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2025年中考数学三轮高频考点
二次函数中的面积与角度的存在性问题冲刺练习
考点一：二次函数与面积问题
1．如图1，抛物线交轴于点、两点，顶点，点为第一象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点的坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于、，直线交抛物线于、，点为的中点，点为的中点，当时，求直线一定经过的定点的坐标．
2．如图，抛物线的图象经过，和x轴交于，和y轴交于C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求经过A、C两点的直线表达式；
(3)求以A、B、C为顶点的三角形面积．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标；
(3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值．
4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点D为抛物线第二象限上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)图1，连接，若，求D点坐标；
(3)如图2，连接为上一点，射线交抛物线于E，若，点F的横坐标是否为定值？若是，请求出F的横坐标；若不是，请说明理由．
5．综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________；
(3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值；
(4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D在直线下方的抛物线上；
①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标；
②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标．
8．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点．
①若点是的中点，求的面积；
②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
考点一：二次函数与角度问题
9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接，若，求的坐标；
(3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接，，．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)求证：；
(3)如图2，点在x轴上，点P是线段上的动点（不与点B，C重合），连接，作，交y轴于点Q，设点Q的纵坐标为n，求n的取值范围．
11．若一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式；
(3)如图②，若点是第四象限内抛物线上的一点，连接交于点，连接，，求的最大值．
12．如图，已知矩形的三个顶点的坐标为点，．经过B，D两点的抛物线与线段交于点E（不与A，D两点重合），连接．
(1)填空： ；直接写出点D的坐标（用含m，n的代数式表示）；
(2)当时，，求a的值和抛物线顶点P的坐标；
(3)当时，n的最大值是9，求此时的值．
13．如图，抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
14．已知抛物线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
(1)直接写出点A的坐标为_____________；
(2)当时，如图1，直线是抛物线的对称轴，点P为对称轴右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接．
①过点P作，交直线于点Q，若，求m的值；
②连接，若，求m的值；
(3)规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点，如等．如图2，抛物线与直线相交于两点，若直线与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为12个，请直接写出a的取值范围．
15．如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标；
(3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点．
①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当时，请直接写出a的取值范围．
《2025年中考数学三轮高频考点二次函数中的面积与角度的存在性问题冲刺练习》参考答案
1．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，连接，直线的解析式为，根据，可得，则直线解析式为，联立，解得或，则点P的坐标为；
（3）联立得，则，进而得到，根据中点坐标公式得到，同理可得；则可求出直线解析式为，根据，得到直线解析式为，当时，，则直线一定经过点．
【详解】（1）解：把，代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，或，
∴，
如图所示，连接，设直线的解析式为，
∴，
∴
∴直线的解析式为，
∵，
∴和是同底等高的三角形，
∴，
∴可设直线解析式为，
把代入中得：，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为；
（3）解：联立得，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，即；
联立得，
∴，，
∴，
∵点为的中点，
∴，即；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵，
∴，
∴直线解析式为，
当时，，
∴直线一定经过点．
2．(1)
(2)
(3)15
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出点C坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（3）求出直线与x轴的交点D的坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可．
【详解】（1）解：将代入中得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
，
设经过两点的直线表达式为，
将代入得，
解得
经过两点的直线表达式为；
（3）解：设直线和轴交点为，
在中，当时，，
，
∵，
∴，
∵到轴距离为3，到轴距离为5，
∴，
以为顶点的三角形面积为15．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，两直线的交点，最短路径，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）可得的面积为定值，当的面积取最大值时，的值最大，当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，求得点，即可求点；
（3）过点作，截取，连接，得到的最小值为，利用两点距离公式即可解答．
【详解】（1）解：把，代入，
可得，
解得，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：令，可得，
解得，
，
点到直线的距离为定值，
的面积为定值，
当的面积取最大值时，的值最大，
当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，，解得，
所以直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
所以直线的解析式为，
联立方程，
解得，
把代入，可得，
，
如图，作轴，作交于点，
，，
，
轴，
，
为等腰直角三角形，
，
，即；
（3）解：如图，过点作，截取，连接，
，四边形为平行四边形，
，
，
当三点共线时，取最小值，最小值为，
根据（2）可得点的横坐标，纵坐标比点的的横坐标，纵坐标都大，
，即，
，
，即的最小值为．
4．(1)；
(2)D点坐标为；
(3)点F横坐标是定值，这个定值是．
【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
（2）设点D的坐标为，根据，列方程即可解答；
（3）根据待定系数法可得的解析式为，如图2，设点E的坐标为，设直线交x轴于点K，过点E作轴于G，过点D作轴于H，则，证明是等腰直角三角形，则，根据，可得，由平行线的判定可得，则，，列方程可得，由两直线的交点可得点F的横坐标．
