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广东省深圳市南山实验集团麒麟中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·南山期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·南山期中） 若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且
3．（2024八下·南山期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·南山期中）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·南山期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点E，若DE=3cm，则AC= (　　)
A．9cm B．6cm C．12cm D．3cm
6．（2024八下·南山期中）已知 ，则 的值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2024八下·南山期中）甲、乙两人每小时一共可做30个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了90个零件时乙做了60个零件，设甲每小时能做x个零件，根据题意可列分式方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·南山期中）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，那么点A'的坐标为（　　）
A．（1，） B．（﹣1，2） C．（﹣1，） D．（﹣1，）
9．（2024八下·南山期中）关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024八下·南山期中）如图，直角中，，，BC=4，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是(　　)
A． B．2 C． D．
11．（2024八下·南山期中）分解因式：2x2﹣8=　 　
12．（2024八下·南山期中）等腰三角形的一个内角是，则它的底角的度数是　 　
13．（2024八下·南山期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于的x不等式的解集为　 　．
14．（2024八下·南山期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为　 　．
15．（2024八下·南山期中）如图，在四边形中，、为对角线，，，已知，，则　 　．
16．（2024八下·南山期中）（1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
17．（2024八下·南山期中） 先化简，再求值：然后在0，1，三个数中选一个合适的数，代入求值．
18．（2024八下·南山期中）如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的各顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点中心对称的图形；
（2）将绕点顺时针旋转得到，请画出；
（3）连接并直接写出线段的长．
19．（2024八下·南山期中）如图，与相交于点，，，．
求证：
（1）；
（2）垂直平分．
20．（2024八下·南山期中）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，也是比较少能享有地理标志保护的荔枝，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍箱，桂味箱，共需元；购进糯米糍箱，桂味箱，共需元．
（1）糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过元购进糯米糍、桂味共箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的倍，共有多少不同的种进货方案？如果该经销商将 购进的荔枝按照糯米糍每箱元，桂味每箱元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
21．（2024八下·南山期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
（2）计算：______
（3）①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
22．（2024八下·南山期中）旋转与等腰直角三角形相结合，会产生很多美妙的数学结论，是训练几何探究思维很好的方式，麒麟中学八年级某数学兴趣小组做了以下操作探究，把共顶点的两个等腰直角三角形中的一个绕一点旋转一定角度，探究旋转过程中相关图形的几何特性：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形有一个公共的顶点，且．
（1）如图1，与的数量关系为_____，位置关系为______；
（2）将 绕着点顺时针旋转角（）．
①如图2，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若，，当绕着点顺时针旋转过程中，当点、、三点共线时，连接，则的长度为_______；
③如图3，若，绕着点顺时针旋转，当点在落在上时，有，延长交的延长线于点，做点关于的对称点，连接，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故答案为：A．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x+1≠0，
∴x≠-1，
故答案为：A
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由，
，
数轴上表示为：，
故选：A．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，以及利用数轴表示不等式的解集，根据一元一次不等式的解法，求得不等式的解集，再在数轴上表示出来不等式的解集，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项正确；
C、不能用完全平方公式分解，故该选项错误；
D、，故该选项错误；
故答案为：B．
【分析】根据平方差计算法则计算即可判断A项和B项；根据完全平方公式计算法则即可判断C项和D项.
5．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CD=DE=3cm，
在Rt△AED中，∠A=30°，DE=3cm，
∴AD=2DE=6cm.
∴AC=AD+DC=3cm+6cm=9cm.
故答案为：A.
【分析】本题首先根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可求出CD=DE=3cm，然后根据“直角三角形中30°所对的直角边是斜边一半”即可求出AD=2DE=6cm，最后求和即可求出AC的长度。
6．【答案】B
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解： ，
．
故答案为：B．
【分析】将原式化简，再将代入计算即可。
7．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲每小时能做x个零件，则乙每小时能做个零件，
由题意得，，
故答案为：B．
【分析】设甲每小时能做x个零件，则乙每小时能做个零件，再根据当甲做了90个零件时乙做了60个零件列出方程即可．
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：过点B作作BC⊥x轴于C，如图，
∵△OAB是边长为2的等边三角形，
∴OA＝OB＝2，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，
∴A点坐标为（﹣2，0），O点坐标为（0，0），
在Rt△BOC中，BC＝，
∴B点坐标为（﹣1，）；
∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，
∴∠AOA'＝∠BOB'＝60°，OA＝OB＝OA'＝OB'，
∴点A'与点B重合，即点A'的坐标为（﹣1，），
故答案为：D．
【分析】
本题考查的是等边三角形的性质和旋转的性质，明确旋转后点A'的位置是求解的关键.
