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2025届新高考数学原创卷1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B A C D C B ABC AC BCD
1.【答案】D 7.【答案】C
【解析】因为集合B 是所有非正整数集,所以A∩B= 【解析】根据函数f(x)在[0,π]上的图像,如图所示.
-1,0 .故选D.
2.【答案】A
( )( )
【 】 1+i 1+i -i解析 因为Z= = =-i-i2i i(-i) =1-i
,所
以Z 的实部为1.故选A.
3.【答案】B
【解析】由已知得,a+b=(3,2+x2),a-b=(-1,2-
x2).若(a+b)∥(a-b),则6-3x2+2+x2=0,解得
x=±2.所以“x=2” “(a+b)∥(a-b)”,但“(a+b)∥
(a-b)”∕ “x=2”,所以“(a+b)∥(a-b)”是“x=2”的
必要不充分条件.故选B.
4.【答案】A
【解析】方法1:a3=S3-S2=(3
2+3)-(22+2)=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).
故选A. 1 π由
2 5 AB = BC ,得x -x = T= ①,又因为方法2:因为Sn=n +n,所以数列{an}
2 1
是以2为首项, 6 6
2为公差的等差数列.于是a3=2+2×(3-1)=6.故 , π πA B 两点关于直线x= 对称,则x1+x2= ②.由
选A. 6 3
5.【答案】C π π①②可得x1= ,于是 m=f(x1)=2sin 2× +【解析】高一学生人数m=20,均值x-1=4,方差s21=4. 12 12
π
高二学生人数n=30,均值x-2=3,方差s
2
2=2.所以总 = 3.故选6 C.
- mx
-
1+nx-2 20×4+30×3 体均值x= m+n = 20+30 =3.4.
总体方 8.【答案】B
-m m
x2m m m
2
差s2= [s2+(x-
n 【解析】由 (
-x-)2]+ [s2+(x- - e lnx- 3≥0x≥e
)得xlnx≥ x ,2e 即
m+n 1 1 m+n 2 2 x x
m
x-)2]
20 [ ( 30 2=20+30 4+ 4-3.4
)2]+ [ ( lnx m x20+30 2+ 3- e lnx≥ e .x2
)2] 2 33.4 =5×4.36+5×2.16=3.04.
故选C. 令f(x)=xex,则f(lnx)≥f m2 恒成立,利用函数x
6.【答案】D m
【解析】设双曲线左焦点为 F1,连接 AF1,BF1,因为 f(x)=xe
x 的 单 调 性 可 知lnx≥ 2恒 成 立,即 m≤x
F→A=4F→B,|AB|=3b,所以A,B,F 三点共线,|FB|= x2lnx(x≥e).令g(x)=x2lnx(x≥e),g'(x)=2xlnx+
b,|FA|=4b.根据双曲线的定义可知|F1B|=2a+b, x≥0,所以g(x)在[e,+∞)上单调递增,则g(x)min=
|F1A|=4b-2a,|F1F|=2c,在△F1BF,△F1AF 中, g(e)=e2,即m≤e2.故选B.
b2+4c2-(2a+b)2
由余 弦 定 理 可 得cos∠F1FB= = 9.【答案】ABC4bc
16b2+4c2-(4b-2a)2 【 5解析】点 到直线 的距离为 ,选
.又c2=a2+b2,整理化简可得 O l d= = 512+2216bc
b 8 c2, b
2 73 项A正确;线段 AB =2 25-5=45,选项B正确;
= 所以a 3 e= = 1+ =
故选
a2 a2 3
. D.
1 2 3
cos∠AOB=2× 5 -1= - ,选 项 C 正 确;5
—答1 —
1· · 1△OAB 的面积是2 AB d= 2×4 5× 5=
10, -4y2= 3 y0= .
故 存 在 三 点
3 P
1003 10
2 , ,27 3
10≠20,选项D错误.故选ABC.
1213 11 163 -4
10.【答案】AC Q2 , ,T , 构成等边三角形.则27 3 27 3
2
【解析】ab≤ a+b 1= , 1当且仅当a=b= 时,等 D正确.2 4 2
综上所述,选BCD.
