)x+g(x2)-g′(x2)x2.所以解出x1,x2,从而可得公切线方程.[跟进训练]4.(1)已知f (x)=ex-1,g(x)=ln x+1,则曲线f (x)与g(x)的公切线有( )A.0条 B.1条C.2条 D.3条(2)若两曲线y=ln x-1与y=ax2存在公切线,则正实数a的取值范围是( )A.(0,2e] B.C. D.[2e,+∞) 1.导函数与原函数对称性、周期性的关系性质1:若函数f (x)连续且可导,则f (x)的图象关于直线x=a对称 导函数f ′(x)的图象关于点(a,0)对称.性质2:若函数f (x)连续且可导,则f (x)的图象关于点(a,f (a))对称 导函数f ′(x)的图象关于直线x=a对称.性质3:f (x)的图象是周期为T的周期函数 f ′(x)的图象是周期为T的周期函数.2.导函数与原函数奇偶性的关系性质1:若f (x)为偶函数且可导,则f ′(x)为奇函数.性质2:若f (x)为奇函数且可导,则f ′(x)为偶函数.[典例1] 已知定义在R上的函数f (x)满足f (1+x)=f (1-x),且f (2+x)=-f (2-x),f ′(x)是f (x)的导数,则( )A.f ′(x)是奇函数,且是周期函数B.f ′(x)是偶函数,且是周期函数C.f ′(x)是奇函数,且不是周期函数D.f ′(x)是偶函数,且不是周期函数[赏析] 突破点1:熟知函数的性质根据题意,定义在R上的函数f (x)满足f (1+x)=f (1-x),所以f (-x)=f (2+x),又f (2+x)=-f (2-x),所以f (-x)=-f (4+x),所以f (x+4)=-f (x+2),即f (x+2)=-f (x),所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x),所以f (x)是周期为4的周期函数,所以f ′(x+4)=[f (x+4)]′=f ′(x),所以f ′(x)是周期函数.突破点2:导函数与原函数的奇偶性关系因为f (-x)=f (2+x)=-f (x),即f (x)=-f (-x),所以f ′(-x)=-[f (-x)]′=f ′(x),所以f ′(x)是偶函数.故选B.[答案] B[典例2] (多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R,记g(x)=f ′(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则( )A.f (0)=0 B.g=0C.f (-1)=f (4) D.g(-1)=g(2)[赏析] 突破点:原函数与导函数间的性质关系因为f ,g(2+x)均为偶函数,所以f =f ,即f =f ,g(2+x)=g(2-x),所以f (3-x)=f (x),g(4-x)=g(x),则f (-1)=f (4),故C正确;函数f (x),g(x)的图象分别关于直线x=,x=2对称,又g(x)=f ′(x),且函数f (x)可导,所以g=0,g(3-x)=-g(x),所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),所以g=g=0,g(-1)=g(1)=-g(2),故B正确,D错误;若函数f (x)满足题设条件,则函数f (x)+C(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定f (x)的函数值,故A错误.故选BC.[答案] BC 求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系,明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件,体会赋值法在解题中的应用.[跟进训练](多选)(2025·湖北武汉模拟)定义在R上的函数f (x)与g(x)的导函数分别为f ′(x)和g′(x),若g(x)-f (3-x)=2,f ′(x)=g′(x-1),且g(-x+2)=-g(x+2),则下列说法中一定正确的是( )A.g(x+2)为偶函数B.f ′(x+2)为奇函数C.函数f (x)是周期函数D.=0第1课时 导数的概念及运算梳理·必备知识1.(1)f ′(x0)2.斜率 y-f (x0)=f ′(x0)(x-x0)3.0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex 4.(1)f ′(x)±g′(x) (2)f ′(x)g(x)+f (x)g′(x)(3)(4)cf ′(x)5.y′u·u′x激活·基本技能一、(1)× (2)× (3)× (4)×二、1.C [∵h′(t)=-9.8t+8,∴h′(0.5)=-9.8×0.5+8=3.1.故选C.]2.ABD3.A [由题图知,f ′(3)<即2f ′(3)4.y=(e-1)x+2 [∵f ′(x)=ex-,∴f ′(1)=e-1,又f (1)=e+1,∴切点为(1,e+1),切线斜率k=f ′(1)=e-1,切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.]考点一典例1 ABC [-表示在[a,b]上割线斜率的相反数,-越大治理能力越强.对于A,在[t1,t2]这段时间内,甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大,故甲企业的污水治理能力比乙企业强,正确;对于B,要比较t2时刻的污水治理能力,即看在t2时刻两曲线的切线斜率,切线斜率的相反数越大,污水治理能力越强,故在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强,正确;对于C,在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,正确;对于D,甲企业在[t1,t2]这段时间内的污水治理能力最强,错误.故选ABC.]跟进训练1.1 [由导数的定义知,f ′(1)=,由f ′(x)=3x2-2x,得f ′(1)=1,所以当h→0时,→1.]考点二典例2 (1)A (2)ABD [(1)f ′(x)=f ′cos x+sin x,∴f ′=,∴f ′=.故选A.(2)对于A,[(3x+5)3]′=3(3x+5)2(3x+5)′=9(3x+5)2,故A正确;对于B,(x3ln x)′=(x3)′ln x+x3(ln x)′=3x2ln x+x2,故B正确;对于C,′==,故C错误;对于D,(2x+cos x)′=(2x)′+(cos x)′=2x ln 2-sin x,故D正确.故选ABD.]跟进训练2.(1)B (2)e2 [(1)令g(x)=x(x-1)(x-3)(x-4)(x-5),则f (x)=(x-2)g(x),两边求导得f ′(x)=g(x)+(x-2)g′(x),令x=2,得f ′(2)=g(2)=-12.故选B.(2)因为f (x)=ln (2x-3)+axe-x,所以f ′(x)=+ae-x-axe-x,所以f ′(2)=2+ae-2-2ae-2=2-ae-2=1,则a=e2.]考点三考向1 典例3 (1)C (2)y= y=-[(1)因为y=,所以y′==,故曲线在点处的切线斜率k=,所以切线方程为y-=(x-1),即y=x+.故选C.(2)当x>0时,点(x1,ln x1)(x1>0)上的切线为y-ln x1=(x-x1).若该切线经过原点,则ln x1-1=0,解得x1=e,此时切线方程为y=.当x<0时,点(x2,ln (-x2))(x2<0)上的切线为y-ln (-x2)=(x-x2).若该切线经过原点,则ln (-x2)-1=0,解得x2=-e,此时切线方程为y=-.]考向2 典例4 (1)A (2)(-∞,-4)∪(0,+∞) [(1)f ′(x)=1+,则f ′(1)=1+a,因为曲线f (x)在点(1,1)处的切线与直线y=2x平行,所以f ′(1)=1+a=2,解得a=1.故选A.(2)∵y=(x+a)ex,∴y′=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=,切线斜率k=,∴切线方程为=(x-x0),∵切线过原点,=(-x0),整理得+ax0-a=0,∵切线有两条,∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).]