【详解】（1）解：∵，对称轴为直线，
∴点B的坐标为，
把和代入抛物线中得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：设点D的坐标为，
∵点D为抛物线第二象限上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D点坐标为；
（3）解：点F横坐标是定值，这个定值是．理由如下：
当时，，
∴，
设的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴的解析式为：，
如图2，设点E的坐标为，设直线交x轴于点K，过点E作轴于G，过点D作轴于H，则，
由（2）设点D的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理得是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
同理得的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F横坐标是定值，这个定值是．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，三角形相似的性质，平行线的性质，两直线的交点等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
5．(1)；
(2)或；
(3)当时，最大，最大面积为；
(4)．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设，由是以为底边的等腰三角形，得，进而得，，解得，从而代入得，，即可得解；
（3）利用待定系数法求得直线为，过作轴交直线于点，设，则，，进而利用铅锤法构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（4）连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，证明（）得，从而得当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设，
∵当是以为底边的等腰三角形，
∴，
∵，，
∴
解得，
∵在上，
∴
解得，
当时，，
当时，，
∴或；
（3）解：设直线为，
∵，，
∴
解得，
∴直线为，
如图，过作轴交直线于点，
设，则，
，
∵，，
∴，
∴当时，最大，最大面积为；
（4）解：连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，
∵，，
∴轴，
∴，
∵轴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴（）
∴，
∴当点、、三点共线时，的值最小，
最小值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短是解题的关键．
6．(1)
(2)的面积不存在最大值，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了求二次函数解析式，面积问题，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）设抛物线解析式为代入，即可求解；
（2）过点作，根据题意得出点在直接的抛物线图象上运动，分别求得抛物线顶点和点到的距离，进而判断最大值时的位置，而与轴相交，与轴平行，则点无法与点重合，故的面积不存在最大值；
（3）由（2）可得到的距离为，则，进而求得的坐标，分情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴
∵与轴交于点，
∴
解得：
∴
∴
（2）解：∵轴，
当时，
解得：或
∴
如图，过点作
依题意，点在直接的抛物线图象上运动，
∵是的中点，，
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
∴顶点坐标为到的距离为，
直线与的距离为，
∵
当重合时，的面积最大，
而与轴相交，与轴平行，则点无法与点重合，故的面积不存在最大值
（3）解：由（2）可得到的距离为
∵的面积为，
∴
∴，
如图，当在点的左侧时，
∵，
∴
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵折叠
∴
∴
∴，
设，
由，可得直线的解析式为
设，依题意，点在的左侧，则
∵折叠
∴
∴
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式，
当时，，即的横坐标为；
设直线的解析式为，
代入，
∴
解得：
∴
当时，
解得：，即，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴
当在点的右侧时，如图
∴∵
∴
解得：（舍去）或
∴
综上所述，或
7．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可；
（2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可；
②设点，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两直线，得到点的横坐标为，再根据，得到关于的一元二次方程，从而求出，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、，证明，设，利用全等三角形的性质，求出，进而得出直线的解析式，联立直线与抛物线，即可求出点D的横坐标．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，
，，
，
在中，，
，
，
，
将代入抛物线得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：①如图，设点，
点D在直线下方的抛物线上，，
，
，
，
，
，
当时，的值最大为，
此时点D的坐标为；
②设点，
设直线的解析式为，
，解得：，
则直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，即点的横坐标为，
，
，
整理得：，
解得：或（舍），
，
如图，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、，
由旋转的性质可知，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，，，
，，
解得：，，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
联立，
整理得：，
解得：（舍），，
点D的横坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，解直角三角形的应用，一次函数的与二次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
8．(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)①；②的值为或．
【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可；
（2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可；
②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵点是的中点，
∴点，
当时，，
则点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴；
②∵点是抛物线上一个动点，
∴，则，
当点在原点上方时，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
∴；
当点在原点下方时，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
9．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据图象顶点为点，设抛物线解析式为，再代入求出即可解答；
（2）将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，则，求出，，证明，求出，求出的直线解析式，联立即可求解．
（3）分为①当时，②当时，分别画图求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点为点，
故设抛物线解析式为，
∵抛物线图象经过，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
即；
（2）解：将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，
，
令，解得：，
，
当时，，
，
∵，
∴在和中
，
∴，
∴，
，
设的直线解析式为，
∴，
解得：，
∴的直线解析式为，
∴，
整理的，
解得：，
当时，，