号成立,选项A正确;a2+b2≥2· a+b 2 1= ,选2 2 0, n=1
12.【答案】
1
项B错误;
1 1 4 1
a +b ≥a+b=4
,当且仅当a=b=2 2n-2, n≥2
a+b 【解析】因为 a
2
1+2a2+2a +…+2
n-1a =2(n-1)①,
时,等号成立,选项C正确; a+ b≤2·
3 n
2 = 当n=1时,a1=2×0=0;当n≥2时,a1+2a2+
2,选项D错误.故选AC. 22a3+…+2
n-2an-1=2(n-2)②.
11.【答案】BCD 1
【 可得解析】设直线 P Q 方程为 (x x ) ①-② 2
n-1an=2,则an= , ,y=-3 3 - + 2n-2
③ 且a1=0 不
n n n
yn,Pn (xn,yn ),Qn (xn+1,- yn+1 ),则 0, n=1
y=-33(x-xn)+yn 符合式③,所以 an= ,整理可得3y2+y-(33xn+2 1 , .n-2 n≥22y =3x
13.【答案】f(x)=2sin2x(答案不唯一)
1
yn)=0.由根与系数关系可得yn-yn+1=- ,即3 【解析】由f(-x)=-f(x)知f(x)是奇函数,由
1 f(π+x)=f(x)知f(x)的周期为π,再由|f(x)|≤2
yn+1-yn = ,所 以 数 列 yn 为 等 差 数 列,3 yn = 知f(x)的最大值不大于2,所以可考虑选择周期为π,
n+8 3(n+8)2 最大值为2的正弦型函数,所以本题答案为 ( ), x =则xn= ,所以数列
f
3 27 xn
不是等差数
2sin2x.
列.故A错误,B正确.
32- 10
P n+8,3( )2 ,P n+9 3 14.【答案】n n+8 n+1 , (3 27 3 27n+9)2 , 2【解析】如图所示,以A 为原点,AD,AB,AA1 所在直
Pn+2 n+10 3 1 3, ( →3 27n+10)2 ,PnPn+1= , (2n+ 线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,所以3 27
A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),D(3,0,0),A1(0,0,3),
17) ,PnP →n+2= 2,3(3 274n+36) ,S△PnPn+1P =n+2 B1(0,3,3),M(0,b,3),N(a,0,0).则A→M=(0,b,3),
1 → → 1 2 3 A
→N=(a,0,( ) 0
),MN= (0-a)2+(b-0)2+(3-0)2=
2|PnPn+1×PnPn+2|= 2 3 ×27 2n+17 -
a2+b2+9=32,即a2+b2=9(a,b∈[0,3]).连接
1 3
× ( )
3
4n+36 = 故 正确 1 23 27 81. C . AM,因为 M→P=2P→N,所以 A→P=3A
→M+3A
→N=
假设在抛物线上存在点T(x0,y0),使得△TPnQn 为等 1(,,) 2(,,) 2a,b, , 2a ,b边三角形.记直线PnQn 的倾斜角为α,则tanα=-33, 3 0b3+3a00= 1 则3 3 P 3a , ,3 1
π
直线PnT 倾斜角为α- ,直线QnT 倾斜角为3 α+
π yn+, yα n+1
3
3 tan =-33=
,则
x -x =y -y yn+1
-
n n+1 n n+1
1 -33+ 3 y0+yn+1
yn=3①
,tan πα+3 = 1+9 =x -x =0 n+1
3 ,则 - =5②,tan πy -y yn+1 y0 α-0 n+1 3 =
-33- 3 y0-yn 3 ,则
1-9 =x0-x
=
y +y y0
+yn=2③.
n 0 n
10
由②+③得yn+yn+1=7,再结合式①得yn= ,即3
—答2 —
AC⊥BD 由EF⊥AE 及翻折的性质知EF⊥PE,EF⊥ED,又
→ 2a b DD1⊥AC ED∩PE=E,ED,PE 平面PED,所以EF⊥平面 DP -3, ,1 ,所 以3 3 DD ∩BD=D PED,又PD 平面1 PED,所以EF⊥PD.
DD1,BD 平面DD1B1D (2)如图所示,连接CE,由题可知 DE=9,CD=33,
AC⊥平 面 B1D1DB,则 A
→C = (3,3,0)是 平 面 ∠CDE=90°,故CE= DE2+CD2=63.又PE=
B1D1DB 的一个法向量. AE=6,PC=12,所以 PE
2+CE2=PC2,故 PE⊥
A→→ C CE.又 PE ⊥EF,CE ∩EF =E,CE,EF 平 面设P 到平面B1D1DB 距离为d,则d= DP· → =|AC| ABCD,所以PE⊥平面ABCD.