根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°可知：OA＝OB＝2，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，根据勾股定理可知：在Rt△BOC中，BC＝，由此可得点B坐标为：B（﹣1，)，再根据旋转的性质可知：旋转后点A'与点B重合，根据点B的坐标即可写出点A'的坐标，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得：；
解②得：，
由题意知不等式组的解集为：，
由于不等式组只有两个整数解，则；
由得：，
∴，
解得：；
∵的值是整数，
∴或3，
∴或，
所以a的取值共有4个．
故答案为：B．
【分析】由不等式组只有两个整数解可确定t的取值范围，再由可确定a的取值范围，根据的值是整数即可确定符合条件a的个数．
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，
，，，
，
，
随着点的运动，总有，，
，即、、三点在同一直线上，
点的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，
在中，，，，
，
点为的中点，
，，
，为的中位线，
，
故答案为：B．
【分析】根据旋转性质可得、、在同一直线上，则，随着点的运动，总有，，根据全等三角形判定定理可得，即、、三点在同一直线上，则点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
11．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当内角为是该等腰三角形的底角时，则它的底角度数为；
当内角为是该等腰三角形的顶角时，则它的底角度数为；
故答案为或．
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理分类讨论即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点代入得，，
解得，，
所以点A的坐标为，
由图可知，不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】将点代入可得点A的坐标为，当的图象在的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第一次运算结果为，
第二次运算结果为，
因为经过2次运算才能输出结果，所以
，
解得．
故答案为：．
【分析】根据运算流程结合需要经过2次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，将 绕点 顺时针旋转得 连接则是正三角形，
∴AC=AB
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=60°
∵是正三角形
，
∵将 绕点 顺时针旋转得
∴
，
，
又∵
∴，
∴
故答案为：．
【分析】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；根据旋转的性质构造辅助线是解题关键.
将 绕点 顺时针旋转得 连接则是等边三角形，根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：AC=AB，再根据三角形内角和定理可知：∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=60°，再根据旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即旋转前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：，，由角的和差运算可得出，进而勾股定理求得：在Rt△D'DC中，，再结合BD=CD'，等量代换即可得出答案．
16．【答案】解：（1）
由①得：x+5≥4x-4
x-4x≥-4-5
-3x≥-9
x≤3，
由 ②得：4x-5＞3（x-2）
4x-5＞3x-6
4x-3x＞-6+5
x＞-1
∶不等式组的解集为．
解集在数轴上表示如下．
（2）解方程；解：
去分母得：，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：4x=8
系数化为1得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
该分式方程无解
【知识点】解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组和解分式方程；熟知解方程的步骤是解题关键.
（1）分别求出每一个一元一次不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集，即可得出答案；
（2）解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验，根据解分式方程的步骤解方程检验即可得出答案．
17．【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】根据通分、因式分解，利用分式的除法法则对分式进行化简，再将有意义的x的值代入计算即可求解.
18．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，．
再将、、依次连接起来即可，如图
∴即为诉求．
（2）解：∵要将绕点顺时针旋转，
∴将线段饶点顺时针旋转得到；
将线段饶点顺时针旋转得到，
依次连接、、，
即可得到，如图
∴即为所求．
（3）由（1）、（2）可知：点和均在格点上，
∵，，
．
故答案为：．
【知识点】勾股定理；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】
本题考查点的对称、图形的旋转、两点间的距离公式，熟练掌握点关于原点对称的特征、旋转的性质和两点间的距离公式是解题关键.（1）根据点关于原点对称的点的坐标特征：点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y），利用此规律，写出点A、B、C的对应点的坐标，，，在坐标系中准确描出这三个点并依次连接即可得出答案；
（2）根据点（x，y）绕原点顺时针旋转90°后坐标变为（y，-x）的规律，写出A、B相对于C旋转后的坐标，再将旋转后的相对坐标还原到原坐标系中，得到的坐标，C点坐标在绕自身旋转时不变，在坐标系中准确描出这三个点并依次连接即可得出答案；
（3）根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，代入点和的坐标计算即可得出答案．
（1）解：∵关于原点对称的点的坐标互为相反数，
又∵，，，
∴，，．
再将、、依次连接起来即可，如图
∴即为诉求．
（2）∵要将绕点顺时针旋转，
∴将线段饶点顺时针旋转得到；
将线段饶点顺时针旋转得到，
依次连接、、，
即可得到，如图
∴即为所求．
（3）由（1）、（2）可知，点和均在格点上，
且，，，
∴以和构造直角三角形，
勾股定理可得，
．
故答案为：．
19．【答案】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
20．【答案】（1）解：设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，
根据题意得：
解得：
答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元；
（2）解：设糯米糍有箱，则桂味有箱，
由题意可得：
解得：
为正整数，
共有 种方案，
设利润为，则
获利随的增加而减小
当时，获利最多，
购进糯米糍箱，桂味箱时，获利最多
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求出答案.
