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广东省广州市八区2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
1．（2024高二下·海珠期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列，若，，
则成等差数列，
即，即，解得．
故答案为：C.
【分析】利用等差数列前和的性质求解即可.
2．（2024高二下·海珠期末）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量服从正态分布，则正态分布密度曲线关于对称，
.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可.
3．（2024高二下·海珠期末）已知函数，则单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得，则单调递增区间是.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，令，求函数的单调递增区间即可.
4．（2024高二下·海珠期末）五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（　　）
A．42 B．72 C．78 D．96
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意分：甲值第五天，有种不同安排方法；
甲不值第五天，则甲有种安排方法，乙有种安排方法，其余人全排列，有种不同安排方法；
综上可得一共有种不同安排方法.
故答案为：C.
【分析】由题意，分甲值第五天与甲不值第五天两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算即可.
5．（2024高二下·海珠期末）2025有（　　）个不同的正因数
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：，则的不同的正因数有个.
故答案为：D.
【分析】分解质因数可得，再由分步乘法计算原理计算即可.
6．（2024高二下·海珠期末）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示：
3 4 5 6
2.5 3 4 4.5
根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（　　）
A．5.15吨 B．5.25吨 C．5.5吨 D．9.5吨
【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
由回归直线方程必过点，可得，解得，
则回归方程为，当时，，
则生产7吨产品，预计相应的生产能耗为5.25吨.
故答案为：B.
【分析】由题意求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，再代入计算即可.
7．（2024高二下·海珠期末）下列四个不等式①，②，③，④中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，当且仅当时等号成立；
构造函数，，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，当且仅当时等号成立；
①、当时，，则，故①正确；
②、因为，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时取等号，故②正确；
③、，当且仅当时等号成立，故③错误；
④、令，，则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
即，当且仅当时等号成立，故④正确；
综上可得①②④正确．
故答案为：C.
【分析】先证明、，利用导数判断函数的单调性即可判断①②③；令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值即可判断④.
8．（2024高二下·海珠期末）有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解： 抛掷三次骰子数字和为或的基本事件为：
，，共有7种，
前2种每种情况可以排列出种结果，共有种结果；
后5种组合各有3种结果，共有种结果，
由分类加法计数原理知，共有种结果；拋次骰子共有种结果，
则拋掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率.
故答案为：D.
【分析】根据题意棋子在点处，可得三次骰子点数之和为或，再利用列举法以及古典概型的概率公式计算即可．
9．（2024高二下·海珠期末）设离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足. 则下列结论正确的是（　　）
0 1 2 3
0.2 0.1 0.2
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列的性质可得：，
A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】根据离散型随机变量X的分布列的性质求出，再求，再根据期望、方差的性质求和即可．
10．（2024高二下·海珠期末）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去. 设第个正方形面积为，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．前6个正方形面积和为
D．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、设第个正方形的边长为，则第个正方形的对角线为，则第个正方形的边长为，所以，故是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以第个正方形面积为，
所以，故A正确；
B、，，则，故B正确；
C、，故C错误；
D、，
如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设第个正方形的边长为，由题意可得是首项为，公比为的等比数列，写出的通项公式，代入即可判断AB；根据可得，代入即可判断C；由等比数列前项和公式可判断D.
11．（2024高二下·海珠期末）有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，. 则下列结论正确的是（　　）
A．任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为
B．任取一个零件，它是次品的概率为
C．如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为
【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，由题意可得：，，，，，
A、任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率，故A错误；
B、任取一个零件是次品的概率
，故B正确；
C、取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
，故C正确；
D、记取到的零件不是第3台车床加工的为事件，，
，
则，即如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，根据概率乘法公式计算即可判断A；根据全概率公式计算即可判断B；根据条件概率公式计算即可判断CD.
12．（2024高二下·海珠期末）若数列满足，，则　 　.
【答案】
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 数列满足，，
当时，，
当时，①，②，
①②得，即，即，
则.
故答案为：64.