2a b (3,3,0) 2a-9+b 以E 为原点,EF,ED,PE 所在直线分别为x 轴、 y-3, ,1 ·3 3 2 2 = =3 +3 +0 18 轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,6),D(0,9,
2a-9+b 0),F(23,0,0),A(0,-6,0),C(33,9,0).由A→F=
.
32 3 → 得 (, ,),则 → ( ,,),
, π , 2
AB B 44 3-60 CD= -3 3 00
由 题 设 a=3cosθ b=3sinθ 0≤θ≤ 则2 P→F=(23,0,-6),P→B=(4,43-6,-6).
6cosθ-9+3sinθ 2cosθ-3+sinθ
d= = = n·P→F=0
3 2 2 设平面PBF 的法向量为n=(x,y,z),则 ,n·P→-3+5sin(θ+φ) 1 2 B=0cosφ= ,sin(θ+φ)∈ ,1 ≤2 5 5 可取n=(3,-1,1).
设直 线 与 平 面 所 成 角 为 ,所 以
3- 5 32- 10 CD PBF θ sinθ=
= .故动点2 P
到平面B1D1DB 距离 → |C→2 D·n| 15 10|cos|= → = ,则5 cosθ= .|CD|·|n| 5
32- 10
的最小值为
2 . 10故直线CD 与平面PBF 所成角的余弦值为 5 .
π
15.【答案】(1) ;(2) 3, 3 2 3
【解析】(1)由正弦定理可得a2+bc=c2+b2,又因为
2 2 2 1a =b +c -2bccosA,所以cosA= ,又A∈(2 0
,π),
π
故A=3.
() 2π2 由A+B+C=π得C= -B,且B∈ 0,2π ,所3 3
17.【答案】(1)单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区
3
以sinB +sinC=sinB +sin 2π-B = sinB + 间;(2)[1,3 2 +∞)
【解析】(1)当a=1时,f(x)=(x+1)lnx-2(x-1)
3
cosB= 3sin π2 B+6 . 的定义域 为(0,+∞),f'( 1x)=lnx+ -1,显 然x
π π 因 为 B + ∈ ,5π ,所 以 3sin πB+ ∈ f'(1)=0.6 6 6 6
( ) ( ) 1 x-1 令3 3 g x =f' x =lnx+
,
x
-1g'(x)= ,2 令
, .故sinB+sinC 的取值范围是 , . x
2 3 2 3 g'(x)=0,则x=1.
【 】() ;() 10 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(16. 答案 1 见解析 2 x
)在(0,1)上单调递减,
5 g(x)>g(1)=0,所以f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,
【 】() , 2 , 3 g'
(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增, (x)>解析 1 由题意可知 AE=3ED=6AF=2AB=
g
g(1)=0,所以f'(x)≥0.
43,又∠BAD=30°,所以由余弦定理得EF2=AE2+ 故f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单 调 递 减
AF2=2AE·AF·cos30°=12,故EF=23.又EF2+ 区间.
AE2=AF2,所以EF⊥AE. (2)
a
f'(x)=lnx+ -1,因为f(1)=0,所以要使当x
—答 3—





x>1时,f(x)>0,则必须满足f'(1)=a-1≥0,即 276
a≥1.下面证明a≥1. d= 13 .
① 当a≥1时,f(x)=(x+a)lnx-2(x-1)≥(x+1)·
, 276综上 的面积为 或
lnx-2(x-1),令h(x)=(x+1)lnx-2(x-1),由 △PCD 36 13 .
(1)知,h(x)在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)>
2 2-2
h() ,则当x 时,(x) h(x) ()
(3)h 由 题 可 知t1=kAB =
,
1 =0 >1 f ≥ > 1 =0. 2 t2=kPB =
,设
2
, ( ) a , , F(x0,y0),E( , ), ( , ),设直线 为② 当a<1时 f' x =lnx+ -1 又x>1 所以 x3 y3 G x4 y4 EF y=x y=t1(x-x0)+y0
() x-af″x = >0,故f'(x)在(1,+∞)2 上单调递增. t1
(x-x0)+y0,则 x2 y2 ,整理化简可x 8+4=1
( ) aⅰ 当0≤a 2 2 2<1时,f'(1)=a-1<0,f'(e2)=1+ > 得(2t1+1)x -4t1(t1x0-y0)x+2(t1x0-y0)-
e2 8=0.