∴；
（3）解：①当时，
设的直线方程为，
设的直线方程为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴，
，
∴直线与轴夹角的正切值直线与轴夹角的正切值的倒数，
∴，即，
，
∴，
即，
∵，
设的直线解析式为，
，
整理得：，
，
∴，
解得：，
∴的直线解析式为，
∴，
整理得，
解得：，
∵当在的左侧时，
，
，
，
∵当在的右侧时，
，
；
②由（1）知，顶点，
，
，
，
，
∴此时为直角三角形，即，
若，此时与重合，与题意不合，应舍去．
综上，或时，以为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是运用分类讨论思想解决问题．
10．(1)，；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）将，两点代入抛物线，则可得抛物线的解析式；将求出解析式化成顶点式，即可写出抛物线的顶点D的坐标；
（2）连接CD，令，得，由点A、B、C的坐标可得，，进而得．由点B、C、D的坐标可求得，．根据勾股定理逆定理可得．根据三角函数的定义得 ，由，即可求证；
（3）先证明，得．设，，则；进而得．可得有最大值．由，得的最小值为．又点Q在线段上，可得点Q纵坐标n的取值范围．
【详解】（1）解：把，代入，
得．
解得．
抛物线的解析式为．
，
顶点D的坐标为；
（2）解：如图，连接，
在中，令，得，
点C的坐标为，则．
，，
，．
．
，，，
由勾股定理可求得，．
，，
，
．
，
又，
；
（3）解：，，
，
，，
，
．
．
设，，则；
；
．
当时，y的最大值为，即有最大值．
，
的最小值为．
又点Q在线段上，
点Q纵坐标n的取值范围是．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特点、相似三角形的判定与性质、三角函数及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
11．(1)；
(2)；
(3)m的最大值为．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明，则，即可求解；
（3）证明，解得：，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，
当时，，当时，，解得，
∴点，，
则，
解得：，，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：如图，设直线交y轴于点M，
∵
∴抛物线的对称轴为，
∵轴交抛物线于点D，
∴点D的横坐标是2，
当时，，
∴，
由点B、C的坐标知，直线与的夹角为，
即，
∵恰好平分，
故，
而，，
故，
∴，
故，
故点，
设直线的表达式为：，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：；
（3）解：过点P作轴交于点N，
则，
则，
而．
则，
解得：，
设点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
故点，
则，
即，
故m的最大值为．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形和相似三角的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键．
12．(1)8；
(2)，
(3)
【分析】（1）根据题意利用可得，再由点坐标及矩形性质可得；
（2）根据题意可得，继而得到，再证明，后利用相似性质可得，解得，继而得到本题答案；
（3）根据可得，后得到，继而得到，后得到，继而得到当时，，求出本题答案．
【详解】（1），理由如下：
已知矩形的三个顶点的坐标为点，
∴轴，，
∴，
∴点D与点A纵坐标一致，
∴，
故答案为：8；
（2）∵
∴，对称轴为直线，
∵，由图象可知，关于直线对称，
∴，，
∵点E在线段上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，代入并整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴，
∵把代入得：
，
解得：，
∴；
（3）把，代入，得：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，n的最大值是9，
∴当时，，
∴，
∵
∴，
此时．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
13．(1)
(2)点坐标为
(3)存在，点坐标为或
【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键．
（1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式．
（2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标．
（3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标．
【详解】（1）解：把点代入中，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：作于，于，
当时，，
∴点坐标为，
设解析式为：，
，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为．
（3）解：作过三点的圆，连接，作于，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（不合题意舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为或．
14．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键．
（1）求出当时的自变量值即可得到答案；
（2）①过P作直线轴，交x轴于N，过Q作于M，证明，则，则，求出即可；
②证明，则，得到方程，解方程即可得到答案；
（3）求出上的格点应为：，得到，求出线段上的格点应为：，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
∵抛物线与x轴相交于点A，
∴点A的坐标为；
故答案为：；
（2）解：①当时，抛物线，
过P作直线轴，交x轴于N，过Q作于M，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
（P与A重合，舍去），，
∴；
②令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
解得：，
∵点P为对称轴右侧抛物线上一点，
∴，
；
（3）解：a的取值范围为；
由，
得，
∴，
设由抛物线与直线围成的区域（不含边界）的格点为（均为整数），
∴或，
设直线交直线交与点G，直线交直线于点F，交于点E，则，，
∴，
∴，
∴与上各有6个格点，且必在线段与上，
∴上的格点应为：，
，
，
，
当时，则，
∴线段上的格点应为：，
，
；
；
综上所述，满足条件的a的取值范围为．
15．(1)抛物线的解析式是；直线的解析式是：
(2)或
(3)①或②或
【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出．
①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值；
②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵抛物线，当时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，
解得：或2，
即点坐标是点坐标是．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：过点作为垂足，
，
，
，
由勾股定理，得，
当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足，
，
，
，
∴，
，
，
∴点；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足，
，
，
，
，
，
解得：，
；
综上，或；
（3）解：①存在的值，使得，
设直线与抛物线的交点为在左侧 ）．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：，
∴存在值，使得，其值为或；
②∵，
∴，即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：或，
∴当时，的取值范围是或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，函数图象交点，一元二次方程根与系数关系等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

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