【分析】由与的关系可得求解即可.
13．（2024高二下·海珠期末）在展开式中，含项的系数是　 　.（用数字作答）
【答案】
【知识点】组合及组合数公式；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：
展开式中含项的系数为：
.
故答案为：.
【分析】根据二项式定理结合组合数的性质计算即可.
14．（2024高二下·海珠期末）已知函数只有1个零点，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意：令，则，
令定义域为，，
当或时，，当时，，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
且，，当时，当时，
当时，
则函数的函数图象，如图所示：
由图可知：与有且只有一个交点，则或，
即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意，令，参变分离可得，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，作出函数图象，数形结合求的取值范围即可.
15．（2024高二下·海珠期末）函数，.
（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求切线的方程；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）解：易知函数在处的切线的斜率为，
函数定义域为，，
则，解得，
则函数，且，切点为，
故切线的方程为：，即；
（2）解：若，，则，整理为，
设，，，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
且，则，即的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由题意，易知切线的斜率为-1，求函数的导函数，由求得，从而得到切点坐标，再利用点斜式求切线方程即可；
（2）参变分离可得，设，，利用导数求出函数的最大值即可得解.
（1）设切线的斜率为，直线的斜率为，
，，
又，，，
，则，所以切点为，
切线的方程为：，即，化简得；
（2）因为，，即可化为，
设，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即的取值范围是.
16．（2024高二下·海珠期末）某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
性别 足球 合计
喜欢 不喜欢
男生 30 20 50
女生 10 20 30
合计 40 40 80
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设为：喜欢足球与性别之间无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜欢足球与性别之间有关联；
（2）解：根据分层抽样可知：喜欢足球的男生有6人，女生有2人，
则的可能取值为，
，
则的分布列为
1 2 3
.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先零假设，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）根据题意，由超几何的概率计算公式，代入计算，得到分布列，再计算期望即可.
（1）零假设为：喜欢足球与性别之间无关联.
根据列联表，由得，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢足球与性别之间有关联.
（2）在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则的可能取值为
且，
则的分布列为
1 2 3
则
17．（2024高二下·海珠期末）数列的首项，.
（1）证明是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，
①当数列的项取得最大值时，求的值；
②求数列的前项和.
【答案】（1）解： 数列满足，则，
即，即
因为，所以，
则数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，
则，即数列的通项公式为；
（2）解：①、由（1）可得：，
当时，，则不是最大项，
设第项（）最大，则，
可得，解得，则数列第项和第项取得最大；
②、由①，
可得②，
由①-②得，
，
可得，
即，
则
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）原式化简可得，得到数列为等差数列，再求得数列的通项公式即可；
（2）①由（1）得到，设第项（）最大，列出不等式组，求得，即可得到答案；
②由，结合乘公比错位相减法求和即可.
（1）解：由，可得，
所以，即
又由，可得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以
则，即数列的通项公式为.
（2）解：①由（1）知，可得，
当时，所以不是最大项，
设第项（）最大，则，
可得，解得，所以数列第项和第项取得最大，
②由， ①
可得， ②
由①-②得，
，
可得，
即，
所以
.
18．（2024高二下·海珠期末）3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.
（1）记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；
（2）对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.
①已知，证明；
②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.
【答案】（1）解：由题意可知：每位同学选择课外知识讲座的概率均为，随机变量服从二项分布，，
随机变量的可能的取值为，
，，
，，
则的分布列为：
；
（2）解：①、因为，且，
所以，又，，
即，而，所以成立；
②、事件不相互独立，
事件课外知识讲座有同学选择，则事件课外知识讲座没有同学选择，
由（1）可知，所以，
事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件：有一个课外知识讲座有同学选择，
所以，所以.
事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择且课外知识讲座有同学选择，
分为两种情况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择；
另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且课外知识讲座有同学选择，
此时或者是没有同学选择，故按照、分组即可，
故，所以，即事件不相互独立，
所以，化简得.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意可得：随机变量服从二项分布，，根据二项分布的概率公式求出分布列，再求数学期望即可；
（2）①、依题意可得，再由条件概率公式证明即可；
②、先求出，，，根据相互独立事件的定义判断即可，再根据所给公式计算.