0,所以存在x ∈(1,e20 ),使得f'(x0)=0.又f'(x)在 4t
(, 1
(t1x0-y0)
1 +∞)上单调递增,所以当x∈(1,x0)时f'(x)<0, 由根与系数关 系 可 得 x0+x3= ,2t2
则
+1
即f(x)在(1,x0)上单调递减,所以f(x)1
=0. 2
(ⅱ)当a<0时,() ( )
( ) ( )
f2 = 2+aln2-2<2ln2-2=ln4-
4t1tx 1
x0-y0 2t1-1xx 0
-4t1y0
3= - = =
4 2t
2
1+1
0 2t21+1
2=ln 0不恒e -(2t
2
1-1)y0-2t1x, 0 2- 2y0 y3= 2 =-2x2t +1 0
.
成立. 1
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞). (2t2-1)x -4ty
同理 可 得 G 点 的 坐 标x 2 0 2 0= =
x2
4 2
y2 2t +118.【答案】(1) + =1;(2)
276
3 6或 ;()
2
见
8 4 13 3 2 -(2t
2
x , 2
-1)y0-2t2x0 1 2
解析 - 0+y0y4= = x0+ y0,2 2t22+1 2 2
【解析】(1)依题意可得A(-a,0),B(0,b),F2(c,0), 1 2
2 x + x
0 0P c,b ,因为AB∥OP,所以b=c. yk k 4 y3-2 2 2a AG- PE= - = -x4+22 x3-2 2
,2 2 2, -2x0+y0+22又因为|F2A|=a+c=2+22a =b +c 所以a=
x2 2 2
22,b=c=2.故椭圆的方程为 y8+4=1. -2x0- 2 x0+ 2y0 x0+2
= - =
(2)由(1)可知P(2,2),依题可知直线l的斜率存在 - 2y0-2 2y0- 2x0+42 2y0+22
且不为零,设直线为x+ty+2=0,则点P(2,2)到直 (x0+2y0)(2y0+22)-(x0+2)(2y0-2x0+42)=
|2+ 2t+2| (2y0- 2x0+42)(2y0+22)
线l的距离为d= =23,解得t= 2或
2 2x2t +1 0+22y
2
0-82
=0.
2 (2y0- 2x0+42)(2y0+22)
-5. 所以AG∥PE,即命题成立.
x+ty=2 19.【答案】(1)9,44;(2)见解析;(3)见解析
设C(x1,y1),D(x2,y2),由 x2 y2 可得(t2+2)· 【解析】(1)1号球可以放入2,3,4号盒子中,有C13 种8+4=1 排法.
y2-4ty-4=0,由 根 与 系 数 关 系 可 得 y1+y2= 不妨设1号球放在2号盒子中,接下来讨论2号球的
4t , -4 放置方法.
2 y1y2= 2 .t +2 t +2 当2号球放在1号盒子中时,剩下两个小球只有1种
32(t2+1)2 方法.
|CD|= 1+t2· (y 21+y2)-4y1y2= (t2
=
+2)2 当2号球不放在1号盒子中时,可以排在3号盒子与4
1
42(t2 )
号盒子中,有 种情况
+1 C2 .
2 .t +2 若2号球放在3号盒子中时,剩下两个小球只有1种
1 方法.
当t= 2时,|CD|=3 2,S△PCD = 2|CD|
·d= 所以F(4,4)=C13(1+C
1
2·1)=9.
2 272 1 1号球可以放入2,3,4,5号盒子中,有C
1
4 种情况.
36;当t=- 时,|CD|= ,5 13 S△PCD=2|CD|
·
不妨设1号球放在2号盒子中上,接下来讨论2号球
—答4 —





的放置方法. 果Cov(X,Y)>0,表示X 和Y 的变化趋势相同;如果
① 当2号球放在1号盒子中时,剩下三个的小球分别 Cov(X,Y)<0,表示X 和Y 的变化趋势相反.
不放在3,4,5号盒子中,则3,4,5号球的不同方法有 Cov(X,Y)<0表示“所放小球号码与盒子号码相同”
F(3,3)=2(种). 的个数和“所放小球号码与盒子号码不同”的个数的变
② 当2号球不放在1号盒子中时,剩下三个的小球分 化趋势相反,与实际情况相吻合.
