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专题2 期末复习题题组——勾股定理（30道）
类型一 与勾股定理有关的证明及计算 1
类型二 与勾股定理的逆定理有关的证明及计算 9
类型三 勾股定理的实际应用 17
类型一 与勾股定理有关的证明及计算
1．（2025春湛江校级期中）已知，如图，AD是△ABC在BC边上的高，AD＝12，BC＝21，BD＝5，求AC的长．
【解答】解：∵AD是△ABC在BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝12，BC＝21，BD＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16，
∴AC20．
2．（2024秋项城市期末）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c．
（1）①若∠C为直角，则由勾股定理得a2+b2＝c2．若∠C为锐角，求证：a2+b2＞c2．
②若∠C为钝角，试判断a2+b2与c2的关系，并证明．
（2）若a＝3，b＝4，且△ABC是钝角三角形，求第三边的长c的取值范围．
【解答】（1）①证明：过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示，
则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD．
在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，
在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，
整理得a2+b2＝c2+2aCD．
∵a＞0，CD＞0，
∴a2+b2＞c2，
②解：a2+b2＜c2，证明如下：
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2所示，
则BD＝BC+CD＝a+CD，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2，
整理得 a2+b2＝c2﹣2aCD，
∵a＞0，CD＞0，
∴a2+b2＜c2，
（2）解：当∠C为钝角时，由（1）②得 ，
即5＜c＜7；
当∠B为钝角时，由（1）②得 ，
即．
综上所述，第三边的长c的取值范围为5＜c＜7或 ．
3．（2025春西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD．
（1）若AC＝13，AB＝12，AD＝15．求CD的长；
（2）若AC平分∠BAD，BC＝9，CD＝15，直接写出AB的长．
【解答】解：（1）在△ABC中，AC＝13，AB＝12，∴BC5，
在△ABD中，AD＝15，AB＝12，
∴BD9，
∴CD＝BD﹣BC＝4；
（2）过点C作CE⊥AD于E，
∵∠ABC＝90°，AC平分∠BAD，
∴CE＝BC＝9，
在△CDE中，CD＝15，CE＝9，
∴DE12，
在Rt△ABC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），
∴AB＝AE，
∴AD＝AB+12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AB2+242＝（AB+12）2，
解得AB＝18．
4．（2025春石楼县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AC于点D，求AD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AC于点D，
∴CD＝BC＝12，
由勾股定理得：，
∴AD＝AC﹣CD＝13﹣12＝1．
5．（2025春路北区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.4，BC＝1.8．
（1）求AB的长；
（2）求AB边上高线h的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
；
（2）∵△ABC的面积，
∴，
解得，h＝1.44．
6．（2024秋鄞州区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点．
（1）求证：∠DCE＝∠ADF；
（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长．
【解答】（1）证明：连结DE，如图，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴E是AB边上的中点，
∴AB＝2DE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝DE，
∵点F是CE中点，
∴DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC+∠ADF＝90°，
∴∠DCE＝∠ADF；
（2）解：∵∠BAC＝90°，
在直角三角形ACE中，由勾股定理得：，
∵点F是CE中点，
∴CF＝5，
∵∠ADB＝90°，E是AB边上的中点，
∴DE＝AE＝6，
∴CD＝DE＝6，
∵∠DFC＝90°，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得：．
7．（2025春南昌期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，作AD⊥AB交BC于点D．
（1）若∠ADB＝70°，则∠BAC＝　140　 °；
（2）求证：∠BAC＝2∠ADB；
（3）已知∠ADB＝67.5°，，求BC2的值．
【解答】（1）解：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝70°，
∴∠B＝90°﹣70°＝20°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣2×20°＝140°，