跟进训练3.(1) (2)(-∞,-2] (3) [(1)因为y=a ln x+x2(a>0),所以y′=+2x≥2,因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是,所以斜率k≥,所以=2,所以a=.(2)f ′(x)=1+(x>0),依题意得f ′(x)=1+=0有解,即-a=x+有解,∵x>0,∴x+≥2,当且仅当x=1时取等号,∴-a≥2,即a≤-2.(3)设平行于直线y=x-3且与曲线y=x2-2ln x相切的切线对应切点P(x,y),由y=x2-2ln x,得y′=3x-,令y′=3x-=1,得x=1或x=-(舍去),∴P,∴点P到直线y=x-3的距离的最小值为=.]考点四典例5 (1)ln 2 (2)A [(1)由y=ex+x得y′=ex+1,则y′|x=0=e0+1=2,故曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln (x+1)+a得y′=,设切线与曲线y=ln (x+1)+a相切的切点为(x0,ln (x0+1)+a),由两曲线有公切线得y′==2,解得x0=-,则切点为,切线方程为y=2+a+ln =2x+1+a-ln 2.根据两切线重合,得a-ln 2=0,解得a=ln 2.(2)设曲线y=tex的切点为M(m,tem),y=x2的切点为N(n,n2),则曲线y=tex在点M(m,tem)处的切线方程为y-tem=tem(x-m),即y=temx+tem-mtem,同理,y=x2在点N(n,n2)处的切线方程为y=2nx-n2,根据y=tex与y=x2有两条公切线,则所以tem-mtem=-,化简可得t=,转化为方程t=有两个解,构造函数f (x)=,则f ′(x)=,当x<2时,f ′(x)>0,f (x)单调递增;当x>2时,f ′(x)<0,f (x)单调递减,故f (x)在x=2时有极大值即为最大值,f (2)=,当x→-∞时,f (x)→-∞,当x→+∞时,f (x)→0,故t的取值范围为.故选A.]跟进训练4.(1)C (2)B [(1)根据题意,设直线l与曲线f (x)=ex-1相切于点(m,em-1),与曲线g(x)相切于点(n,ln n+1),对于f (x)=ex-1,有f ′(x)=ex,则直线l的斜率k=em,则直线l的方程为y+1-em=em(x-m),即y=emx+(1-m)em-1,对于g(x)=ln x+1,有g′(x)=,则直线l的斜率k=,则直线l的方程为y-(ln n+1)=(x-n),即y=x+ln n,则可得(1-m)(em-1)=0,即m=0或m=1,则切线方程为y=ex-1 或y=x,故曲线f (x)与g(x)的公切线有2条.(2)设公切线与曲线y=ln x-1和y=ax2的切点分别为),其中x1>0,对于y=ln x-1有y′=,则曲线y=ln x-1的切线方程为y-(ln x1-1)=(x-x1),即y=x+ln x1-2,对于y=ax2有y′=2ax,则曲线y=ax2的切线方程为=2ax2(x-x2),即y=,所以则=ln x1-2,即=ln x1(x1>0),令g(x)=2x2-x2ln x(x>0),则g′(x)=3x-2x ln x=x(3-2ln x),令g′(x)=0,得x=e^(〖(3) )/2〗,当x∈(0,)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,且当x→+∞时,g(x)→-∞,所以g(x)max=g()=e3,故0<e3,即a≥e-3.故选B.]微点突破3跟进训练BCD [对于A,由g(-x+2)=-g(x+2),故g(x+2)为奇函数,故A错误;对于B,由g(x)-f (3-x)=2,则g′(x)+f ′(3-x)=0,又f ′(x)=g′(x-1),即f ′(x+1)=g′(x)=-f ′(3-x),即f ′(x+2)=-f ′(2-x),又f ′(x+2)定义在R上,故f ′(x+2)为奇函数,故B正确;对于C,由g(-x+2)=-g(x+2),f ′(x)=g′(x-1),g(x)-f (3-x)=2,所以f (x)=g(x-1)+b,则f (-x+3)=g(-x+2)+b=-g(x+2)+b,所以g(x)-f (3-x)=g(x)+g(x+2)-b=2,g(x)+g(x+2)=b+2,所以g(x+2)+g(x+4)=b+2,所以g(x+4)=g(x),则函数g(x)是周期为4的周期函数,函数f (x)是周期为4的周期函数,故C正确;对于D,由g(x)是周期为4的周期函数,由g(-x+2)=-g(x+2),令x=0,则g(2)=-g(2),即g(2)=0,令x=1,则g(1)=-g(3),即g(1)+g(3)=0,由g′(x)+f ′(3-x)=0,f ′(-x+3)=g′(-x+2),则g′(x)=-g′(-x+2),则g′(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(x)的图象关于直线x=1对称,又g(x+2)为奇函数,即g(x)的图象关于点(2,0)中心对称,故g(x)的图象关于直线x=3对称,则g(4)=g(2)=0,则=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]=506×0=0,故D正确.故选BCD.]1/1(共105张PPT)第三章 一元函数的导数及其应用第三章 一元函数的导数及其应用[教师备选资源]新高考卷三年考情图解 第三章 一元函数的导数及其应用高考命题规律把握1.常考点:导数的几何意义、函数的单调性、函数的极值、不等式与导数.(1)导数的几何意义常以选择、填空题形式出现;(2)函数的单调性、不等式与导数常以压轴题形式出现.2.轮考点:函数的最值、零点与导数.常综合考查函数的极值、最值、零点与导数的关系,着重分类讨论思想的考查.第1课时导数的概念及运算[考试要求] 1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f (ax+b))的导数.链接教材·夯基固本1.导数的概念(1)函数y=f (x)在x=x0处的瞬时变化率称为y=f (x)在x=x0处的导数,记作_______或y′,即f ′(x0)==.(2)函数y=f (x)的导函数(简称导数)f ′(x)=y′=.f ′(x0)2.导数的几何意义函数y=f (x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f (x)在点P(x0,f (x0))处的切线的____,相应的切线方程为____________________.提醒:在点P处有切线,P一定是切点,过点P有切线,P点不一定是切点.斜率y-f (x0)=f ′(x0)(x-x0)3.基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f (x)=c(c为常数) f ′(x)=_f (x)=xα(α∈R,且α≠0) f ′(x)=_____f (x)=sin x f ′(x)=_____f (x)=cos x f ′(x)=______0αxα-1cos x-sin x基本初等函数 导函数f (x)=ax(a>0,且a≠1) f ′(x)=______f (x)=ex f ′(x)=__f (x)=logax(a>0,且a≠1) f ′(x)=f (x)=ln x f ′(x)=axln aex 4.导数的运算法则若f ′(x),g′(x)存在,则有(1)[f (x)±g(x)]′=____________;(2)[f (x)g(x)]′=_____________________;(3)′=(g(x)≠0);(4)[cf (x)]′=_______.f ′(x)±g′(x)f ′(x)g(x)+f (x)g′(x)cf ′(x)5.