别不放在3,4,5号盒子中,共有F(4,4)种排法. (3)回到定义,当n≥3时,对于F(n,n),不妨从1号
故F(5,5)=C14[2+F(4,4)]=4×(2+9)=44. 球开始放置.设1号球放在k(2≤k≤n)号盒子中,有
(2)由题意知 X 的所有可能取值为0,1,2,4,且 X+ n-1种放法.接下来讨论k号球:
Y=4. ① 当k号球放在1号盒子中时,剩下2,3,…,k-1,
C13C
1
3 3 8 1 k+1,…,n,共n-2个球分别不在2,3,…,k-1,k+所以P(X=0)= 4 = , ( )8 P X=1 = 4=
,
A4 A4 3 1,…,n号盒子中,共有F(n-2,n-2)种排法.
C2 1 1 1 ② 当k号球不放在1号盒子中时,因为2,3,…,k-1,
P(X 4=2)= , ( )
A4
=4 P X=4 = 4=24.A k+1,…,n号球分别不在2,3,…,k-1,k+1,…,n 号4 4
故X 的分布列为: 盒子中,所以2,3,…,k-1,k,k+1,…,n共n-1个小
球分别不在2,3,…,k-1,1,k+1,…,n 号盒子中,共
X 0 1 2 4 有F(n-1,n-1)种排法.所以 F(n,n)=(n-1)
3 1 1 1 F(n-1,n-1)+F(n-2,n-2) (n≥3).P 8 3 4 24 (第(1)问中对于F(n,n)的递推关系以及证明有所提
示,F (4,4)=3 F(2,2)+F(3,3) ,F (5,5)=
( ) 3 1 1 1所以E X , 4 F(3,3)+F(4,4) ,=0× +1× +2× +4× =1 可以从第(1)问的计算方法入8 3 4 24 手,得出递推关系)
E(Y)=E(4-X)=4-E(X)=3. 则F(n+1,n+1)=n F(n,n)+F(n-1,n-1) ,
方法1:因为X+Y=4,所以[X-E(X)][Y-E(Y)]=
, F
(n+1,n+1)
(X-1)(1-X)=-(X-1)2. n≥2 即n=F(n,n)
,
+F(n-1,n-1)n≥2.
令Z= X-E(X) Y-E(Y) ,则Z 的分布列为: F(n,m) F(n,m)
根据定义,P(n,m)= n =An n!
.
Z -1 0 -9 先从n 个 元 素 中 选 出 m 个 元 素,再 对 它 们 进 行 排
P 5 1 1 列,并使它们均不排在对应位置上,所以F(n,m)=8 3 24 F(m,m)
CmnF(m,m),则P(n,m)=m!(n-m)!.
5 9
故Cov(X,Y)=- - =-1<0. 不妨记F(m,m)=Dm,则 Dm =(m-1)(Dm-1+8 24
Dm-2),且D0=1,D1=0,m≥2,得Dm+2=(m+1)·
方法2:因为 X+Y=4,所以当 X=0时,Y=4;当 (Dm+1+Dm),则Dm+2-(m+2)Dm+1=-[Dm+1-
X=4时,Y=0,则P(
3 1 5
XY=0)= + = . (m+1)Dm],故{Dm+1-(m+1)D }是等比数列,且8 24 12 m
公比为-1.
当X=1时,Y=3,则P(XY=3)
1
= ;当3 X=2
时, 又D2-2D1=1,所以Dm+1-(m+1)D =(-1)
m-1
m =
m+1
, ( ) 1 ( ) 5 (-1)m+1
Dm+1 Dm (-1)
Y=2 则P XY=4 = .故E XY =0× +3× ,变形得( )!- ! = ( )! ,则当4 12 m+1 m m+1
1 1 D D mm 时, m m-1
(-1) D3 D2
+4× ≥2 - = ,…,3 4=2. m! (m-1)! m! 3!
-2! =
Cov(X,Y)=E X-E(X) Y-E(Y) =E[XY- (-1)3 D2 D1 ( )2 m i, -1 , D ( )累加得 m -1
YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E[YE(X)]
- = = =
- 3! 2! 1! 2! m! ∑i=2 i!