故答案为：140；
（2）证明：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠ADB＝90°，即∠B＝90°﹣∠ADB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B，即∠B＝90°∠BAC，
∴90°﹣∠ADB＝90°∠BAC，
∴∠BAC＝2∠ADB；
（3）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∠ADB＝67.5°，
∴∠BAC＝2×67.5°＝135°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵AC，
∴AE＝EC＝1，
∵AB＝AC，
∴BE1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC2＝BE2+EC212＝4+2．
8．（2025春顺德区期中）如图，AC⊥BC，DB⊥BC，垂足分别为C，B，点E在BC上，连接DE，交AB于点F，AC＝EB，AB＝DE．
（1）判断：AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）连接AD，AE，若AC＝a，BC＝b，AB＝c，通过用不同方法计算四边形ACBD的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
【解答】解：（1）AB⊥DE．
理由：∵AC⊥BC，DB⊥BC，
∴∠ACB＝∠EBD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△EDB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDB（HL），
∴∠ABC＝∠D，
∵∠ABC+∠ABD＝∠EBD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∴∠BFD＝90°，
∴AB⊥DE；
（2）如图，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△EDB，
∴BC＝DB＝b，AC＝EB＝a，AB＝ED＝c，CE＝BC﹣EB＝b﹣a．
∴S四边形ACBD＝（a+b）bb2ab，
∵AB⊥DE，
∴S四边形ACBD＝S四边形AEBD+S△ACEc2a（b﹣a）c2aba2，
∴b2abc2ab2，
整理，得a2+b2＝c2．
9．（2025春庐江县期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整．
证明：添加辅助线，如图， ∵整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得 　 　 ； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得 　 　 ； ∴根据面积相等，得到等式 　 　 ， 化简这个等式，得 　 ， 从而证明了勾股定理．
【解答】解：（1）方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：c2abab＝c2+ab，
即最后化简为c2+ab；
方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab；
根据面积相等，得：c2+ab＝a2+b2+ab，
化简最后结果是c2+ab＝a2+b2+ab．
故答案为：c2+ab；a2+b2+ab；a2+b2+ab＝c2+ab；a2+b2＝c2．
类型二 与勾股定理的逆定理有关的证明及计算
10．（2025春沈北新区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25，BA＝7，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC＝　 　 ．
（2）斜边AC上的高线长为 　　 ．
（3）①当P在边AB上时，AP的长为 　 ，（用含t的代数式表示）t的取值范围是 　t　 ．
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 　 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25，BA＝7，
∴BC24；
故答案为：24；
（2）如图1所示，过点B作 BD⊥AC于点D，
，
BD，
故答案为：；
（3）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动，AC＝25，
∴AP＝3t﹣AC＝（3t﹣25），
t的取值满足，即t，
故答案为：（3t﹣25），t；
②点P在∠BAC的角平分线上，过点P作PE⊥AC于E，如图2所示，
∵AP平分∠BAC，∠B＝90°，PE⊥AC，
∴PB＝PE，
又∵PA＝PA，
∴Rt△BAP≌Rt△EAP（HL），
∴EA＝BA＝7，则CE＝AC﹣AE＝25﹣7＝18，
由题意，知PB＝3t﹣25﹣7＝3t﹣32，
∴PE＝PB＝3t﹣32，
∴PC＝24﹣PB＝24﹣（3t﹣32）＝56﹣3t，
在 Rt△CEP 中，
由勾股定理，得PC2＝CE2+PE2，即（56﹣3t）2＝182+（3t﹣32）2，
解得t，
∴点P在∠BAC的角平分线上时，t，
故答案为：；
（4）△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当AB＝AP＝7时，如图3所示，
则CP＝AC﹣AP＝25﹣7＝18，
∴t＝18÷3＝6；
当AB＝BP＝7时，过点B作BD⊥AC于点D，如图4所示，
由题意，知CP＝3t，AP＝25﹣3t，
∵AB＝BP，BD⊥AC，
∴AD＝PD，CD，
由勾股定理，得BD2＝BC2﹣CD2＝AB2﹣AD2，
∴242﹣（）2＝72﹣（）2，
解得t，
当点P在BC上，且BA＝BP时，t＝（25+7+7）÷3＝13，
综上，t的值为13或6或．