（1）由题意每位同学选择课外知识讲座的概率均为，则，
即的可能的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以；
（2）①因为，且，
所以，又，，
即，而，所以成立；
②事件不相互独立，
事件课外知识讲座有同学选择，则事件课外知识讲座没有同学选择，
由（1）可知，
所以，
事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件：有一个课外知识讲座有同学选择，
所以，所以.
事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择且课外知识讲座有同学选择，
分为两种情况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择；
另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且课外知识讲座有同学选择，
此时或者是没有同学选择，故按照、分组即可，
故，所以，即事件不相互独立，
所以，
化简得.
19．（2024高二下·海珠期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
函数在上单调递增；在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；在上单调递增；
（2）证明：由（1）知，当时，函数在处取得最小值，
，
要证，即证，
现证，
设，，
令，得，当，得，当，得，
在处取得最小值，
即，，，
，
只需证，即，
显然成立，
则对恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求定义域，再求导，分与，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由条件可得要证，即证，证明构造函数即可证明，从而得证.
（1），
当时，在上单调递增，
当时，令得，
当得，
当得，
所以当时，在上单调递增；在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；在上单调递增.
（2）证法一：由（1）知，当时，函数在处取得最小值，
，
要证，即证，
设，，
令，
则，
所以在上单调递增，
，，
设，满足，
则，解得，
当，当，
，
把代入得，
设，
，
在上单调递减，
，
对恒成立，即成立.
所以对恒成立，
所以对恒成立.，
（2）证法二：
由（1）知，当时，函数在处取得最小值，
，
要证，即证，
现证，设，，
当令得，当得，当得，
在处取得最小值，
即，，，
，
只需证，即，
显然成立.，
所以对恒成立.
1 / 1广东省广州市八区2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
1．（2024高二下·海珠期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．12
2．（2024高二下·海珠期末）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．（2024高二下·海珠期末）已知函数，则单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·海珠期末）五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（　　）
A．42 B．72 C．78 D．96
5．（2024高二下·海珠期末）2025有（　　）个不同的正因数
A．8 B．10 C．12 D．15
6．（2024高二下·海珠期末）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示：
3 4 5 6
2.5 3 4 4.5
根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（　　）
A．5.15吨 B．5.25吨 C．5.5吨 D．9.5吨
7．（2024高二下·海珠期末）下列四个不等式①，②，③，④中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024高二下·海珠期末）有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·海珠期末）设离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足. 则下列结论正确的是（　　）
0 1 2 3
0.2 0.1 0.2
A． B． C． D．
10．（2024高二下·海珠期末）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去. 设第个正方形面积为，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．前6个正方形面积和为
D．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近
11．（2024高二下·海珠期末）有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，. 则下列结论正确的是（　　）
A．任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为
B．任取一个零件，它是次品的概率为
C．如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为
12．（2024高二下·海珠期末）若数列满足，，则　 　.
13．（2024高二下·海珠期末）在展开式中，含项的系数是　 　.（用数字作答）
14．（2024高二下·海珠期末）已知函数只有1个零点，则的取值范围是　 　.
15．（2024高二下·海珠期末）函数，.
（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求切线的方程；
（2）若，，求的取值范围.
16．（2024高二下·海珠期末）某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
性别 足球 合计
喜欢 不喜欢
男生 30 20 50
女生 10 20 30
合计 40 40 80
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2024高二下·海珠期末）数列的首项，.
（1）证明是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，
①当数列的项取得最大值时，求的值；
②求数列的前项和.
18．（2024高二下·海珠期末）3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.
（1）记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；
（2）对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.
①已知，证明；
②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.
19．（2024高二下·海珠期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列，若，，
则成等差数列，
即，即，解得．
故答案为：C.
【分析】利用等差数列前和的性质求解即可.
