14.1 平方根 导学练课件(共36张PPT) 2025-2025学年冀教版八年级数学上册

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14.1 平方根 导学练课件(共36张PPT) 2025-2025学年冀教版八年级数学上册

资源简介

(共36张PPT)
14.1 平方根
第十四章 实 数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平方根的定义和性质
开平方
算术平方根
知1-讲
感悟新知
知识点
平方根的定义和性质
1
1. 平方根
一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根,也叫做 a 的二次方根 .
感悟新知
知1-讲
特别解读
1. 因为x2 ≥ 0,所以a ≥ 0. 所以只有非负数才有平方根.
2. 平方根是它本身的数只有0.
感悟新知
2. 平方根的性质
(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
(2) 0 只有一个平方根,是 0 本身;
(3)负数没有平方根 .
知1-讲
感悟新知
3. 平方根的表示方法
知1-讲
感悟新知
知1-讲
说明
知1-练
[母题 教材 P69 例 1 ]求下列各数的平方根:
(1)121;(2)2;(3)-(-4)3;(4)17.
例1
考向:利用平方根的定义和性质解决问题
题型1 利用平方根的定义求一个数的平方根
解题秘方:先根据平方运算找出平方后等于这个数的数, 然后根据平方根的定义确定这个数的平方根.
(1)121;
(2)2;
知1-练
解:因为(±11)2=121,
所以121的平方根是±11.
2=, 因为(±)2=,
所以2的平方根是±.
带分数要化成假分
数再求平方根.
(3)-(-4)3;
(4)17
知1-练
解:-(-4)3=64,因为(±8)2=64,
所以-(-4)3的平方根是±8.
17的平方根是±.
正数a不能写成有理数的平方的形式, 那么将a 的平方根表示成± .
知1-练
感悟新知
1-1.下列说法中正确的有( )
①(-5) 2 的平方根是5;② -m2 没有平方根;
③非负数 a 的平方根是非负数;④负数没有平方根;⑤ 0 和 1 的平方根等于本身.
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
A
变式训练
知1-练
1-2. 求下列各数的平方根:
(1)1;
(2);
解:1的平方根是±1.
知1-练
(3)1;
(4)(-3)2.
(-3)2=9, ∵ (±3)2=9,
∴(-3)2的平方根是±3.
知1-练
(1)若某个正数的两个平方根分别为 m-3 和 3m-1,求该正数的值;
(2)已知 2m-3 与 4m-5 是某非负数的平方根,求该非负数 .
例2
题型2 利用平方根的性质求字母的值
知1-练
感悟新知
解:因为 m-3 与 3m-1是一个正数的两个平方根,
所以( m-3 ) +( 3m-1 ) =0,解得 m=1.
所以 m-3 = - 2,
所以这个正数为(- 2) 2=4.
解题秘方:若一个正数的平方根是 a, b,则 a+b=0;
(1)若某个正数的两个平方根分别为 m-3 和 3m-1,求该正数的值;
知1-练
感悟新知
解:根据题意, 分以下两种情况:
①当两个平方根相等,
即 2m-3 = 4m-5时,解得 m=1.
此时这个非负数为(2m-3 ) 2=( 2× 1 - 3) 2=1.
解题秘方:若 a, b 是一个非负数的平方根,则 a=b 或 a+b=0.
(2)已知 2m-3 与 4m-5 是某非负数的平方根,求该非负数 .
因为题设条件未指明 2m-3 与4m-5 是相等还是互为相反数,所以注意应分两种情况讨论.
知1-练
感悟新知
②当两个平方根互为相反数,
即( 2m-3 ) +( 4m-5 ) =0 时,解得 m= .
此时这个非负数为( 2m-3 ) 2= ( 2× - 3) 2= .
综上所述,该非负数为 1 或 .
知1-练
感悟新知
2-1. [期末·沧州任丘市] 一个正数 x 的两个平方根分别是 2a - 3 和 5 - a.
(1)求 a 和 x 的值;
解:∵一个正数x的两个平方根分别是2a-3和5-a,
∴2a-3+5-a=0,解得a=-2,
∴x=(2a-3)2=49.
变式训练
知1-练
感悟新知
(2)求 x+12a 的平方根 .
解:将x=49,a=-2代入x+12a,
得x+12a=49-24=25.
∵25的平方根为±5,
∴x+12a的平方根为±5.
感悟新知
知2-讲
知识点
开平方
2
