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2025年4月山东省枣庄市薛城区九年级二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在实数0，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大，远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义．这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．维生素在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素都扮演着不可或缺的角色．因此，合理补充维生素对于维护整体健康至关重要．据科学验证，成年人每天维生素的摄入量约为克，将数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．“过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择和两个灯笼的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（ ）（）
A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1
10．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式的值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ．
13．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移的距离 ．
14．如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为 ．
15．如图，正八边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．在平面直角坐标系中,对于点,我们把点叫作点的“相伴点”．已知点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,……,这样依次得到点,,,……,．若点的坐标为,则点的坐标为 ．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
18．数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积．
同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值．
19．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，．
解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
20．甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲学校学生成绩在这一组的是：
80 80 81 82 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 88.5 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表：
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78 46%
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）；
(2)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）；
(3)根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）；
(4)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由．
21．如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求．
22．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点

(1)如图，过点P的直线分别与轴，轴交于点A，B，且．
①求反比例函数的表达式；
②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；
(2)过定点P的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴千点M，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值．
23．如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
(1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长；
(3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______．
24．定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”．
(1)若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值；
(2)对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值；
(3)已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值．
《2025年4月山东省枣庄市薛城区九年级二模数学试卷》参考答案
1．B
解：根据 “正数负数”，可知，且0大于，因此最小数在和中．
，
，
故选：B．
2．A
解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故此选项是轴对称图形，符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够不互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
3．B
解：，
故选：B．
4．D
解：从左面看，可得选项D的图形．
故选：D．
5．D
解：，
解①得，
解②得，
∴，
在数轴上表示为：
故选：D．
6．B
解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故选：B．
7．B
解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选择和两个灯笼的结果有两种，
选择和两个灯笼的概率为，
故选：B．
8．D
解：当，时，，而，
∴命题“若，则”是假命题，
故选：D．
9．A
解：的半径为1，
的面积，
圆的内接正十二边形的中心角为，
过点A作，如图所示：
，
圆的内接正十二边形的面积，
，
故选：A．
10．C
解：①当，时，则，，
∴，
∴若，则错误，故①错误；
②当，时，
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
③∵，
当时，
，解得；
当时，
，解得；
当时，
，解得，舍去；
∴方程的解为或，故 ③错误；
④∵，
其图象为：
由图象可得：当时，，故④正确．
综上，正确的有②④，共2个，
故选：C．
11．
解：式子在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
12．8
解：由题意得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
13．
解：过点作轴的垂线，垂足为，
将代入得，
，
，
是等边三角形，
，
．
，
则，
．
将代入，
解得，
故的横坐标为，
则，
，
故答案为：．
14．
解：过点作的平行线，交于点，交于点．
则．
由旋转可得，．
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
∴的面积为．
故答案为：．
15．π
解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
16．
解：∵的坐标为,
∴,
…,
依此类推,每4个点为一个循环组依次循环,
∵,
∴点的坐标与的坐标相同,为．
故答案为：．
17．（1）8；（2）；．
解：（1）
；
（2）
；
当时，原式．
18．四边形的面积为；的值为
解：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
由作图可得，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为；
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
由作图可得，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）（2）
解：过点作于点，则：，，
∵，
∴，
∴，
在中，；
（2）作，交于点
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)A
(3)乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
(4)预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选．
（1）解：甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和82，
∴中位数为：；
优秀率为；
故答案为：；；
（2）解：∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分；
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分；
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
（3）解：乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（4）解：根据题意，分的人数为为：人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，
根据题意，得，
解得，
而这个3个数依次为89，88.5，88，至少要88分，
答：预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，
∵，
∵是等腰三角形，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：过O作，垂足为F，
在四边形中，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
22．(1)①反比例函数的表达式为；②E点坐标为或
(2)m的值为或
（1）①过P 作轴于点C，即，

当时，即，解得：，
当时，即，
即，，
∴，，
根据，可得，
即：，
∵，
∴，
∴，，
即：，
即，
将代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为；
②由①可得，
设，，
当点B，D，E，P组成平行四边形时
∵，
∴，即，
∴；
当点B，D，E，P组成平行四边形时，
∵，
∴即，
∴，
∴E点坐标为或；
（2）∵直线，
即当时，即，则过定点，
∴P 点坐标为，
代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为，
①如图1，当Q在线段上时，

∵，
∴，即，
作轴于点K，轴于点L，
由P 点坐标为可得：，
∴，
∴，
∴，即，
则：，
∴，
将代入直线得；
②如图2，当Q在线段延长线上时，

∵，
∴，即，
作轴于点K，轴于点L，同理，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
将代入直线得，
综上所述m的值为或．
23．(1)依然成立，理由见解析
(2)
(3)
（1）解：依然成立，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接、，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在直线上时，有最大值和最小值，
∴由图可得的最大值为，最小值为，
∴，
故答案为：．
24．(1)
(2)或
(3)最小值为
（1）解：，
∴顶点坐标为，
∵顶点与点互为“4阶点”，
∴，
解得：；
（2）解：设这一点为，
根据“阶点”的定义得：，
整理得：，
∵只存在一个点与点互为“阶点”，
∴，
解得：或；
（3）解：设点A的坐标为，点B的坐标为，
∵点、都与点互为“阶点”，
∴，，
整理得，，
∴，是方程的两根，
∴，，
又∵，
∴顶点M坐标为，
又∵是线段的中点，
∴点的坐标为，
∵与互为“阶点”，
∴，
整理得，
代入得：，
即，
当时，随k的增大而增大，
∴当时，最小，最小值为．

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