11．（2024秋榆阳区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥ED，连接AC，AD．已知BC＝9，AB＝12，AE＝15，ED＝CD＝8．求证：△ACD是直角三角形．
【解答】证明：由条件可知∠B＝∠E＝90°，AC2＝BC2+AB2＝122+92＝225＝152，AD2＝AE2+ED2＝152+82＝289，
∵AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
12．（2025春武昌区校级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AC＝13，AD＝12，CD＝5．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若AB＝15，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC＝13，AD＝12，CD＝5，52+122＝132，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC；
（2）解：由（1）知，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝15，AD＝12，
∴BD9．
13．（2025春大连期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠ACD＝90°．求四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵CD＝12，AD＝13，∠ACD＝90°．
∴AC5，
在△ABC中，AB2+CB2＝9+16＝25＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
ABBCACCD
3×45×12
＝6+30
＝36．
14．（2025春韶关期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）
（1）OA＝　　 ，OB＝　 AB＝　 　 ；
（2）试问：∠ABO是直角吗？请说明理由；
（3）将点A在网格上做上下移动，当点A在什么位置时，△AOB直角三角形？
【解答】解：（1）OA，OB，AB；
（2）∵（）2+（）2≠（）2，
∴∠ABO不是直角；
（3）将点A在网格上做上下移动，当点A在（3，﹣1）位置时，△AOB直角三角形．
故答案为：，，．
15．（2025春江汉区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，∠D＝90°．
（1）直接写出AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵AD＝CD＝5，∠D＝90°，
∴AC10；
（2）∵AB＝2，BC＝2，AC＝10，
∴AB2+BC2＝（2）2+（2）2＝100，AC2＝102＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
ABBCADCD
2255
＝1025，
∴四边形ABCD的面积为1025．
16．（2025春海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D，E，且AD2﹣DC2＝BC2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝8，BC＝4，求AD的长．
【解答】（1）证明：如图所示，连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵AD2﹣DC2＝BC2，
∴BD2﹣DC2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：设AD＝BD＝x，则CD＝AC﹣AD＝8﹣x，
由（1）得BD2﹣DC2＝BC2，
∴x2﹣（8﹣x）2＝42，
解得x＝5，
∴AD＝5．
17．（2025春路北区期中）已知△ABC的三边a＝n2﹣1（n＞1），b＝2n，c＝n2+1．
（1）求证：c是△ABC的最长边；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）直接写出一组满足△ABC的三边长，其中含正整数12．
【解答】（1）证明：∵c﹣a＝n2+1﹣（n2﹣1）＝2＞0，
∴c＞a，
∵c﹣b＝n2+1﹣2n＝（n﹣1）2，且n＞1，
∴（n﹣1）2＞0，
∴c＞b，
∴c是△ABC的最长边；
（2）证明：∵a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：当b＝12时，n＝6，
∴a＝35，c＝37；
故△ABC的三边长为12，35，37．
18．（2025春莲湖区校级期中）如图，在△ABC中，E为边AB上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D．已知AD＝7，CD＝24，AB＝20，BC＝15，求证：AB⊥BC．
【解答】证明：∵AD⊥CE，
∴∠D＝90°，
∵AD＝7，DC＝24，
∴AC25，
∵AB＝20，BC＝15，202+152＝252＝625，AC2＝252＝625，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角，
∴AB⊥BC．
类型三 勾股定理的实际应用
19．（2025春越秀区校级期中）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径130km（即以台风中心为圆心，130km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距150km，A，B之间相距200km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
【解答】（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下：
AB⊥AC，若A，C之间相距150km，A，B之间相距200km．如图，过A作AH⊥BC于H，