复合函数的定义及其导数复合函数y=f (g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=_______,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.y′u·u′x[常用结论]几类重要的切线方程(1)直线y=x-1是曲线y=ln x的切线,直线y=x是曲线y=ln (x+1)的切线,如图①.由图①可知ln (x+1)≤x(x>-1),ln x≤x-1(x>0).(2)直线y=x+1与直线y=ex是曲线y=ex的切线,如图②.由图②可知ex≥x+1,ex≥ex.(3)直线y=x是曲线y=sin x与y=tan x的切线,如图③.由图③可知当x∈时,sin x<x<tan x.(4)直线y=x-1是曲线y=x2-x,y=x ln x及y=1-的切线,如图④.由图④可知x ln x≥x-1(x>0).一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)f ′(x0)是函数y=f (x)在x=x0附近的平均变化率. ( )(2)求f ′(x0)时,可先求f (x0),再求f ′(x0). ( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( )(4)函数f (x)=sin (-x)的导数是f ′(x)=cos x. ( )××××√二、教材经典衍生1.(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后, 他的重心相对于水面的高度与时间之间的关系为h(t)=-4.9t2+8t+10(高度单位:m,时间单位:s),则他在0.5 s时的瞬时速度为( )A.9.1 m/s B.6.75 m/sC.3.1 m/s D.2.75 m/sC [∵h′(t)=-9.8t+8,∴h′(0.5)=-9.8×0.5+8=3.1.故选C.]2.(多选)(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1改编)下列求导正确的是( )A.(3x)′=3x ln 3B.(x2ln x)′=2x ln x+xC.′=D.(sin xcos x)′=cos 2x√√√3.(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y=f (x)的图象如图所示,f ′(x)是函数f (x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )A.2f ′(3)B.2f ′(3)<2f ′(5)C.f (5)-f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)D.2f ′(5)<2f ′(3)√A [由题图知,f ′(3)<即2f ′(3)4.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f (x)=ex+的图象在x=1处的切线方程为_____________.y=(e-1)x+2 [∵f ′(x)=ex-,∴f ′(1)=e-1,又f (1)=e+1,∴切点为(1,e+1),切线斜率k=f ′(1)=e-1,切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.]y=(e-1)x+2 考点一 变化率问题[典例1] (多选)环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f (t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.典例精研·核心考点则下列结论正确的是( )A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强√√√ABC [-表示在[a,b]上割线斜率的相反数,-越大治理能力越强.对于A,在[t1,t2]这段时间内,甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大,故甲企业的污水治理能力比乙企业强,正确;对于B,要比较t2时刻的污水治理能力,即看在t2时刻两曲线的切线斜率,切线斜率的相反数越大,污水治理能力越强,故在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强,正确;对于C,在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,正确;对于D,甲企业在[t1,t2]这段时间内的污水治理能力最强,错误.故选ABC.]名师点评 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率=,如果当Δx趋于0时,无限趋近于一个常数,那么这个常数就是函数f (x)在x=x0处的瞬时变化率.求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.[跟进训练]1.(2024·江苏南通二模)已知f (x)=x3-x2,当h→0时,→_________.1 [由导数的定义知,f ′(1)=,由f ′(x)=3x2-2x,得f ′(1)=1,所以当h→0时,→1.]1【教用·备选题】1.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s=sin 2t+t,则t=3 s时,此木块在水平方向上的瞬时速度为( )A.(2+cos 6)m/s B.2cos 6 m/sC.(1+2cos 6)m/s D.cos 6 m/s√C [下滑的水平距离s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s=sin 2t+t,s′=2cos 2t+1,所以t=3 s时,此木块在水平方向上的瞬时速度为(1+2cos 6)m/s.故选C.]2.(多选)吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的关系为r(V),r′为r(V)的导函数.已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示,若0≤V1A.<B.r′>r′C.r<D.存在V0∈,使得r′=√√BD [对于A,设tan α=,tan θ=,由题图得θ<α<,所以tan α>tan θ,所以>,所以该选项错误;对于B,由题图得图象上点的切线的斜率越来越小,根据导数的几何意义,得r′>r′,所以该选项正确;对于C,设V1=0,V2=3,所以r=r,=,因为r-r(0)>r(3)-r,所以r>,所以该选项错误;对于D,表示A(V1,r(V1)),B(V2,r(V2))两点之间的斜率,r′表示C(V0,r(V0))处切线的斜率,由于V0∈,所以可以平移直线AB,使之和曲线r(V)相切,切点就是点C,所以该选项正确.故选BD.]考点二 导数的运算[典例2] (1)(2025·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)满足f (x)=f ′sin x-cos x,则f ′的值为( )A.C.- D.-√(2)(多选)下列求导正确的是( )A.[(3x+5)3]′=9(3x+5)2B.(x3ln x)′=3x2ln x+x2C.′=D.(2x+cos x)′=2x ln 2-sin x√√√(1)A (2)ABD [(1)f ′(x)=f ′cos x+sin x,∴f ′=, ∴f ′=.故选A.(2)对于A,[(3x+5)3]′=3(3x+5)2(3x+5)′=9(3x+5)2,故A正确;对于B,(x3ln x)′=(x3)′ln x+x3(ln x)′=3x2ln x+x2,故B正确;对于C,′==,故C错误;对于D,(2x+cos x)′=(2x)′+(cos x)′=2x ln 2-sin x,故D正确.故选ABD.]名师点评 导数的运算方法(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.[跟进训练]2.