（2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出，设利润为，进而根据一次函数的性质，即可求解
（1）解：(1)设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，
根据题意得：
解得：
答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元；
（2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，
由题意可得：
解得：
为正整数，
共有 种方案，
设利润为，则
获利随的增加而减小
当时，获利最多，
购进糯米糍箱，桂味箱时，获利最多
21．【答案】（1）解：将看成一个整体，令，
则原式
将代入上式得：原式
（2）2022
（3）解：①∵，
∴
．
②∵，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解（1）：将看成一个整体，令，
将看成一个整体，令，
则原式
．
【分析】
本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，熟练运用整体思想时解题关键.
（1）观察多项式： ，发现括号内的式子部分相同，所以采用整体换元法，设 ，将原多项式转化为关于y的多项式：；再利用多项式乘以多项式的计算方法和完全平方公式化简即可得出答案；
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入原式，再利用多项式乘以多项式的计算方法化简即可得出答案；
（3）①将代入原式，即将原式中的1全部转化为ab，约分化简即可得出答案；
②将代入原式，即将原式中的1转化为abc，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，约分化简合并即可得出答案．
（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
（3）解：①∵，
∴
．
②∵，
∴
．
22．【答案】（1）；
（2）解：①第（）问的结论仍然成立，理由如下：
设交 于点，交于点，如图所示：
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
∴，
∴在△ABE和△CBD中
，
，，
，
，
；
②或；
③是等腰直角三角形，，
，
．
过点B作BH⊥AC于点H，过点F作FM⊥DA于点M，作FN⊥AE于点N ，如图所示：
∴
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
四边形是距形，
，
，
矩形 是正方形，
，
由①得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）与的数量关系为：，位置关系为：，
理由如下：
延长AE交CD于点H，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=CB，∠ABE=90°
∵△BDE是等腰直角三角形
∴BD=BE，∠ABE=90°
∴，
在和中
，
，，
∵∠ABE=90°
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）②分两种情况：
、 如图所示：作于，
是等腰直角三角形，且
，
，
，
由（）得：，
；
、如图所示：作于，
同理可得，
，
，
由（）得：，
；
综上所述，当绕着点 顺时针旋转到点、、三点共线时，则的长度为或；
故答案为：或；
【分析】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
(1)根据等腰直角三角形的性质可知：，，，再利用全等三角形的判定定理SAS可证得 ，再根据全等三角形的性质： 对应边相等，对应角相等可知：AE=CD，，最后结合对顶角相等：与角的和差运算可证得：，即可证出AE⊥CD，即可得出结论；
(2)①设交 于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质可知：，，，再由等式的性质和角的和差运算可知：，再利用全等三角形的判定定理SAS可证得：， 再根据全等三角形的性质： 对应边相等，对应角相等可知：，，最后通过角度之间的等量代换和三角形内角和定理可证出：，即可得出，即可得出结论；
②当A、D、E三点共线时，分两种情况讨论AE的长度（因为∠AEB可能是锐角或钝角），作于，连接交于，，再由勾股定理求出，即可求出，即可得出答案；
③过 作 于，过作 于，于，如图所示：则，，证，得矩形 是正方形，得，然后证，得，则，求出，由勾股定理即可得出答案．
（1）解：与的数量关系为：，位置关系为：，理由如下：
延长交于，如图所示：
，，，
，
在和中
，
，，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）①第（）问的结论仍然成立，理由如下：
设交 于点，交于点，如图所示：
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
即，
，
，，
，
，
；
②分两种情况：
、 如图所示：作于，
是等腰直角三角形，且
，
，
，
由（）得：，
；
、如图所示：作于，
同理可得，
，
，
由（）得：，
；
综上所述，当绕着点 顺时针旋转到点、、三点共线时，则的长度为或；
故答案为：或；
③是等腰直角三角形，，
，
．
过 作 于，过作 于，于，如图所示：则，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
四边形是距形，
，
，
矩形 是正方形，
，
由①得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为．
1 / 1广东省深圳市南山实验集团麒麟中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·南山期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故答案为：A．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2024八下·南山期中） 若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x+1≠0，
∴x≠-1，
故答案为：A
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
3．（2024八下·南山期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由，
，
数轴上表示为：，
故选：A．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，以及利用数轴表示不等式的解集，根据一元一次不等式的解法，求得不等式的解集，再在数轴上表示出来不等式的解集，即可得到答案.