∴∠BAC＝90°，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：BC250（km），
∵△ABC的面积BCAHABAC，
∴250AH＝200×150，
∴AH＝120km，
∵AH＜130km，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，
∴AM＝AN＝130km，
∵AM＝AN，AH⊥BC，
∴MH＝NH，
由勾股定理得：MH＝NH50（km），
∴MN＝2×50＝100（km），
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场持续时间是：100÷20＝5（小时）．
20．（2025春大连期中）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点C处，点C到旗杆底部点B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离ED为2米，求小强后退的距离CD（结果精确到0.1米）．
（参考数据：1.41，1.73，2.24）
【解答】解：（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC为 （x+3）米，
在 Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12，
答：旗杆AB的高度为12米；
（2）如图，过E作EG⊥AB于点G，则四边形BDEG是矩形，
∴BG＝DE＝2 米，EG＝BD，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣2＝10（米），
由（1）可知，AE＝AC＝12+3＝15（米），
在 Rt△AGE 中，由勾股定理得：EG（米），
∴米，
∴米≈2.2米，
答：小明需要后退约2.2米．
21．（2024秋榆阳区期末）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面MN上有一处破损点A，维修师傅找来梯子DE来帮助完成维修工作．已知梯子DE长为5m，将其斜靠在墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，此时在梯子顶端测得顶部D与破损点A相距1.2米．
（1）教学楼墙面破损处A距离地面NE的高度？
（2）为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为0.4米处，则梯子底部需要向左移动多少米？
【解答】解：（1）由题意得：AD＝1.2米，∠DNE＝90°，DE＝5米，NE＝3米，
∴DN4（米），
∴AN＝AD+DN＝1.2+4＝5.2（米），
答：教学楼墙面破损处A距离地面NE的高度为5.2米；
（2）梯子顶端上升至距破损点距离为0.4米处时，梯子顶端距离地面NE的距离为：1.2﹣0.4+4＝4.8（米），
则梯子底部与墙角的距离为：1.4（m），
∴梯子底部需要向左移动的距离为：3﹣1.4＝1.6（m），
答：梯子底部需要向左移动1.6m米．
22.（2024秋兴庆区校级期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
【解答】解：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣1×7＝10（米），
∴（米），
∴BD＝AB﹣AD＝9（米），
答：船向岸边移动了9米．
23．（2024秋魏县期末）如图，罗甸大小井景区的河流一侧有两个景点A和C，河边DF上有一个观景台B（点D，B，F在同一直线上，其中BD＝70米，BF＝240米），点B到景点A和C的距离相等，且AB⊥BC，测得∠ADB＝∠CFB＝90°，某游客要从观景台B到景点A和C游玩，但步行只能沿着线段BD到线段DA再到线段AC行走，请求出该游客行走该路线的总长度．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBF＝90°．
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBF．
在△ADB和△BFC中，
，
∴△ADB≌△BFC（AAS），
∴AD＝BF＝240米，
在Rt△ADB中，由勾股定理，得（米），
∴BC＝AB＝250米．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得（米），
∴（米）．
答：该游客行走该路线的总长度为米．
24．（2024秋白银期末）【研学实践】
为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离BD＝16米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度 BF＝20米，最后测量放风筝的小康同学的身高AB＝1.6米．
【数据应用】
已知图中各点均在同一平面内，点C，F，D，E在同一直线上．
（1）求此时风筝的垂直高度EF．
（2）若站在点A不动，想把风筝沿着DC的方向从点F的位置上升18米到点C的位置，则还需要放出风筝线多少米？
【解答】解：（1）由题意得，DE＝AB＝1.6米，BD⊥DF，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得米，
∴EF＝DF+DE＝13.6米；
∴此时风筝的垂直高度EF为13.6米．
答：此时风筝的垂直高度EF为13.6米．
（2）由题意得，DC＝12+18＝30（米），
在Rt△BCD中，由勾股定理得米，
∵34﹣20＝14（米），
∴还需要放出风筝线14米．
答：还需要放出风筝线14米．
25．（2025春德清县期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.6）2+（1.2）2＝4，
BC2＝4，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.2，CH＝1.6，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.2）2+（1.6）2，