(1)(2025·广东肇庆模拟)已知函数f (x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f ′(2)=( )A.0 B.-12C.-120 D.120(2)(2025·广东广州模拟)已知函数f (x)=ln (2x-3)+axe-x,若f ′(2)=1,则a=________.√e2(1)B (2)e2 [(1)令g(x)=x(x-1)(x-3)(x-4)(x-5),则f (x)=(x-2)g(x),两边求导得f ′(x)=g(x)+(x-2)g′(x),令x=2,得f ′(2)=g(2)=-12.故选B.(2)因为f (x)=ln (2x-3)+axe-x,所以f ′(x)=+ae-x-axe-x,所以f ′(2)=2+ae-2-2ae-2=2-ae-2=1,则a=e2.]考点三 导数的几何意义考向1 求切线方程[典例3] (1)(2023·全国甲卷)曲线y=在点处的切线方程为( )A.y=x B.y=xC.y=x+ D.y=x+(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|经过坐标原点的两条切线方程分别为________,________.√y=y=-(1)C (2)y= y=- [(1)因为y=,所以y′==,故曲线在点处的切线斜率k=,所以切线方程为y-=(x-1),即y=x+.故选C.(2)当x>0时,点(x1,ln x1)(x1>0)上的切线为y-ln x1=(x-x1).若该切线经过原点,则ln x1-1=0,解得x1=e,此时切线方程为y=.当x<0时,点(x2,ln (-x2))(x2<0)上的切线为y-ln (-x2)=(x-x2).若该切线经过原点,则ln (-x2)-1=0,解得x2=-e,此时切线方程为y=-.]考向2 求参数的值(范围)[典例4] (1)(2024·浙江绍兴二模)曲线f (x)=x+a ln x在点(1,1)处的切线与直线y=2x平行,则a=( )A.1 B.2C.-1 D.-2(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______________________.√(-∞,-4)∪(0,+∞)(1)A (2)(-∞,-4)∪(0,+∞) [(1)f ′(x)=1+,则f ′(1)=1+a,因为曲线f (x)在点(1,1)处的切线与直线y=2x平行,所以f ′(1)=1+a=2,解得a=1.故选A.(2)∵y=(x+a)ex,∴y′=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=,切线斜率k=,∴切线方程为=(x-x0),∵切线过原点,∴ =(-x0),整理得+ax0-a=0,∵切线有两条,∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).]【教用·备选题】(1)已知直线y=x-1与曲线y=ex+a相切,则实数a的值为( )A.-2 B.-1C.0 D.2(2)若过点(a,b)可以作曲线y=ln x的两条切线,则( )A.a<ln b B.b<ln aC.ln b<a D.ln a<b√√(1)A (2)D [(1)设切点为(x0,y0),易知y′=ex+a,则解得故选A.(2)设切点坐标为(x0,ln x0),由于y′=,因此切线方程为y-ln x0=(x-x0).又切线过点(a,b),则b-ln x0=,即b+1=ln x0+,则b+1=ln x0+有两个不等实根,设f (x)=ln x+,x>0,即直线y=b+1与曲线f (x)=ln x+在(0,+∞)上有两个不同的交点.f ′(x)==,当a≤0时,f ′(x)>0恒成立,f (x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;当a>0时,若0<x<a,则f ′(x)<0,f (x)单调递减,若x>a,则f ′(x)>0,f (x)单调递增.所以f (x)min=f (a)=ln a+1,由题意知b+1>ln a+1,即b>ln a.故选D.]名师点评 导数几何意义的应用要点(1)处理与切线有关的问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.(2)函数f (x)过某点(m,n)有若干条切线,转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题.[跟进训练]3.(1)(2025·安徽宣城模拟)若曲线y=a ln x+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是,则a=______.(2)若函数f (x)=x-+aln x的图象上存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围是___________.(3)若点P是曲线y=x2-2ln x上任意一点,则点P到直线y=x-3的距离的最小值为________.(-∞,-2](1) (2)(-∞,-2] (3) [(1)因为y=a ln x+x2(a>0),所以y′=+2x≥2,因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是,所以斜率k≥,所以=2,所以a=.(2)f ′(x)=1+(x>0),依题意得f ′(x)=1+=0有解,即-a=x+有解,∵x>0,∴x+≥2,当且仅当x=1时取等号,∴-a≥2,即a≤-2.(3)设平行于直线y=x-3且与曲线y=x2-2ln x相切的切线对应切点P(x,y),由y=x2-2ln x,得y′=3x-,令y′=3x-=1,得x=1或x=-(舍去),∴P,∴点P到直线y=x-3的距离的最小值为=.]考点四 两曲线的公切线问题[典例5] (1)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln (x+1)+a的切线,则a=________.(2)(2025·福建泉州模拟)若曲线y=x2与y=tex(t≠0)恰有两条公切线,则t的取值范围为( )A.C.(-∞,0) D.(-∞,0)√ln 2(1)ln 2 (2)A [(1)由y=ex+x得y′=ex+1,则y′|x=0=e0+1=2,故曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln (x+1)+a得y′=,设切线与曲线y=ln (x+1)+a相切的切点为(x0,ln (x0+1)+a),由两曲线有公切线得y′==2,解得x0=-,则切点为,切线方程为y=2+a+ln =2x+1+a-ln 2.根据两切线重合,得a-ln 2=0,解得a=ln 2.(2)设曲线y=tex的切点为M(m,tem),y=x2的切点为N(n,n2),则曲线y=tex在点M(m,tem)处的切线方程为y-tem=tem(x-m),即y=temx+tem-mtem,同理,y=x2在点N(n,n2)处的切线方程为y=2nx-n2,根据y=tex与y=x2有两条公切线,则所以tem-mtem=-,化简可得t=,转化为方程t=有两个解,构造函数f (x)=,则f ′(x)=,当x<2时,f ′(x)>0,f (x)单调递增;当x>2时,f ′(x)<0,f (x)单调递减,故f (x)在x=2时有极大值即为最大值,f (2)=,当x→-∞时,f (x)→-∞,当x→+∞时,f (x)→0,故t的取值范围为.故选A.]名师点评 曲线公切线的求解策略设直线与曲线y=f (x)相切于点(x1,f (x1)),与曲线y=g(x)相切于点(x2,g(x2)),则切线方程为y-f (x1)=f ′(x1)(x-x1),即y=f ′(x1)x+f (x1)-f ′(x1)x1,同理y=g′(x2)x+g(x2)-g′(x2)x2.所以解出x1,x2,从而可得公切线方程.[跟进训练]4.(1)已知f (x)=ex-1,g(x)=ln x+1,则曲线f (x)与g(x)的公切线有( )A.0条 B.1条C.2条 D.3条(2)若两曲线y=ln x-1与y=ax2存在公切线,则正实数a的取值范围是( )A.(0,2e] B.C. D.