开平方 我们把求一个数的平方根的运算, 叫做开平方 .
说明:(1)一个非负数的平方根是数,是这个非负数开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程. (2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
知2-讲
感悟新知
特别提醒
1. 开平方时,被开方数必须是非负数.
2. 开平方是求一个非负数的平方根,其结果有一正一负两个数(0 除外).
感悟新知
知2-练
[母题 教材 P72 例 2 ]求下列各式的值:
(1) ;(2) ;(3) ± .
例3
考向:开平方
知2-练
感悟新知
解题秘方:根据平方根的性质进行开方,注意前面的符号.
解:因为 是 的正的平方根,且 () 2= ,所以 =.
(1)
(2) - ;
(3) ± .
知2-练
感悟新知
解:因为- 是 121 的负的平方根,且(- 11) 2=121,所以- = - 11.
因为 ± 是 0.01 的平方根,且(± 0.1) 2=0.01,所以 ± = ± 0.1.
知2-练
感悟新知
3-1.求下列各式的值:
(1) ; (2) - ;
(3) ; (4)± .
变式训练
感悟新知
知3-讲
知识点
算术平方根
3
1. 算术平方根
一个正数 a 的正的平方根 叫做 a 的算术平方根 . 如 4 的算术平方根为 2,即 =2.0 的平方根只有一个,就是 0,我们也说 0 的算术平方根为 0,即 =0.
感悟新知
知3-讲
2. 算术平方根与平方根的区别与联系
名称 关系 算术平方根 平方根
区别 定义 一个正数 a 的正的平方根 叫做 a 的算术平方根 一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根,也叫做 a 的二次方根
个数 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数
感悟新知
知3-讲
续表
名称 关系 算术平方根 平方根
区别 表示方法 非负数a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方根表示为±
取值范围 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负
联系 包含关系 平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件 平方根和算术平方根都只有非负数才有,0 的平方根与算术平方根都是 0
知3-讲
感悟新知
特别提醒
1. 求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方刚好是互逆的两个运算.
2. 算术平方根 具有双重非负性:
(1) 被开方数a是非负数,即a ≥ 0;
(2)算术平方根 是非负数,即 ≥ 0.
3. 算术平方根是它本身的数只有0 和1.
4. 当a ≥ 0 时, = a
知3-练
感悟新知
[母题 教材 P73 习题 T1 ]求下列各数的算术平方根:
(1)64; (2)2 ; (3)0.36; (4)52; (5) (- 5) 2; (6)13.
例4
考向:利用算术平方根的定义解题
解题秘方:先根据平方运算找出平方后等于这个数的正数,然后根据算术平方根的定义求出这个数的算术平方根.
(1)64;
(2)2;
知3-练
解:因为82=64,所以64的算术平方根是8,即=8.
因为()2==2,
所以2的算术平方根是,即=.
(3)0.36
(4)52
知3-练
感悟新知
解:因为 0.62=0.36,
所以 0.36 的算术平方根是 0.6,即 =0.6.
5 2 的算术平方根是 5,即 =5.
知3-练
感悟新知
解:因为 5 2= (- 5) 2 ,
所以(- 5) 2的算术平方根是 5,即 =5.
(5) (- 5) 2
(6)13
13 的算术平方根是 .
知3-练
4-1.下列说法正确的是( )
A. 5 是 25 的算术平方根
B. ± 4 是 16 的算术平方根
C. -6 是(-6) 2 的算术平方根
D. 0.01 是 0.1 的算术平方根
A
变式训练
知3-练
4-2. 求下列各数的算术平方根:
(1)225;
(2)72;
(3)(-6)2;
(4).
解:∵152=225,∴225的算术平方根是15.
72的算术平方根是7.
∵(-6)2=36=62,∴ (-6)2的算术平方根是6.
平方根



性质
正数有两个互为
相反数的平方根
算术平方根
0的平方根是0
负数没有平方根

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