解这个方程，得x，
答：原来的路线AC的长为千米．
26．（2025春奎文区期中）如图，某消防队在一次应急演练中，消防员架起了一架最大长度为50m的云梯AB，梯顶端A靠在建筑物DM上，底端B到水平地面ML的距离BH＝2m．安全操作时，底端B离建筑物水平距离BC满足12.5m≤BC≤16.7m．演练中，距地面50m的楼被困人员，在安全前提下，该云梯能否到达此楼层进行施救？
【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，CM＝BH＝2m，AB＝50m，
∵AB的长一定，当BC越小时，AC越大，底端B离建筑物水平距离BC满足12.5m≤BC≤16.7m，
∴当BC＝12.5m时，AC最长，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC48.4（m），
∴AM＝AC+CM＝48.4+2＝50.4（m），
∵50.4＞50，
∴演练中，距地面50m的楼被困人员，在安全前提下，该云梯能到达此楼层进行施救．
27．（2025春郁南县期中）自动感应水龙头使用方便，没有开启关闭的操作，相对于传统水龙头节水率达到60%以上，为了节约用水，某校安装了一批自动感应水龙头．该批自动感应水龙头的示意图如下：在距离洗手台面25cm的点C处连接着出水口D所在水管，水管AB的点E处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C的距离为12cm，出水口D到点E的距离为15cm，且CD⊥AB，求红外线感应装置到洗手台面的高度BE的长为多少？
【解答】解：连接DE，如图所示，
∵CD⊥AB，
∴△DCE是直角三角形
∵CD＝12cm，DE＝15cm，
∴（cm），
∵CB＝25cm，
∴BE＝BC﹣CE＝25﹣9＝16（cm），
答：红外线感应装置到洗手台面的高度BE的长为16cm．
28．（2025春东西湖区期中）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．
（1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上分别找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点C（点C在点O的右侧）表示的数是 　　 ；
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.8m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
①求秋千AD的长度；
②如果将秋千AD往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少米？
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，OB，
∴OC，
∴点C表示的数是，
故答案为：；
（2）由题意知BF＝1.8m，BC＝3m，DE＝0.8m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.8m
∴CD＝CE﹣DE＝1.8﹣0.8＝1（m），
∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得x＝5，
即秋千AD的长度是5m；
（3）在Rt△ABC中，BC＝4m，AB＝5m，
∴由勾股定理得AC＝3m，
∵AD＝5m∴CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2m，
∴CE＝CD+DE＝2+0.8＝2.8m，
∴BF＝2.8m，
即此时踏板离地的垂直高度为2.8m．
29．（2025春石楼县月考）研学实践：某校组织学生到当地乡村振兴示范点进行参观游学，该示范点全力打造休闲农业和乡村旅游业务．如图，在点A处原有游客饮水点一个，近期计划在点B处新建一个游客饮水点．需在原有供水管道AC的基础上新建供水管道BP，点P在AC上，因障碍物阻挡，BP之间的距离不能直接测得，现将测量BP长的任务交于参观游学的学生完成．
数据采集：小林和他的同学利用测距仪和测角仪测得部分数据．在直线AB上选取一点Q，且∠AQP＝90°，AB＝25m，AP＝20m，PQ＝12m．
数据应用：请根据以上数据，求BP的长．
【解答】解：∵∠AQP＝90°，AB＝25m，AP＝20m，PQ＝12m，
在直角三角形APQ中，由勾股定理得：，∠BQP＝90°，
∴BQ＝AB﹣AQ＝25﹣16＝9（m），
在直角三角形BPQ中，由勾股定理得：．
30．（2025春思明区校级期中）周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB）．小组成员测量了相关数据，并画如图示意图，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线己全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短30米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？
问题解决 ……
请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝100米，BC＝80米，
∴AC60（米），
∴AD＝AC+DC＝60+1.5＝61.5（米），
答：风筝离地面的垂直高度是61.5米；
（2）如图，风筝上升到了M的位置，
由题意知：BN＝BC﹣CN＝80﹣30＝50（米），
∵∠MNB＝90°，MB＝100米，
∴MN50（米），
∴MN﹣AC＝（5060）米，
答：此时风筝上升了（5060）米．专题2 期末复习题题组——勾股定理（30道）
类型一 与勾股定理有关的证明及计算 1
类型二 与勾股定理的逆定理有关的证明及计算 4
类型三 勾股定理的实际应用 7
类型一 与勾股定理有关的证明及计算
1．（2025春湛江校级期中）已知，如图，AD是△ABC在BC边上的高，AD＝12，BC＝21，BD＝5，求AC的长．