2．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量服从正态分布，则正态分布密度曲线关于对称，
.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可.
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得，则单调递增区间是.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，令，求函数的单调递增区间即可.
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意分：甲值第五天，有种不同安排方法；
甲不值第五天，则甲有种安排方法，乙有种安排方法，其余人全排列，有种不同安排方法；
综上可得一共有种不同安排方法.
故答案为：C.
【分析】由题意，分甲值第五天与甲不值第五天两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算即可.
5．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：，则的不同的正因数有个.
故答案为：D.
【分析】分解质因数可得，再由分步乘法计算原理计算即可.
6．【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
由回归直线方程必过点，可得，解得，
则回归方程为，当时，，
则生产7吨产品，预计相应的生产能耗为5.25吨.
故答案为：B.
【分析】由题意求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，再代入计算即可.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，当且仅当时等号成立；
构造函数，，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，当且仅当时等号成立；
①、当时，，则，故①正确；
②、因为，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时取等号，故②正确；
③、，当且仅当时等号成立，故③错误；
④、令，，则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
即，当且仅当时等号成立，故④正确；
综上可得①②④正确．
故答案为：C.
【分析】先证明、，利用导数判断函数的单调性即可判断①②③；令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值即可判断④.
8．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解： 抛掷三次骰子数字和为或的基本事件为：
，，共有7种，
前2种每种情况可以排列出种结果，共有种结果；
后5种组合各有3种结果，共有种结果，
由分类加法计数原理知，共有种结果；拋次骰子共有种结果，
则拋掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率.
故答案为：D.
【分析】根据题意棋子在点处，可得三次骰子点数之和为或，再利用列举法以及古典概型的概率公式计算即可．
9．【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列的性质可得：，
A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】根据离散型随机变量X的分布列的性质求出，再求，再根据期望、方差的性质求和即可．
10．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、设第个正方形的边长为，则第个正方形的对角线为，则第个正方形的边长为，所以，故是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以第个正方形面积为，
所以，故A正确；
B、，，则，故B正确；
C、，故C错误；
D、，
如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设第个正方形的边长为，由题意可得是首项为，公比为的等比数列，写出的通项公式，代入即可判断AB；根据可得，代入即可判断C；由等比数列前项和公式可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，由题意可得：，，，，，
A、任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率，故A错误；
B、任取一个零件是次品的概率
，故B正确；
C、取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
，故C正确；
D、记取到的零件不是第3台车床加工的为事件，，
，
则，即如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，根据概率乘法公式计算即可判断A；根据全概率公式计算即可判断B；根据条件概率公式计算即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 数列满足，，
当时，，
当时，①，②，
①②得，即，即，
则.
故答案为：64.
【分析】由与的关系可得求解即可.
13．【答案】
【知识点】组合及组合数公式；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：
展开式中含项的系数为：
.
故答案为：.
【分析】根据二项式定理结合组合数的性质计算即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意：令，则，
令定义域为，，
当或时，，当时，，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
且，，当时，当时，
当时，
则函数的函数图象，如图所示：
由图可知：与有且只有一个交点，则或，
即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意，令，参变分离可得，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，作出函数图象，数形结合求的取值范围即可.
15．【答案】（1）解：易知函数在处的切线的斜率为，
函数定义域为，，
则，解得，
则函数，且，切点为，
故切线的方程为：，即；
（2）解：若，，则，整理为，
设，，，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
且，则，即的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由题意，易知切线的斜率为-1，求函数的导函数，由求得，从而得到切点坐标，再利用点斜式求切线方程即可；
（2）参变分离可得，设，，利用导数求出函数的最大值即可得解.
（1）设切线的斜率为，直线的斜率为，
，，
又，，，
，则，所以切点为，
切线的方程为：，即，化简得；
（2）因为，，即可化为，
设，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即的取值范围是.