[2e,+∞)√√(1)C (2)B [(1)根据题意,设直线l与曲线f (x)=ex-1相切于点(m,em-1),与曲线g(x)相切于点(n,ln n+1),对于f (x)=ex-1,有f ′(x)=ex,则直线l的斜率k=em,则直线l的方程为y+1-em=em(x-m),即y=emx+(1-m)em-1,对于g(x)=ln x+1,有g′(x)=,则直线l的斜率k=,则直线l的方程为y-(ln n+1)=(x-n),即y=x+ln n,则可得(1-m)(em-1)=0,即m=0或m=1,则切线方程为y=ex-1 或y=x,故曲线f (x)与g(x)的公切线有2条.(2)设公切线与曲线y=ln x-1和y=ax2的切点分别为,其中x1>0,对于y=ln x-1有y′=,则曲线y=ln x-1的切线方程为y-(ln x1-1)=(x-x1),即y=x+ln x1-2,对于y=ax2有y′=2ax,则曲线y=ax2的切线方程为=2ax2(x-x2),即y=,所以则=ln x1-2,即=ln x1(x1>0),令g(x)=2x2-x2ln x(x>0),则g′(x)=3x-2x ln x=x(3-2ln x),令g′(x)=0,得x=,当x∈(0,)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,且当x→+∞时,g(x)→-∞,所以g(x)max=g()=e3,故0<e3,即a≥e-3.故选B.]【教用·备选题】已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x)=-2x2+m,g(x)=-3ln x-x,若两函数的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则m的值为( )A.2 B.5C.1 D.0√C [根据题意,设两曲线y=f (x)与y=g(x)的公共点为(a,b),其中a>0,由f (x)=-2x2+m,可得f ′(x)=-4x,则切线的斜率k=f ′(a)=-4a,由g(x)=-3ln x-x,可得g′(x)=--1,则切线的斜率k=g′(a)=--1,因为两函数的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,所以-4a=--1,解得a=1或a=-(舍去),又由g(1)=-1,得公共点的坐标为(1,-1),将点(1,-1)代入f (x)=-2x2+m,可得m=1.故选C.]1.导函数与原函数对称性、周期性的关系性质1:若函数f (x)连续且可导,则f (x)的图象关于直线x=a对称 导函数f ′(x)的图象关于点(a,0)对称.性质2:若函数f (x)连续且可导,则f (x)的图象关于点(a,f (a))对称 导函数f ′(x)的图象关于直线x=a对称.性质3:f (x)的图象是周期为T的周期函数 f ′(x)的图象是周期为T的周期函数.2.导函数与原函数奇偶性的关系性质1:若f (x)为偶函数且可导,则f ′(x)为奇函数.性质2:若f (x)为奇函数且可导,则f ′(x)为偶函数.[典例1] 已知定义在R上的函数f (x)满足f (1+x)=f (1-x),且f (2+x)=-f (2-x),f ′(x)是f (x)的导数,则( )A.f ′(x)是奇函数,且是周期函数B.f ′(x)是偶函数,且是周期函数C.f ′(x)是奇函数,且不是周期函数D.f ′(x)是偶函数,且不是周期函数√[赏析] 突破点1:熟知函数的性质根据题意,定义在R上的函数f (x)满足f (1+x)=f (1-x),所以f (-x)=f (2+x),又f (2+x)=-f (2-x),所以f (-x)=-f (4+x),所以f (x+4)=-f (x+2),即f (x+2)=-f (x),所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x),所以f (x)是周期为4的周期函数,所以f ′(x+4)=[f (x+4)]′=f ′(x),所以f ′(x)是周期函数.突破点2:导函数与原函数的奇偶性关系因为f (-x)=f (2+x)=-f (x),即f (x)=-f (-x),所以f ′(-x)=-[f (-x)]′=f ′(x),所以f ′(x)是偶函数.故选B.[典例2] (多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R,记g(x)=f ′(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则( )A.f (0)=0 B.g=0C.f (-1)=f (4) D.g(-1)=g(2)√√[赏析] 突破点:原函数与导函数间的性质关系因为f ,g(2+x)均为偶函数,所以f =f ,即f =f ,g(2+x)=g(2-x),所以f (3-x)=f (x),g(4-x)=g(x),则f (-1)=f (4),故C正确;函数f (x),g(x)的图象分别关于直线x=,x=2对称,又g(x)=f ′(x),且函数f (x)可导,所以g=0,g(3-x)=-g(x),所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),所以g=g=0,g(-1)=g(1)=-g(2),故B正确,D错误;若函数f (x)满足题设条件,则函数f (x)+C(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定f (x)的函数值,故A错误.故选BC.名师点评 求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系,明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件,体会赋值法在解题中的应用.[跟进训练](多选)(2025·湖北武汉模拟)定义在R上的函数f (x)与g(x)的导函数分别为f ′(x)和g′(x),若g(x)-f (3-x)=2,f ′(x)=g′(x-1),且g(-x+2)=-g(x+2),则下列说法中一定正确的是( )A.g(x+2)为偶函数B.f ′(x+2)为奇函数C.函数f (x)是周期函数D.=0√√√BCD [对于A,由g(-x+2)=-g(x+2),故g(x+2)为奇函数,故A错误;对于B,由g(x)-f (3-x)=2,则g′(x)+f ′(3-x)=0,又f ′(x)=g′(x-1),即f ′(x+1)=g′(x)=-f ′(3-x),即f ′(x+2)=-f ′(2-x),又f ′(x+2)定义在R上,故f ′(x+2)为奇函数,故B正确;对于C,由g(-x+2)=-g(x+2),f ′(x)=g′(x-1),g(x)-f (3-x)=2,所以f (x)=g(x-1)+b,则f (-x+3)=g(-x+2)+b=-g(x+2)+b,所以g(x)-f (3-x)=g(x)+g(x+2)-b=2,g(x)+g(x+2)=b+2,所以g(x+2)+g(x+4)=b+2,所以g(x+4)=g(x),则函数g(x)是周期为4的周期函数,函数f (x)是周期为4的周期函数,故C正确;对于D,由g(x)是周期为4的周期函数,由g(-x+2)=-g(x+2),令x=0,则g(2)=-g(2),即g(2)=0,令x=1,则g(1)=-g(3),即g(1)+g(3)=0,由g′(x)+f ′(3-x)=0,f ′(-x+3)=g′(-x+2),则g′(x)=-g′(-x+2),则g′(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(x)的图象关于直线x=1对称,又g(x+2)为奇函数,即g(x)的图象关于点(2,0)中心对称,故g(x)的图象关于直线x=3对称,则g(4)=g(2)=0,则 =506=506×0=0,故D正确.故选BCD.]章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√1415一、单项选择题1.已知直线l:y=x+1,且与曲线y=f (x)切于点A(2,3),则的值为( )A.-2 B.