2．（2024秋项城市期末）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c．
（1）①若∠C为直角，则由勾股定理得a2+b2＝c2．若∠C为锐角，求证：a2+b2＞c2．
②若∠C为钝角，试判断a2+b2与c2的关系，并证明．
（2）若a＝3，b＝4，且△ABC是钝角三角形，求第三边的长c的取值范围．
3．（2025春西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD．
（1）若AC＝13，AB＝12，AD＝15．求CD的长；
（2）若AC平分∠BAD，BC＝9，CD＝15，直接写出AB的长．
4．（2025春石楼县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AC于点D，求AD的长．
5．（2025春路北区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.4，BC＝1.8．
（1）求AB的长；
（2）求AB边上高线h的长．
6．（2024秋鄞州区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点．
（1）求证：∠DCE＝∠ADF；
（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长．
7．（2025春南昌期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，作AD⊥AB交BC于点D．
（1）若∠ADB＝70°，则∠BAC＝　 　 °；
（2）求证：∠BAC＝2∠ADB；
（3）已知∠ADB＝67.5°，，求BC2的值．
8．（2025春顺德区期中）如图，AC⊥BC，DB⊥BC，垂足分别为C，B，点E在BC上，连接DE，交AB于点F，AC＝EB，AB＝DE．
（1）判断：AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）连接AD，AE，若AC＝a，BC＝b，AB＝c，通过用不同方法计算四边形ACBD的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
9．（2025春庐江县期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整．
证明：添加辅助线，如图， ∵整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得 　 　 ； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得 　 　 ； ∴根据面积相等，得到等式 　 　 ， 化简这个等式，得 　 　 ， 从而证明了勾股定理．
类型二 与勾股定理的逆定理有关的证明及计算
10．（2025春沈北新区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25，BA＝7，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC＝　 　 ．
（2）斜边AC上的高线长为 　 　 ．
（3）①当P在边AB上时，AP的长为 　 　 ，（用含t的代数式表示）t的取值范围是 　 　 ．
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 　 　 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
11．（2024秋榆阳区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥ED，连接AC，AD．已知BC＝9，AB＝12，AE＝15，ED＝CD＝8．求证：△ACD是直角三角形．
12．（2025春武昌区校级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AC＝13，AD＝12，CD＝5．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若AB＝15，求BD的长．
13．（2025春大连期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠ACD＝90°．求四边形ABCD的面积．
14．（2025春韶关期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）
（1）OA＝　 　 ，OB＝　 　 AB＝　 　 ；
（2）试问：∠ABO是直角吗？请说明理由；
（3）将点A在网格上做上下移动，当点A在什么位置时，△AOB直角三角形？
15．（2025春江汉区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，∠D＝90°．
（1）直接写出AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
16．（2025春海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D，E，且AD2﹣DC2＝BC2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝8，BC＝4，求AD的长．
17．（2025春路北区期中）已知△ABC的三边a＝n2﹣1（n＞1），b＝2n，c＝n2+1．
（1）求证：c是△ABC的最长边；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）直接写出一组满足△ABC的三边长，其中含正整数12．
18．（2025春莲湖区校级期中）如图，在△ABC中，E为边AB上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D．已知AD＝7，CD＝24，AB＝20，BC＝15，求证：AB⊥BC．
类型三 勾股定理的实际应用