4．（2024八下·南山期中）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项正确；
C、不能用完全平方公式分解，故该选项错误；
D、，故该选项错误；
故答案为：B．
【分析】根据平方差计算法则计算即可判断A项和B项；根据完全平方公式计算法则即可判断C项和D项.
5．（2024八下·南山期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点E，若DE=3cm，则AC= (　　)
A．9cm B．6cm C．12cm D．3cm
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CD=DE=3cm，
在Rt△AED中，∠A=30°，DE=3cm，
∴AD=2DE=6cm.
∴AC=AD+DC=3cm+6cm=9cm.
故答案为：A.
【分析】本题首先根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可求出CD=DE=3cm，然后根据“直角三角形中30°所对的直角边是斜边一半”即可求出AD=2DE=6cm，最后求和即可求出AC的长度。
6．（2024八下·南山期中）已知 ，则 的值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解： ，
．
故答案为：B．
【分析】将原式化简，再将代入计算即可。
7．（2024八下·南山期中）甲、乙两人每小时一共可做30个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了90个零件时乙做了60个零件，设甲每小时能做x个零件，根据题意可列分式方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲每小时能做x个零件，则乙每小时能做个零件，
由题意得，，
故答案为：B．
【分析】设甲每小时能做x个零件，则乙每小时能做个零件，再根据当甲做了90个零件时乙做了60个零件列出方程即可．
8．（2024八下·南山期中）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，那么点A'的坐标为（　　）
A．（1，） B．（﹣1，2） C．（﹣1，） D．（﹣1，）
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：过点B作作BC⊥x轴于C，如图，
∵△OAB是边长为2的等边三角形，
∴OA＝OB＝2，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，
∴A点坐标为（﹣2，0），O点坐标为（0，0），
在Rt△BOC中，BC＝，
∴B点坐标为（﹣1，）；
∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，
∴∠AOA'＝∠BOB'＝60°，OA＝OB＝OA'＝OB'，
∴点A'与点B重合，即点A'的坐标为（﹣1，），
故答案为：D．
【分析】
本题考查的是等边三角形的性质和旋转的性质，明确旋转后点A'的位置是求解的关键.
根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°可知：OA＝OB＝2，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，根据勾股定理可知：在Rt△BOC中，BC＝，由此可得点B坐标为：B（﹣1，)，再根据旋转的性质可知：旋转后点A'与点B重合，根据点B的坐标即可写出点A'的坐标，即可得出答案.
9．（2024八下·南山期中）关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得：；
解②得：，
由题意知不等式组的解集为：，
由于不等式组只有两个整数解，则；
由得：，
∴，
解得：；
∵的值是整数，
∴或3，
∴或，
所以a的取值共有4个．
故答案为：B．
【分析】由不等式组只有两个整数解可确定t的取值范围，再由可确定a的取值范围，根据的值是整数即可确定符合条件a的个数．
10．（2024八下·南山期中）如图，直角中，，，BC=4，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是(　　)
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，
，，，
，
，
随着点的运动，总有，，
，即、、三点在同一直线上，
点的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，
在中，，，，
，
点为的中点，
，，
，为的中位线，
，
故答案为：B．
【分析】根据旋转性质可得、、在同一直线上，则，随着点的运动，总有，，根据全等三角形判定定理可得，即、、三点在同一直线上，则点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
11．（2024八下·南山期中）分解因式：2x2﹣8=　 　
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．（2024八下·南山期中）等腰三角形的一个内角是，则它的底角的度数是　 　
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当内角为是该等腰三角形的底角时，则它的底角度数为；
当内角为是该等腰三角形的顶角时，则它的底角度数为；
故答案为或．
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理分类讨论即可求出答案.
13．（2024八下·南山期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于的x不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点代入得，，
解得，，
所以点A的坐标为，
由图可知，不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】将点代入可得点A的坐标为，当的图象在的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．（2024八下·南山期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：第一次运算结果为，
第二次运算结果为，
因为经过2次运算才能输出结果，所以
，
解得．
故答案为：．
【分析】根据运算流程结合需要经过2次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可求出答案.