E XE(Y) +E E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)- m (-1)i,经 检 验 , 也 符 合 上 式,所 以
E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= ∑i=0 i! D0 D1
2-3=-1<0. m i( , ) ! (-1)
令Z= X-E(X) Y-E(Y) ,
F m m = D = m
可知当Z>0时,X m ∑ i! ,故 P(n,m)=i=0
和Y 同时大于或同时小于各自的数学期望.当Z<0 F(m,m) 1 m (-1)i
, .时 X 和Y 相对于各自数学期望的大小情况相反. m!(n-m)! = (n-m)! ∑ !i=0 i
因此,Cov(X,Y)刻画了 X 和Y 之间的变化趋势:如
—答5 —二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在 三、填空题:本题共3小题,每题5分,共15分.
每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 12.已 知 数 列{an}满 足 a1+2a
2
2+2a3+…+
部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错 2n-1an=2n-2,则an= .
的得0分.
9.直线 : 与圆 :2 2 交于 ,
一、选择题:本题共8小题,
l2x+ =5 O x + =25 A B
每小题5分,共40分.在 读课外书籍数量的均值为3本,方差为
y y
2.则该学
两点,则(
, 、
). 13.写出一个满足下列条件的函数为每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 校高一 高二学生每周阅读课外书籍数量的总体 .
要求的. 均值和方差分别是( ). A.点O 到直线l的距离为 5 ①f
(-x)=-f(x) ②f(π+x)=f(x)
1.已知集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x≤0,x∈ A.总体平均数为3.4本,总体方差为3.24 B.线段|AB|=45
③|f(x)|≤2
Z},则A∩B=( ). B.总体平均数为3.5本,总体方差为3.04 3C.cos∠AOB=-
5
A . [-1 ,0 ] B . {0 ,1 ,2 ,3} C.总体平均数为3.4本,总体方差为3.04
的面积是
C.[0,3] D.{-1,0} D.总体平均数为3.5本,总体方差为
,
3.24 D.△OAB 20 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为3 点
M 在A1B1上运动,点 N 在棱AD 上运动,MN
上有一点P 满足MP→=2PN→,且 MN=32,则
x2 2 10.已知a,b>0,且a+b=1,则( )y . 动 点 到 平 面1+i P B1D1DB
距 离 的 最 小 值
2.复数Z= 的实部为(i
). 6.已知F 为双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右a2 b2 1
→ → A.ab
的最大值是 为 .
A.1 B.-1 C.0 D.i 焦点,A,B 是双曲线C 上两点且满足FA=4FB,
4
|AB|=3b,则双曲线C 的离心率为( ). B.a2+b2的最大值是
1
2
7 75 55 73 1 1 四、解答题:本题共 小题,共 分 解答应写出文A.5 B. 5 C. 3 D.
5 77 .
3 C. + 的最小值是 4
3.已知向量a=(1,2),b=(2,x2),则“(a+b)∥(a-b)” a b 字说明、证明过程或演算步骤.
是“x=2”的( ). D.a+ b的最小值是 2 15.(13分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别
A.充分不必要条件 为a,b,c,且asinA+bsinC=csinC+bsinB.
π
B.必要不充分条件 7.若直线y=m 与曲线f(x)=2sin 2x+ ,x∈ (1)求角A 的大小;6
C.充要条件 ,7π
2
,, , 已知点 ( ,)在抛物线 : 上,按
(2)求sinB+sinC 的取值范围.
0 从左往右仅相交于A BC 三点 且5|AB|= 11. P1333 C y = 3x
D.既不充分也不必要条件 6 照如下方法依次构造点Pn(n=1,2,3,4,…),过
|BC|,则实数m 的值为( ).
点Pn 作斜率为-33的直线与抛物线C 交于
2 3
A.2 B.2 C.3 D.2 另一点Qn
,令Pn+1 为Qn 关于x 轴的对称点,
4.已知数列{an}的前n 项和Sn=n
2+n,则a3= 记Pn 的坐标为(xn,yn).则( ).