19．（2025春越秀区校级期中）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径130km（即以台风中心为圆心，130km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距150km，A，B之间相距200km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
20．（2025春大连期中）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点C处，点C到旗杆底部点B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，点E到地面的距离ED为2米，求小强后退的距离CD（结果精确到0.1米）．
（参考数据：1.41，1.73，2.24）
21．（2024秋榆阳区期末）我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面MN上有一处破损点A，维修师傅找来梯子DE来帮助完成维修工作．已知梯子DE长为5m，将其斜靠在墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，此时在梯子顶端测得顶部D与破损点A相距1.2米．
（1）教学楼墙面破损处A距离地面NE的高度？
（2）为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为0.4米处，则梯子底部需要向左移动多少米？
22．（2024秋兴庆区校级期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
23．（2024秋魏县期末）如图，罗甸大小井景区的河流一侧有两个景点A和C，河边DF上有一个观景台B（点D，B，F在同一直线上，其中BD＝70米，BF＝240米），点B到景点A和C的距离相等，且AB⊥BC，测得∠ADB＝∠CFB＝90°，某游客要从观景台B到景点A和C游玩，但步行只能沿着线段BD到线段DA再到线段AC行走，请求出该游客行走该路线的总长度．
24．（2024秋白银期末）【研学实践】
为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离BD＝16米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度 BF＝20米，最后测量放风筝的小康同学的身高AB＝1.6米．
【数据应用】
已知图中各点均在同一平面内，点C，F，D，E在同一直线上．
（1）求此时风筝的垂直高度EF．
（2）若站在点A不动，想把风筝沿着DC的方向从点F的位置上升18米到点C的位置，则还需要放出风筝线多少米？
25．（2025春德清县期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
26．（2025春奎文区期中）如图，某消防队在一次应急演练中，消防员架起了一架最大长度为50m的云梯AB，梯顶端A靠在建筑物DM上，底端B到水平地面ML的距离BH＝2m．安全操作时，底端B离建筑物水平距离BC满足12.5m≤BC≤16.7m．演练中，距地面50m的楼被困人员，在安全前提下，该云梯能否到达此楼层进行施救？
27．（2025春郁南县期中）自动感应水龙头使用方便，没有开启关闭的操作，相对于传统水龙头节水率达到60%以上，为了节约用水，某校安装了一批自动感应水龙头．该批自动感应水龙头的示意图如下：在距离洗手台面25cm的点C处连接着出水口D所在水管，水管AB的点E处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C的距离为12cm，出水口D到点E的距离为15cm，且CD⊥AB，求红外线感应装置到洗手台面的高度BE的长为多少？
28．（2025春东西湖区期中）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．
（1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上分别找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点C（点C在点O的右侧）表示的数是 　 　 ；
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.8m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
①求秋千AD的长度；
②如果将秋千AD往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少米？
29．（2025春石楼县月考）研学实践：某校组织学生到当地乡村振兴示范点进行参观游学，该示范点全力打造休闲农业和乡村旅游业务．如图，在点A处原有游客饮水点一个，近期计划在点B处新建一个游客饮水点．需在原有供水管道AC的基础上新建供水管道BP，点P在AC上，因障碍物阻挡，BP之间的距离不能直接测得，现将测量BP长的任务交于参观游学的学生完成．
数据采集：小林和他的同学利用测距仪和测角仪测得部分数据．在直线AB上选取一点Q，且∠AQP＝90°，AB＝25m，AP＝20m，PQ＝12m．
数据应用：请根据以上数据，求BP的长．
30．（2025春思明区校级期中）周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB）．小组成员测量了相关数据，并画如图示意图，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线己全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短30米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？
问题解决 ……
请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程．

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