15．（2024八下·南山期中）如图，在四边形中，、为对角线，，，已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，将 绕点 顺时针旋转得 连接则是正三角形，
∴AC=AB
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=60°
∵是正三角形
，
∵将 绕点 顺时针旋转得
∴
，
，
又∵
∴，
∴
故答案为：．
【分析】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；根据旋转的性质构造辅助线是解题关键.
将 绕点 顺时针旋转得 连接则是等边三角形，根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：AC=AB，再根据三角形内角和定理可知：∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=60°，再根据旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即旋转前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：，，由角的和差运算可得出，进而勾股定理求得：在Rt△D'DC中，，再结合BD=CD'，等量代换即可得出答案．
16．（2024八下·南山期中）（1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
由①得：x+5≥4x-4
x-4x≥-4-5
-3x≥-9
x≤3，
由 ②得：4x-5＞3（x-2）
4x-5＞3x-6
4x-3x＞-6+5
x＞-1
∶不等式组的解集为．
解集在数轴上表示如下．
（2）解方程；解：
去分母得：，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：4x=8
系数化为1得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
该分式方程无解
【知识点】解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组和解分式方程；熟知解方程的步骤是解题关键.
（1）分别求出每一个一元一次不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集，即可得出答案；
（2）解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验，根据解分式方程的步骤解方程检验即可得出答案．
17．（2024八下·南山期中） 先化简，再求值：然后在0，1，三个数中选一个合适的数，代入求值．
【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】根据通分、因式分解，利用分式的除法法则对分式进行化简，再将有意义的x的值代入计算即可求解.
18．（2024八下·南山期中）如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的各顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点中心对称的图形；
（2）将绕点顺时针旋转得到，请画出；
（3）连接并直接写出线段的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，．
再将、、依次连接起来即可，如图
∴即为诉求．
（2）解：∵要将绕点顺时针旋转，
∴将线段饶点顺时针旋转得到；
将线段饶点顺时针旋转得到，
依次连接、、，
即可得到，如图
∴即为所求．
（3）由（1）、（2）可知：点和均在格点上，
∵，，
．
故答案为：．
【知识点】勾股定理；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】
本题考查点的对称、图形的旋转、两点间的距离公式，熟练掌握点关于原点对称的特征、旋转的性质和两点间的距离公式是解题关键.（1）根据点关于原点对称的点的坐标特征：点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y），利用此规律，写出点A、B、C的对应点的坐标，，，在坐标系中准确描出这三个点并依次连接即可得出答案；
（2）根据点（x，y）绕原点顺时针旋转90°后坐标变为（y，-x）的规律，写出A、B相对于C旋转后的坐标，再将旋转后的相对坐标还原到原坐标系中，得到的坐标，C点坐标在绕自身旋转时不变，在坐标系中准确描出这三个点并依次连接即可得出答案；
（3）根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，代入点和的坐标计算即可得出答案．
（1）解：∵关于原点对称的点的坐标互为相反数，
又∵，，，
∴，，．
再将、、依次连接起来即可，如图
∴即为诉求．
（2）∵要将绕点顺时针旋转，
∴将线段饶点顺时针旋转得到；
将线段饶点顺时针旋转得到，
依次连接、、，
即可得到，如图
∴即为所求．
（3）由（1）、（2）可知，点和均在格点上，
且，，，
∴以和构造直角三角形，
勾股定理可得，
．
故答案为：．
19．（2024八下·南山期中）如图，与相交于点，，，．
求证：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
20．（2024八下·南山期中）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，也是比较少能享有地理标志保护的荔枝，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍箱，桂味箱，共需元；购进糯米糍箱，桂味箱，共需元．
（1）糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过元购进糯米糍、桂味共箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的倍，共有多少不同的种进货方案？如果该经销商将 购进的荔枝按照糯米糍每箱元，桂味每箱元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
【答案】（1）解：设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，
根据题意得：
解得：
答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元；
（2）解：设糯米糍有箱，则桂味有箱，
由题意可得：
解得：
为正整数，
共有 种方案，
设利润为，则
获利随的增加而减小
当时，获利最多，
购进糯米糍箱，桂味箱时，获利最多
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求出答案.
