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圆压轴题专项突破练习
2025年中考数学三轮冲刺专题
1．如图，在圆内接四边形中，，是对角线，，在的延长线上取一点E，使得，在的延长线上取一点F，连结，使得．
(1)若是圆的直径，，求．
(2)求证：①．
②．
2．如图，都是的半径，．
(1)求证：；
(2)若，，求．
3．如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
4．如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，，，求半圆的半径．
5．如图，中，，，以为直径的与交于点，过作，垂足为，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
6．如图，已知是的直径，都是的弦，于点G，交于点F，且，连结，分别交于点H，K．
(1)求证：．
(2)若，，求的直径．
(3)若点F在半径上，，请直接写出的值．
7．如图，在中，，点P为线段上的一个动点（不与A，C重合），作点关于的对称点，连结，．是的外接圆并分别交，于点，，连结，．

(1)判断是否为等腰三角形，并说明理由．
(2)证明：．
(3)连结，若点为线段的三等份点且，，求的值．
8．已知：矩形的边长为2，点P在射线上，过点O、P的与相切于点P．
(1)如图1，若点B在对角线上，且，则的长度是______；
(2)如图2，以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系，，设，
①求点B坐标（用含n的代数式表示）．
②连接，设且，当M取最大值时，作于E交于F，与交于G，求的值．
9．如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，若经过点O，过点D作的切线交的延长线于点F，若，求阴影部分的面积．
10．如图，是的直径，弦与相交于点．过点作，交的延长线于点，，．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的半径
11．如图1，为的外接圆，为的半径．
(1)当所在的直线垂直于时，___________．（填“>”“=”或“<”）
(2)若，求的长．
(3)嘉嘉发现，当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值，请证明这种说法．
(4)如图2，，交于点，于点．若，直接写出的长．
12．如图，是的直径，弦交于点．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
13．如图所示，在中，，，，线段是边上的中线，点，分别在边上，且，连接，交于点．点三点所在圆记作．
(1)求的长；
(2)若，求证：是的切线；
(3)在（2）的条件下，求的值．
14．如1图，是的直径，是的弦，点是外一点，．
(1)求证：与相切．
(2)如2图，连接、，若，与交于点．
①证明：；
②连接交于点，连接，若，，求的长．
15．如图，内接于，
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求弦所对的弧长；
(3)在（2）的条件下，点C在优弧上运动，是否存在点C，使点O到弦的距离为？若有，请直接写出的长；若没有，请说明理由．
《圆压轴题专项突破练习-2025年中考数学三轮冲刺专题》参考答案
1．(1)60度
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）利用圆周角定理求得，，结合已知，进一步计算即可求解；
（2）①利用圆周角定理求得，结合已知，即可推出，利用平分线的判定定理即可证明；
②在上取一点P，使，求得，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：是圆的直径，
，
，
；
（2）证明：①，
又，
，
∴；
②在上取一点P，使，
则，
，
，，
，
，
又，
，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用圆周角定理即可证明；
（2）作于点，作于点，利用三线合一性质得到，，得到，利用全等三角形的判定证出，得到，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
又，
；
（2）解：如图，作于点，作于点，
，，
，，，
由（1）得，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
3．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
（1）连接、，如图，先根据切线的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，然后利用∠得到，即可得出结论；
（2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接、，如图，
∵是的切线，
∴，
∴，
即，
∵点D是弧的中点，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，∵，，，
∴，
解得，
即的半径为3．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理．
（1）连接，根据，得，证明，得，进而可得结论；
（2）设半径为r，连接，，则，求得，再由勾股定理，利用为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【详解】（1）证明：连接，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是半圆O的切线；
（2）解：连接，，如图2，
设圆的半径为r，则，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故圆的半径为．
5．(1)为的切线，见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，扇形的面积，正确理解题意是解题的关键：
（1）连接，先求出，得出，证明，进而可得出结论；
（2）根据圆周角定理得出，再得出，再根据三角函数求出，根据求出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∴到是边的中线，
∴，
在中，，即，
解得，
所以，
∴，，
∴，
6．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由垂径定理得，等量代换得，进而可证结论成立；
（2）先证明，进而可证，求出，再证明，利用相似三角形的对应边成比例可得结论；
（3）证明得，证明是的中位线得，设，则，由勾股定理得，，证明，可求出，再证明求出，然后证明，利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】（1）连接，
∵是的直径，
∴
∵
∴
∴
∴
（2）∵是的直径，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（3）连接，
∵是的直径，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴是的中位线
∴
设，则，
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等角对等边，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，属中考压轴题．
7．(1)为等腰三角形，见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据轴对称的性质及圆内接四边形的性质求解即可；
（2）先证明，得到，再证明，，即可证明结论；
（3）过点A作于点H，交于点M，连结，证明经过圆心O，，然后分和两种情况，设，分别求出，，的长，根据勾股定理列方程求解，求出的长，最后利用三角函数求解即可．
【详解】（1）解：为等腰三角形；
理由：由翻折得，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）证明：，
，
，，
，，
，，
，
，，
又，
，
，
又，
，
；
（3）解：过点A作于点H，交于点M，连结，
，
，
经过圆心O，
，
，
，
，
当时，，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，，，
，
，
，
，
设，
在和中，，，
，
，
解得，
，
；
当时，，
，
，
，
，
，
，
同理，
求得，
，
设，则，
，
解得，
，
；
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合问题,轴对称的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，作等腰三角形的高是解答本题的关键．
8．(1)
(2)①；②
【分析】（1）连接，求解，，，结合，，进一步可得答案.
（2）①如图，过作于，则，分两种情况：当时，当时，如图，此时，再进一步求解即可；
②如图，由，可得当时，最大，此时，，，， 求解为，同理可得：为：，可得，求解，过作于，而，，可得，设，则，可得，可得，进一步可得答案.
【详解】（1）解：连接，
∵过点O、P的与相切于点P，．
∴，，
∵，，
∴，
∵矩形的边长为2，
∴，，
∴.
（2）解：①如图，过作于，则，
∵，，
∴，
当时，
∵矩形，，，，
∴，，，
结合切线性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，此时，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：；
②如图，
∵且，，
∴，
当时，最大，
此时，，，，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为：，
联立，
解得：，
∴，
∴，
过作于，而，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一次函数，二次函数的应用，切线的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意，得，则，因为，所以，即可证明，则；
（2）证明，得，得，证明是等边三角形，得，，再证明，得，，由勾股定理得，求出，，从而求出．
【详解】（1）证明：∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平分交于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、角平分线定义、切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、求扇形面积等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．(1)为的切线，理由见解析；
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解题关键．
（1）连接，根据三角形内角和定理角定理和等腰三角形的性质求得，由圆周角定理求出，由平行线的性质求得，根据切线的判定定理即可证得结论；
（2）先证明，求出，则．
【详解】（1）解：为的切线，理由如下：连接，
，,
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2） 解：，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
即的半径为．
11．(1)
(2)
(3)证明见解析
(4)
【分析】（1）根据题意，作出图形，结合垂径定理、中垂线的判定与性质及等腰三角形性质即可得到答案；
（2）连接，如图所示，根据题意，由圆周角定理求出，再由弧长公式代值求解即可得到答案；
（3）连接，如图所示，由圆周角定理、等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得证；
（4）由两个三角形相似的判定定理得到，得到相似比；再由得到，联立代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：延长，交于点，如图所示：
当所在的直线垂直于时，即，
由垂径定理可知，
是线段的垂直平分线，则，
由等腰三角形三线合一性质可知，平分，
∴；
故答案为：；
（2）解：连接，如图所示：
，，
由圆周角定理可得，
，
的长为；
（3）解：当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值，
证明如下：
连接，如图所示：
由圆周角定理知，
，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
则，
，即当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值；
（4）解：连接，如图所示：
由圆周角定理可得，
，，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，即，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，解得．
【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、垂径定理、中垂线的判定与性质、等腰三角形的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握圆的基本性质、圆综合题型的解法是解决问题的关键．
12．(1)
(2)4
【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于．
（1）连接，根据圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角等于，求出，结合外角的性质得出的度数；
（2）根据圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角等于，求出，结合含角的直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：连接，
，
是的直径，
，
，
，
；
（2）所对的圆周角相等，
，
是的直径，
，
，
，
，
又，
．
13．(1)10
(2)见解析
(3)
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）先证明点在上，再证明，推出，利用等角的余角相等证明，推出，即可证明结论成立；
（3）过点D作 于点H，勾股定理求出 ，根据 是 边 上的中线，得到 ， 由 ，求出 ， ，根据勾股定理得到 ，设 ，则 ，求出 ，，解直角三角形求出 ，进而求出，证明 ，得到 ，同理证明 ，得到 ，求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴；
（2）证明：连接，
∵三点所在圆记作，且，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴点在上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴是的切线；
（3）解：过点D作 于点H，

∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 是 边 上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，整理得： ，
解得：，即，
∴ ，
∴，
∵，，
∴ ， ，
∴ ，
∴，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据是的直径，得出，再证明，即可证明结论；
（2）①连接，证明，得出，得出，即可证明结论；
②连接，根据，，求出，，，，证明，得出，证明，得出，证明，得出，代入数据求出结果即可．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，即，
与相切；
（2）①证明：如图，连接，
，，，
，
，
又，
，即，
，
；
②连接，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即①，
∵，，
∴，
∴，
即②，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质．
15．(1)直线与相切，见解析
(2)或
(3)存在，或
【分析】本题考查了圆的综合题：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半；三角形中位线定理；垂径定理等知识点是综合运用．
（1）如图1，延长交于点M，连接欲证直线与相切，只需证明即可；
（2）如图2，连接、利用圆周角定理证得为等边三角形；分类讨论：①当求劣弧的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为；②当求优弧的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为；
（3）①如图3，过点O作为的直径时，根据圆周角定理、三角形中位线定理可知；
②如图3，过点O作当时，利用切线的性质、垂径定理可知
【详解】（1）解：直线与相切．理由如下：
如图1，延长交于点M，连接
是直径，
，
，
在中，，且，
，即；
又直线经过半径的外端点A，
直线与相切．
（2）解：连接、，如图，
在中，，
，
，
为等边三角形，
，
∴，或者；
（3）解：2或
作直径，则，
又，
∴
，
则当是直径时满足条件，此时；
过点O作当时，垂径定理可知则是等边三角形．
则

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