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2025年中考数学三轮冲刺考前专项训练题： 反比例函数
一、单选题
1．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则函数（x为一切实数）的图像经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
2．函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
3．已知反比例函数与直线的图象在第一象限内相交于点，点的坐标为．若，则的值为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．9
4．在平面直角坐标系中，，将点B绕点A顺时针旋转得到点C，则过点C的反比例函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则 ；
7．若点、在反比例函数的图像上，则与的大小关系 ．
8．如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，轴，垂足为C．若四边形是正方形，则它的边长为 ．
9．如图，直线与反比例函数的图象交于点．将直线沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标为 ．
10．如图，四边形是菱形，点B在x轴的正半轴上，轴于点D，反比例函数的图象经过点C，若菱形的面积为20，，则k的值为 ．
11．如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为 ．
三、解答题
12．如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于和两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)连结，设点为轴上一点，使得为等腰三角形，求点的坐标．
13．如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式．
14．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在函数的图象上，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且点坐标为．
(1)求的值；
(2)求直线所对应的函数表达式．
15．一次函数的图象经过，交轴于点，与反比例函数的图象交于点，，为反比例函数图象上一动点．
(1)求的值；
(2)若面积为6，求点坐标．
16．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)尺规作图：作直线，使，与反比例函数图象在第一象限内交于点P；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)求（1）中点P的坐标．
17．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，．
(1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式；
(2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标．
《2025年中考数学三轮冲刺考前专项训练题： 反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D D D C D
1．D
【分析】该题考查了反比例函数和一次函数的性质，根据题意得出，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵在反比例函数，当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴函数（x为一切实数）的图像经过第一、二、三象限，
故选：D．
2．D
【分析】根据函数与的图象相交于点，得到，求得，得到，从而得到，根据图象的对称性，得另一交点为，利用数形结合思想，确定解集即可．
本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键．
【详解】解：由函数与的图象相交于点，得到，解得，
故，故反比例函数的解析式为，
根据图象的对称性，得另一交点为，画图如下：
故不等式的解集为或．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，等腰三角形的性质等知识；由点A在直线上，则设点的坐标为，由得为等腰三角形，由等腰三角形的性质知，的中点的横坐标等于点A的横坐标，由此求得a的值，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中即可求得k的值．
【详解】解：由题意，设点的坐标为，
，
为等腰三角形；
，
，
，
把点A的坐标代入中，得．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，作出辅助线、利用旋转的性质和全等三角形的性质求出旋转后的点的坐标是解题的关键．过B作于D，过C作于E，证明，得出，，则可求出，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：过B作于D，过C作于E，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∵点B绕点A顺时针旋转得到点C，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设过点C的反比例函数关系式为，
则，
∴，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果．
【详解】解：反比例函数的图象经过点
，
，
反比例函数，
经过原点O，
设的解析式为，
经过点，
则，
，
的解析式为，
反比例函数经过点C，
设，且，
四边形是平行四边形，
，，
点B的纵坐标为，
的解析式为，
∴，
∴
，
，
，
，
解得：或（舍去），
点B的坐标是，
故选：D．
6．
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，求一次函数的函数值，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
将代入反比例函数与一次函数中，得，求出的值即可．
【详解】解：反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点，
将代入反比例函数与一次函数中，得：
，
解得：，
故答案为：．
7．
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，随着的增大而增大，
∵点、在反比例函数的图像上，，
∴；
故答案为：．
8．2
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴，轴垂线，所得正方形面积为，是经常考查的一个知识点．
根据反比例函数系数的几何意义求解即可．
【详解】解：∵，
则正方形的边长为2，
故答案为：2．
9．
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、解直角三角形、一次函数图形的平移等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答．
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
∵，
∴，，则，
∴．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴C点的坐标为，
∴,，
∴，
∴,
∴，
故答案为：．
10．12
【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
根据菱形的面积为，可求出，再结合菱形的性质得出点，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是菱形，点在轴正半轴上，轴于点，菱形的面积为，
，
，
，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：12 ．
11．
【分析】本题主要考查坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键．
设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵在中，轴，，
∴，，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
12．(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数的解析式，函数与不等式，等腰三角形性质，分类讨论，是解题的关键．
（1）先把A点坐标代入中求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）结合一次函数图象与反比例函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可；
（3）分，列方程求得C的横坐标，即得．
【详解】（1）解：点在的图象上，
，
，
．
将代入，
得，
，
．
将代入中，
得，
解得，
．
（2）解：∵函数和的图象交于和两点，如图，
∴不等式的解集为或．
（3）解：，
．
∵为等腰三角形，
当时，
得到；
当时，，
∵C点在轴负半轴，
；
当时，
设．
∵中点为，
∴，
解得
．
综上所述，C点坐标为或或或．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，判定点的坐标，求函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
（1）点作于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，利用待定系数法即可求解；
（2）利用反比例函数的解析式求得点坐标为，根据,，利用待定系数法可求一次函数解析式．
【详解】（1）解：
如图所示，过点作于点，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
∴反比例函数；
（2）解：假设点坐标为，代入得，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将,代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为．
14．(1)6
(2)
【分析】本题考查了平移的性质、求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平移的性质可得，由反比例函数的性质可得，求出的值即可得解
（2）设直线所对应的函数表达式为．利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：，，线段平移后得到线段，，
．
点和点在函数的图象上，
，
，
．
（2）解：设直线所对应的函数表达式为．
将，代入得：，
解得：，
直线所对应的函数表达式为．
15．(1)4
(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用：
（1）求出点坐标，根据以及中点坐标公式求出点坐标，进而求出值即可；
（2）在轴上取一点，使得的面积为6，求出点坐标，过点作的平行线，与反比例函数的交点即为点进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
在轴上取一点，使得的面积为6，
∵，，
∴，
∴或，
∴或，
过点作，设的解析式为，
∵面积为6，
∴点为直线与反比例函数图象的交点，
当时，代入，得：，
∴，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
当时，代入，得：，
∴，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
综上：或．
16．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）如图，作，角的一边交反比例函数图象于即可；
（2）将点代入得．再将点代入， 可得，求解的值为12．结合，可得直线的函数关系式为，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
．
（2）解：将点代入得，，
解得：．
∴一次函数关系式为．
将点代入，得．
解得：．
∴．
将代入，得，
∴的值为12．
∵一次函数关系式为，，
∴直线的函数关系式为．
可联立方程组，得．
解得：，（舍去），
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查的是作一个角等于已知角，一次函数图象的性质，待定系数法求解函数解析式，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，掌握以上基础知识是解本题的关键．
17．(1)，
(2)或
【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，，
∴，，，
∴，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点直线上，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：情况一：延长至，使，连接，则，
在 中，当 时，，
，
∴，
过点作直线 交直线于，则，
设直线的解析式为，
则，得 ，
，
设直线的解析式为，代入 解得：，
，
当时，
点；
情况二：在上取点，使，连接，则，，
过点作直线 交直线的延长线于，则，
设直线的解析式为，代入 解得：，
，
当时，
点；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键．

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