（2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出，设利润为，进而根据一次函数的性质，即可求解
（1）解：(1)设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，
根据题意得：
解得：
答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元；
（2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，
由题意可得：
解得：
为正整数，
共有 种方案，
设利润为，则
获利随的增加而减小
当时，获利最多，
购进糯米糍箱，桂味箱时，获利最多
21．（2024八下·南山期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
（2）计算：______
（3）①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
【答案】（1）解：将看成一个整体，令，
则原式
将代入上式得：原式
（2）2022
（3）解：①∵，
∴
．
②∵，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解（1）：将看成一个整体，令，
将看成一个整体，令，
则原式
．
【分析】
本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，熟练运用整体思想时解题关键.
（1）观察多项式： ，发现括号内的式子部分相同，所以采用整体换元法，设 ，将原多项式转化为关于y的多项式：；再利用多项式乘以多项式的计算方法和完全平方公式化简即可得出答案；
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入原式，再利用多项式乘以多项式的计算方法化简即可得出答案；
（3）①将代入原式，即将原式中的1全部转化为ab，约分化简即可得出答案；
②将代入原式，即将原式中的1转化为abc，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，约分化简合并即可得出答案．
（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
（3）解：①∵，
∴
．
②∵，
∴
．
22．（2024八下·南山期中）旋转与等腰直角三角形相结合，会产生很多美妙的数学结论，是训练几何探究思维很好的方式，麒麟中学八年级某数学兴趣小组做了以下操作探究，把共顶点的两个等腰直角三角形中的一个绕一点旋转一定角度，探究旋转过程中相关图形的几何特性：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形有一个公共的顶点，且．
（1）如图1，与的数量关系为_____，位置关系为______；
（2）将 绕着点顺时针旋转角（）．
①如图2，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若，，当绕着点顺时针旋转过程中，当点、、三点共线时，连接，则的长度为_______；
③如图3，若，绕着点顺时针旋转，当点在落在上时，有，延长交的延长线于点，做点关于的对称点，连接，求的长．
【答案】（1）；
（2）解：①第（）问的结论仍然成立，理由如下：
设交 于点，交于点，如图所示：
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
∴，
∴在△ABE和△CBD中
，
，，
，
，
；
②或；
③是等腰直角三角形，，
，
．
过点B作BH⊥AC于点H，过点F作FM⊥DA于点M，作FN⊥AE于点N ，如图所示：
∴
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
四边形是距形，
，
，
矩形 是正方形，
，
由①得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）与的数量关系为：，位置关系为：，
理由如下：
延长AE交CD于点H，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=CB，∠ABE=90°
∵△BDE是等腰直角三角形
∴BD=BE，∠ABE=90°
∴，
在和中
，
，，
∵∠ABE=90°
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）②分两种情况：
、 如图所示：作于，
是等腰直角三角形，且
，
，
，
由（）得：，
；
、如图所示：作于，
同理可得，
，
，
由（）得：，
；
综上所述，当绕着点 顺时针旋转到点、、三点共线时，则的长度为或；
故答案为：或；
【分析】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
(1)根据等腰直角三角形的性质可知：，，，再利用全等三角形的判定定理SAS可证得 ，再根据全等三角形的性质： 对应边相等，对应角相等可知：AE=CD，，最后结合对顶角相等：与角的和差运算可证得：，即可证出AE⊥CD，即可得出结论；
(2)①设交 于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质可知：，，，再由等式的性质和角的和差运算可知：，再利用全等三角形的判定定理SAS可证得：， 再根据全等三角形的性质： 对应边相等，对应角相等可知：，，最后通过角度之间的等量代换和三角形内角和定理可证出：，即可得出，即可得出结论；
②当A、D、E三点共线时，分两种情况讨论AE的长度（因为∠AEB可能是锐角或钝角），作于，连接交于，，再由勾股定理求出，即可求出，即可得出答案；
③过 作 于，过作 于，于，如图所示：则，，证，得矩形 是正方形，得，然后证，得，则，求出，由勾股定理即可得出答案．
（1）解：与的数量关系为：，位置关系为：，理由如下：
延长交于，如图所示：
，，，
，
在和中
，
，，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）①第（）问的结论仍然成立，理由如下：
设交 于点，交于点，如图所示：
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
即，
，
，，
，
，
；
②分两种情况：
、 如图所示：作于，
是等腰直角三角形，且
，
，
，
由（）得：，
；
、如图所示：作于，
同理可得，
，
，
由（）得：，
；
综上所述，当绕着点 顺时针旋转到点、、三点共线时，则的长度为或；
故答案为：或；
③是等腰直角三角形，，
，
．
过 作 于，过作 于，于，如图所示：则，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
四边形是距形，
，
，
矩形 是正方形，
，
由①得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为．
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