-1C.1 D.2课后作业(十七) 导数的概念及运算题号135246879101112131415C [由直线l:y=x+1与曲线y=f (x)切于点A(2,3),知f ′(2)=1.由导数的定义知,=f ′(2)=1.故选C.]题号21345687910111213√14152.(2024·全国甲卷)设函数f (x)=,则曲线y=f (x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.C.题号213456879101112131415A [f ′(x)=,所以f ′(0)=3,所以曲线y=f (x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),,所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=,故选A.]题号3245687910111213114153.(2025·安徽合肥模拟)若函数f (x)=与g(x)=ex-a-b的图象在x=1处有相同的切线,则a+b=( )A.-1 B.0C.1 D.2√题号324568791011121311415D [因为f (x)=,g(x)=ex-a-b,则f ′(x)=,g′(x)=ex-a,可得f (1)=0,g(1)=e1-a-b,f ′(1)=1,g′(1)=e1-a,因为f (x),g(x)的图象在x=1处有相同的切线,即切点为(1,0),切线斜率k=1,所以解得所以a+b=2.故选D.]题号42356879101112131√14154.若过点P(m,0)与曲线f (x)=相切的直线只有2条,则m的取值范围是( )A.(-3,1) B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)题号423568791011121311415D [设过点P(m,0)的直线与曲线f (x)=切于点Q,由f (x)=,可得f ′(x)=-,所以切线PQ的斜率k=-=,整理得t2+(1-m)t+1=0,因为切线有2条,所以切点有2个,即方程t2+(1-m)t+1=0有2个不等实根,则Δ=(1-m)2-4>0,解得m>3或m<-1,所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).故选D.]题号24536879101112131√14155.若P为函数f (x)=ex-x图象上的一个动点,以P为切点作曲线y=f (x)的切线,则切线倾斜角的取值范围是( )A. B.C.题号245368791011121311415D [设P点坐标为(x0,y0),由f (x)=ex-x,x∈R,得f ′(x)=ex-,则以P为切点的切线斜率为->-,令切线倾斜角为θ,θ∈[0,π),则tan θ>-,则θ∈.故选D.]题号24536879101112131√14156.(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法.如图,方程f (x)=0的根就是函数f (x)的零点r,取初始值x0,f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1,f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.若f (x)=x2-2(x>0),x0=2,则用牛顿法得到的r的近似值x2约为( )A.1.438 B.1.417C.1.416 D.1.375题号245368791011121311415B [f ′(x)=2x,而x0=2,则f ′(x0)=4,又f (x0)=2,所以函数f (x)的图象在横坐标为x0=2的点处的切线方程为y-2=4(x-2),令y=0,得x1=,则f ′(x1)=3,f (x1)=-2=,因此函数f (x)的图象在横坐标为x1=的点处的切线方程为y-=3,令y=0,得x2=≈1.417,所以x2约为1.417.故选B.]题号24537689101112131√1415二、多项选择题7.已知函数f (x)及其导函数f ′(x),若存在x0,使得f (x0)=f ′(x0),则称x0是f (x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )A.f (x)=x2 B.f (x)=e-xC.f (x)=ln x D.f (x)=tan x√题号245376891011121311415AC [若f (x)=x2,则f ′(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,方程显然有解,故A符合要求;若f (x)=e-x,则f ′(x)=-e-x,令e-x=-e-x,此方程无解,故B不符合要求;若f (x)=ln x,则f ′(x)=,令ln x=,在同一直角坐标系内作出函数y=ln x与y=的图象(图略),可得两函数的图象有一个交点,所以方程f (x)=f ′(x)有解,故C符合要求;若f (x)=tan x,则f ′(x)=′=,令tanx=,化简得sinx cos x=1,变形可得sin 2x=2,无解,故D不符合要求.故选AC.]题号24538679101112131√14158.对于函数f (x)=ln x-1,则下列判断正确的是( )A.直线y=是f (x)过原点的一条切线B.f (x)关于y=x对称的函数是y=ex-1C.若过点(a,b)有2条直线与f (x)相切,则ln a<b+1D.f (x)≤x-2√√题号245386791011121311415ACD [对于A,设切点为(m,ln m-1),则k=f ′(m)==,∴ln m-1=·m,∴ln m=2,∴m=e2,k=.∴过原点的切线方程为y=,故A正确;对于B,由反函数的概念可得y+1=ln x ey+1=x,故与f (x)关于y=x对称的函数为y=ex+1,故B错误;对于C,若过点(a,b)有2条直线与f (x)相切,则点(a,b)在f (x)上方,如图所示,题号245386791011121311415即b>f (a),即b>ln a-1,故C正确;对于D,由于 x>0,设g(x)=x-ln x-1 g′(x)=,令g′(x)>0 x>1,令g′(x)<0 0<x<1,∴g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,∴g(x)≥g(1)=0 ln x≤x-1 f (x)≤x-2,故D正确.故选ACD.]题号924538671011121311415三、填空题9.若直线x+y+m=0是曲线y=x3+nx-52与曲线y=x2-3ln x的公切线,则m-n=________.26题号92453867101112131141526 [设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx-52切于点(a,-a-m),与曲线y=x2-3ln x切于点(b,-b-m).对于函数y=x2-3ln x,y′=2x-,则2b-=-1,解得b=1或b=-(舍去).所以1-3ln 1=-1-m,即m=-2.对于函数y=x3+nx-52,y′=3x2+n,则3a2+n=-1,a3-(3a2+1)a-52=-a+2,整理得a3=-27,则a=-3,所以n=-3a2-1=-28,故m-n=26.]题号92453867101112131141510.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:记y=f ′(x)为y=f (x)的导函数,y=g′(x)为y=f ′(x)的导函数,则曲线y=f (x)在点(x,f (x))处的曲率为K=.曲线f (x)=ln x-cos (x-1)在点(1,f (1))处的曲率为 ________.0题号9245386710111213114150 [因为f (x)=ln x-cos (x-1),所以f ′(x)=+sin (x-1),g′(x)=-+cos (x-1),则f ′(1)=+sin 0=1,g′(1)=-+cos 0=0,所以曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的曲率为K==0.]