16．【答案】（1）解：零假设为：喜欢足球与性别之间无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜欢足球与性别之间有关联；
（2）解：根据分层抽样可知：喜欢足球的男生有6人，女生有2人，
则的可能取值为，
，
则的分布列为
1 2 3
.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先零假设，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）根据题意，由超几何的概率计算公式，代入计算，得到分布列，再计算期望即可.
（1）零假设为：喜欢足球与性别之间无关联.
根据列联表，由得，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢足球与性别之间有关联.
（2）在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则的可能取值为
且，
则的分布列为
1 2 3
则
17．【答案】（1）解： 数列满足，则，
即，即
因为，所以，
则数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，
则，即数列的通项公式为；
（2）解：①、由（1）可得：，
当时，，则不是最大项，
设第项（）最大，则，
可得，解得，则数列第项和第项取得最大；
②、由①，
可得②，
由①-②得，
，
可得，
即，
则
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）原式化简可得，得到数列为等差数列，再求得数列的通项公式即可；
（2）①由（1）得到，设第项（）最大，列出不等式组，求得，即可得到答案；
②由，结合乘公比错位相减法求和即可.
（1）解：由，可得，
所以，即
又由，可得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以
则，即数列的通项公式为.
（2）解：①由（1）知，可得，
当时，所以不是最大项，
设第项（）最大，则，
可得，解得，所以数列第项和第项取得最大，
②由， ①
可得， ②
由①-②得，
，
可得，
即，
所以
.
18．【答案】（1）解：由题意可知：每位同学选择课外知识讲座的概率均为，随机变量服从二项分布，，
随机变量的可能的取值为，
，，
，，
则的分布列为：
；
（2）解：①、因为，且，
所以，又，，
即，而，所以成立；
②、事件不相互独立，
事件课外知识讲座有同学选择，则事件课外知识讲座没有同学选择，
由（1）可知，所以，
事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件：有一个课外知识讲座有同学选择，
所以，所以.
事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择且课外知识讲座有同学选择，
分为两种情况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择；
另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且课外知识讲座有同学选择，
此时或者是没有同学选择，故按照、分组即可，
故，所以，即事件不相互独立，
所以，化简得.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意可得：随机变量服从二项分布，，根据二项分布的概率公式求出分布列，再求数学期望即可；
（2）①、依题意可得，再由条件概率公式证明即可；
②、先求出，，，根据相互独立事件的定义判断即可，再根据所给公式计算.
（1）由题意每位同学选择课外知识讲座的概率均为，则，
即的可能的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以；
（2）①因为，且，
所以，又，，
即，而，所以成立；
②事件不相互独立，
事件课外知识讲座有同学选择，则事件课外知识讲座没有同学选择，
由（1）可知，
所以，
事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件：有一个课外知识讲座有同学选择，
所以，所以.
事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择且课外知识讲座有同学选择，
分为两种情况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择；
另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且课外知识讲座有同学选择，
此时或者是没有同学选择，故按照、分组即可，
故，所以，即事件不相互独立，
所以，
化简得.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得，
函数在上单调递增；在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；在上单调递增；
（2）证明：由（1）知，当时，函数在处取得最小值，
，
要证，即证，
现证，
设，，
令，得，当，得，当，得，
在处取得最小值，
即，，，
，
只需证，即，
显然成立，
则对恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求定义域，再求导，分与，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由条件可得要证，即证，证明构造函数即可证明，从而得证.
（1），
当时，在上单调递增，
当时，令得，
当得，
当得，
所以当时，在上单调递增；在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；在上单调递增.
（2）证法一：由（1）知，当时，函数在处取得最小值，
，
要证，即证，
设，，
令，
则，
所以在上单调递增，
，，
设，满足，
则，解得，
当，当，
，
把代入得，
设，
，
在上单调递减，
，
对恒成立，即成立.
所以对恒成立，
所以对恒成立.，
（2）证法二：
由（1）知，当时，函数在处取得最小值，
，
要证，即证，
现证，设，，
当令得，当得，当得，
在处取得最小值，
即，，，
，
只需证，即，
显然成立.，
所以对恒成立.
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