( ). A.数列{xn}是等差数列
A.6 B.11 C.12 D.2 m
- m B.数列{yn}是等差数列
8.若对任意x∈[e,
2
+∞),满足e xlnx- ≥0恒
x3
C.△P P P 的面积为
3
成立,则实数m 的取值范围是( ). n n+1 n+2 81
5.为了解某学校学生每周阅读课外书籍的数量,采 A.(-∞,e] B.(-∞,e2] D.抛物线C 上存在一点T,使得△TPnQn 为等
用样本量比例分配的分层随机抽样方法.现抽取 C.[e2,+∞) D.[e,+∞) 边三角形
高一学生20人,其每周阅读课外书籍数量的均值
为4本,方差为4;抽取高二学生30人,其每周阅
·1-1 · ·1-2 ·


16.(15分)如图所示,平面四边形ABCD 中,AB= 17.(15分)已知函数f(x)=(x+a)lnx-2(x-1). x2 y2
19.(( ) : ( ) 17分
)错排问题最早由伯努利与欧拉系统研
18.17分 已知椭圆Γ 2+ 2=1a>b>0 上的
8,CD=3 3,ED=9,∠ADC=90°,∠BAD= (1)若a=1,求f(x)的单调区间; a b 究,历史上称为伯努利-欧拉的装错信封问题.现
2 3 (→ → → → 2)当x>1时,f(x)>0,求a 的取值范围.
一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为右焦点F2.椭 在定义错排数F(n,m)为将编号为1,2,3,…,n
30°,点E,F 满足AE= ED,3 AF=
将
2AB. 圆Γ 与x 轴负半轴的交点为A,与y 轴正半轴的 共n 个小球放入编号为1,2,3,…,n 共n 个盒子
△AEF 沿EF 翻折至△PEF,使得PC=12. 交点为B,且AB∥OP(O 为坐标原点),|F2A|= 中,每个盒子中恰有一个小球,其中有m 个小球
(1)证明:EF⊥PD; 2+22. 不在其对应的盒子中的情况数(编号为i的小球
(2)求直线CD 与平面
PBF 所成角的余弦值. (1)求椭圆的方程; 对应的盒子为编号为i的盒子,i∈N*,1≤i≤n).
(2)经过点(-2,0)直线l与椭圆Γ 相交于C,D 容易得到,F(1,1)=0,F(2,2)=1,F(3,3)=2,
两点,点P 到直线l的距离为23,求△PCD 的 规定F(0,0)=1.
; (1)计算F(4,4),F(5,面积 5);
() , , (2)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个3 若椭圆Γ 上任意三点E F G 满足AB∥
, , , : 变量的总体误差,对于离散型随机变量X,Y,定EF BP∥FG 且 点 F 在 第 四 象 限 求 证
义协方差为
AG∥PE. Cov
(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-
E(Y)]}.当n=4时,记所放小球号码与盒子号
码相同的个数为 X,不同的个数为Y,求 证:
Cov(X,Y)<0;并结合实例,解释协方差的实际
含义.
(3)定义错排概率P(n,m)为随机将编号为1,
2,3,…,n 共n 个小球放入编号为1,2,3,…,n
共n 个盒子中,其中有m 个小球不在其对应的
盒子中的概率,证明:P(n,m) 1=( ·n-m)!
m (
∑ -1
)i
! .i=0 i
·1-3 · ·1-4 ·■■■■
■■■■
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效：
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
2025届新高考数学原创卷（1)
17.(15分)
数学·答题卡
姓名：
贴条形码区
1.答题前，考生先将自己的姓名、准
考证号填写清楚，并认真检查监考
员所粘贴的条形码。
选择题必须用2B铅笔填涂：非选
准考证号
择题必须用0.5mm黑色签字笔答
题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字
肖
注意事
体工整、笔迹清晰。
0000000000
3.请按题号顺序在各题目的答题区域
内作答，超出区域书写的答案无
2
3
3
23
2
效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄
45
15
5
45
5
345
4
45
345
6789
6789
6
5.正确填涂■
>
8
6789
8
678
6789
23456789
67
16.(15分》
缺考标记
口
9
9
9
选择题（每小题5分，共40分）
◆
1[A[B][C][D]
4[A][B][C][D]
7[A][B][C][D]
如
2[A][B][C][D]
5[AJ[B][C][D]
8[A][B][C][D]
3[A][B][C][D]
6[A][B][C][D
二、选择题（每小题6分，共18分）
9[A][B][C][D]
10[A][B][C][D]
11[A][B][C][D]
三、填空题（每小题5分，共15分）
13.
14.
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(13分
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2025届新高考数学原创卷1数学答题卡第1页（共6页）
2025届新高考数学原创卷1数学答题卡第2页（共6页）
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18.(17分)
19.(17分)
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