题号924538671011121311415四、解答题11.已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P(1,2),且在点P处有公切线.(1)求a,b,c的值;(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积;(3)若曲线y=ln (bx-1)上的点M到直线2x-y+3=0的距离最短,求点M的坐标和最短距离.题号924538671011121311415[解] (1)由y=x3+ax,得y′=3x2+a,由y=x2+bx+c,得y′=2x+b,又两曲线都经过点P(1,2),且在点P处有公切线,∴解得a=1,b=2,c=-1.(2)由y=x2+2x-1,得y′=2x+2,则y′|x=1=4,∴y=x2+2x-1在点P(1,2)处的切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.题号924538671011121311415则两曲线的公切线方程为4x-y-2=0,取y=0,得x=,取x=0,得y=-2.∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S=×2=.(3)由y=ln (bx-1)=ln (2x-1),得y′=,由=2,得x=1.∴y=ln (2×1-1)=0,即M(1,0),点M到直线2x-y+3=0的最短距离为=.题号92453867101112131141512.已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f (x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f (x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.题号924538671011121311415[解] f ′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或1.(2)因为曲线y=f (x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为.题号92453867101112131141513.(2024·广东茂名一模)曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.√题号924538671011121311415B [两个函数求导分别为y′=,y′=2x+2a,设y=ln x,y=x2+2ax的图象上的切点分别为+2ax2),x1>0,则过这两点的切线方程分别为y=x+ln x1-1,y=,则=2x2+2a,ln x1-1=,所以2a=-2x2,设f (x)=-2x,f ′(x)=2(x-1),f ′(1)=0,令g(x)=f ′(x)=2(x-1),所以g′(x)=2(2x2+1) >0,所以g(x)在R上单调递增,且f ′(1)=0,则f (x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以2a≥f (1)=-1,即a≥-.故选B.]题号92453867101112131141514.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f (x)的图象在点A(x1,f (x1))和点B(x2,f (x2))处的两条切线互相垂直,且分别与y轴交于M,N两点,则的取值范围是________.(0,1)题号924538671011121311415(0,1) [当x<0时,f (x)=1-ex,f ′(x)=-ex,f (x)在点)处的切线斜率为k1=,当x>0时,f (x)=ex-1,f ′(x)=ex,f (x)在点-1)处的切线斜率为k2=,由f (x)的图象在A,B两点处的切线互相垂直 k1k2==-1,∴x1+x2=0,x1<0,x2>0,∴===∈(0,1),故的取值范围是(0,1).]题号92453867101112131141515.已知符号“lim”代表极限的意思,现给出两个重要极限公式:①=1;②=e,则依据这两个公式,类比求=_________;= ________.e21题号9245386710111213114151 e2 [由极限的定义知,①=1;②=e,因为=,令t=2x,可得=,则==1;又因为=,令t=sin 2x,可得=,所以===e2.]谢 谢!课后作业(十七) 导数的概念及运算说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共93分一、单项选择题1.已知直线l:y=x+1,且与曲线y=f (x)切于点A(2,3),则的值为( )A.-2 B.-1C.1 D.22.(2024·全国甲卷)设函数f (x)=,则曲线y=f (x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.C.3.(2025·安徽合肥模拟)若函数f (x)=与g(x)=ex-a-b的图象在x=1处有相同的切线,则a+b=( )A.-1 B.0C.1 D.24.若过点P(m,0)与曲线f (x)=相切的直线只有2条,则m的取值范围是( )A.(-3,1) B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)5.若P为函数f (x)=ex-x图象上的一个动点,以P为切点作曲线y=f (x)的切线,则切线倾斜角的取值范围是( )A. B.C.6.(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法.如图,方程f (x)=0的根就是函数f (x)的零点r,取初始值x0,f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1,f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.若f (x)=x2-2(x>0),x0=2,则用牛顿法得到的r的近似值x2约为( )A.1.438 B.1.417C.1.416 D.1.375二、多项选择题7.已知函数f (x)及其导函数f ′(x),若存在x0,使得f (x0)=f ′(x0),则称x0是f (x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )A.f (x)=x2 B.f (x)=e-xC.f (x)=ln x D.f (x)=tan x8.对于函数f (x)=ln x-1,则下列判断正确的是( )A.直线y=是f (x)过原点的一条切线B.f (x)关于y=x对称的函数是y=ex-1C.若过点(a,b)有2条直线与f (x)相切,则ln a<b+1D.f (x)≤x-2三、填空题9.若直线x+y+m=0是曲线y=x3+nx-52与曲线y=x2-3ln x的公切线,则m-n=________.10.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:记y=f ′(x)为y=f (x)的导函数,y=g′(x)为y=f ′(x)的导函数,则曲线y=f (x)在点(x,f (x))处的曲率为K=.曲线f (x)=ln x-cos (x-1)在点(1,f (1))处的曲率为 ________.四、解答题11.已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P(1,2),且在点P处有公切线.(1)求a,b,c的值;(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积;(3)若曲线y=ln (bx-1)上的点M到直线2x-y+3=0的距离最短,求点M的坐标和最短距离.12.已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f (x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f (x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.13.(2024·广东茂名一模)曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线,则实数a的取值范围是( )A.C.14.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f (x)的图象在点A(x1,f (x1))和点B(x2,f (x2))处的两条切线互相垂直,且分别与y轴交于M,N两点,则的取值范围是________.15.已知符号“lim”代表极限的意思,现给出两个重要极限公式:①=1;②=e,则依据这两个公式,类比求=_________;= ________.课后作业(十七)A组 在基础中考查学科功底1.C [由直线l:y=x+1与曲线y=f (x)切于点A(2,3),知f ′(2)=1.由导数的定义知,limΔx→0=f ′(2)=1.故选C.]2.A [f ′(x)=,所以f ′(0)=3,所以曲线y=f (x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),,所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=,故选A.]3.D [因为f (x)=,g(x)=ex-a-b,则f ′(x)=,g′(x)=ex-a,可得f (1)=0,g(1)=e1-a-b,f ′(1)=1,g′(1)=e1-a,因为f (x),g(x)的图象在x=1处有相同的切线,即切点为(1,0),切线斜率k=1,所以解得所以a+b=2.故选D.]4.D [设过点P(m,0)的直线与曲线f (x)=切于点Q,由f (x)=,可得f ′(x)=-,所以切线PQ的斜率k=-=,整理得t2+(1-m)t+1=0,因为切线有2条,所以切点有2个,即方程t2+(1-m)t+1=0有2个不等实根,则Δ=(1-m)2-4>0,解得m>3或m<-1,所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).故选D.]5.D [设P点坐标为(x0,y0),由f (x)=ex-x,x∈R,得f ′(x)=ex-,则以P为切点的切线斜率为->-,令切线倾斜角为θ,θ∈[0,π),则tan θ>-,则θ∈.故选D.]6.B [f ′(x)=2x,而x0=2,则f ′(x0)=4,又f (x0)=2,所以函数f (x)的图象在横坐标为x0=2的点处的切线方程为y-2=4(x-2),令y=0,得x1=,则f ′(x1)=3,f (x1)=-2=,因此函数f (x)的图象在横坐标为x1=的点处的切线方程为y-=3,令y=0,得x2=≈1.417,所以x2约为1.417.故选B.]7.AC [若f (x)=x2,则f ′(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,方程显然有解,故A符合要求;若f (x)=e-x,则f ′(x)=-e-x,令e-x=-e-x,此方程无解,故B不符合要求;若f (x)=ln x,则f ′(x)=,令ln x=,在同一直角坐标系内作出函数y=ln x与y=的图象(图略),可得两函数的图象有一个交点,所以方程f (x)=f ′(x)有解,故C符合要求;若f (x)=tan x,则f ′(x)=′=,令tanx=,化简得sinx cos x=1,变形可得sin 2x=2,无解,故D不符合要求.故选AC.]8.ACD [对于A,设切点为(m,ln m-1),则k=f ′(m)==,∴ln m-1=·m,∴ln m=2,∴m=e2,k=.∴过原点的切线方程为y=,故A正确;对于B,由反函数的概念可得y+1=ln x ey+1=x,故与f (x)关于y=x对称的函数为y=ex+1,故B错误;对于C,若过点(a,b)有2条直线与f (x)相切,则点(a,b)在f (x)上方,如图所示,即b>f (a),即b>ln a-1,故C正确;对于D,由于 x>0,设g(x)=x-ln x-1 g′(x)=,令g′(x)>0 x>1,令g′(x)<0 0<x<1,∴g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,∴g(x)≥g(1)=0 ln x≤x-1 f (x)≤x-2,故D正确.故选ACD.]9.26 [设直线x+y+m=0与曲线y=x3+nx-52切于点(a,-a-m),与曲线y=x2-3ln x切于点(b,-b-m).对于函数y=x2-3ln x,y′=2x-,则2b-=-1,解得b=1或b=-(舍去).所以1-3ln 1=-1-m,即m=-2.对于函数y=x3+nx-52,y′=3x2+n,则3a2+n=-1,a3-(3a2+1)a-52=-a+2,整理得a3=-27,则a=-3,所以n=-3a2-1=-28,故m-n=26.]10.0 [因为f (x)=ln x-cos (x-1),所以f ′(x)=+sin (x-1),g′(x)=-+cos (x-1),则f ′(1)=+sin 0=1,g′(1)=-+cos 0=0,所以曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的曲率为K==0.]11.解:(1)由y=x3+ax,得y′=3x2+a,由y=x2+bx+c,得y′=2x+b,又两曲线都经过点P(1,2),且在点P处有公切线,∴解得a=1,b=2,c=-1.(2)由y=x2+2x-1,得y′=2x+2,则y′|x=1=4,∴y=x2+2x-1在点P(1,2)处的切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.则两曲线的公切线方程为4x-y-2=0,取y=0,得x=,取x=0,得y=-2.∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S=×2=.(3)由y=ln (bx-1)=ln (2x-1),得y′=,由=2,得x=1.∴y=ln (2×1-1)=0,即M(1,0),点M到直线2x-y+3=0的最短距离为=.12.解:f ′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或1.(2)因为曲线y=f (x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为∪.B组 在综合中考查关键能力13.B [两个函数求导分别为y′=,y′=2x+2a,设y=ln x,y=x2+2ax的图象上的切点分别为+2ax2),x1>0,则过这两点的切线方程分别为y=x+ln x1-1,y=,则=2x2+2a,ln x1-1=,所以2a=-2x2,设f (x)=ex2-1-2x,f ′(x)=2(xex2-1-1),f ′(1)=0,令g(x)=f ′(x)=2(xex2-1-1),所以g′(x)=2(2x2+1)ex2-1>0,所以g(x)在R上单调递增,且f ′(1)=0,则f (x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以2a≥f (1)=-1,即a≥-.故选B.]14.(0,1) [当x<0时,f (x)=1-ex,f ′(x)=-ex,f (x)在点)处的切线斜率为k1=,当x>0时,f (x)=ex-1,f ′(x)=ex,f (x)在点-1)处的切线斜率为k2=,由f (x)的图象在A,B两点处的切线互相垂直 k1k2==-1,∴x1+x2=0,x1<0,x2>0,∴===∈(0,1),故的取值范围是(0,1).]15.1 e2 [由极限的定义知,①=1;②=e,因为=,令t=2x,可得=,则==1;又因为=,令t=sin 2x,可得=,所以==]2=e2.]1/1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第三章 第1课时 导数的概念及运算.docx 第三章 第1课时 导数的概念及运算.pptx 课后作业17 导数的概念及运算.docx