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期末热点.重难点 圆台
一．选择题（共9小题）
1．（2024春 贡井区校级期中）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（　　）（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积：②1尺等于10寸）
A．3寸 B．4寸 C．5寸 D．6寸
2．（2024春 浦城县校级期中）用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体不可能是（　　）
A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台
3．（2024 湖南开学）已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
4．（2024春 城关区校级期末）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（　　）
A．圆台的母线长是20
B．圆台的表面积是1100π
C．圆台的高是
D．圆台的体积是
5．（2024春 龙凤区校级期中）下列命题中正确的是（　　）
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线；
③圆台的两个底面平行．
A．①② B．② C．③ D．①③
6．（2023 宣威市校级开学）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（　　）寸．（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023 河北开学）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是6和12，且∠ABC，则关于该圆台下列说法错误的是（　　）
A．高为 B．体积为
C．表面积为56π D．内切球的半径为
8．（2023春 高碑店市校级期末）下列命题中正确的有（　　）
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；
②圆柱不是旋转体；
③半圆围绕直径旋转半周得到一个球；
④圆台的轴截面是等腰梯形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022春 伊州区校级期末）下列叙述中，正确的个数是（　　）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．3 B．2 C．1 D．0
二．多选题（共3小题）
（多选）10．（2024 喀什地区模拟）如图圆台O1O2，在轴截面ABCD中，，下面说法正确的是（　　）
A．线段
B．该圆台的表面积为11π
C．该圆台的体积为
D．沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
（多选）11．（2024春 中牟县期中）已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（　　）
A．圆台的母线长为4 B．圆台的体积为
C．圆台的表面积为26π D．球O的表面积为12π
（多选）12．（2023秋 楚雄州期中）如图，在直角梯形ABCD中，BC＝2AB＝2AD＝2，AB⊥BC，将直角梯形ABCD绕着AB旋转一周得到一个圆台，下列说法正确的是（　　）
A．该圆台的体积为
B．该圆台的侧面积为
C．该圆台可由底面半径为2，高为3的圆锥所截得
D．该圆台的外接球半径为
三．填空题（共3小题）
13．（2024秋 江西月考）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，体积为7π，则该圆台的母线长为 　 　．
14．（2023秋 奉贤区校级期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为1：4，母线长为9，则圆锥的母线长是 　 　．
15．（2021秋 小店区校级期中）已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是 　 　（将符合条件的几何体编号都填上）．
期末热点.重难点 圆台
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2024春 贡井区校级期中）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（　　）（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积：②1尺等于10寸）
A．3寸 B．4寸 C．5寸 D．6寸
【考点】圆台的结构特征．
【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】首先画出示意图，然后结合台体的体积公式即可求得平均降水量．
【解答】解：作出圆台的轴截面如图所示，
由题意知，BF＝14寸，OC＝6寸，OF＝18寸，OG＝9寸，即G是OF的中点，
则GE为梯形OCBF的中线，（寸），
即积水的上底面半径为10寸．
则盆中积水的体积为：（立方寸），
又盆口的面积为142π＝196（平方寸），
故平均降雨量是 （寸）．
故选：A．
【点评】本题主要考查生活中的立体几何问题，台体的体积公式及其应用等知识，属于中等题．
2．（2024春 浦城县校级期中）用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体不可能是（　　）
A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台
【考点】圆台的结构特征；棱柱的结构特征；圆锥的结构特征．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】B
【分析】判断几何体被平面截取的图形，逐项判断即可．
【解答】解：如图：
平面截长方体的截面ABCD为梯形，故选项A符合题意；
如图：
平面截三棱锥A﹣BCD的截面EFGH为梯形，故选项C符合题意；
如图：
当平面沿圆台的轴截圆台时，截面ABB1A1为等腰梯形，故选项D符合题意；
用一个平面截圆锥，得到的截面图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形，不可能是梯形，
故选项B不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的结构特征，属于中档题．
3．（2024 湖南开学）已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
【考点】圆台的结构特征．
【专题】方程思想；定义法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据圆台侧面积公式计算即可．
【解答】解：因为该圆台的侧面积为100π，母线长l＝10，R＝4r，
所以π（r+4r）×10＝100π，解得r＝2，所以R＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了圆台的结构特征应用问题，是基础题．
4．（2024春 城关区校级期末）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（　　）
A．圆台的母线长是20
B．圆台的表面积是1100π
C．圆台的高是
D．圆台的体积是
【考点】圆台的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象；运算求解．
【答案】C
【分析】圆台的母线长为l，根据360°＝180°求得圆台的母线l＝20，再利用轴截面求得圆台的高，代入圆台的侧面积、表面积、体积公式计算可得答案．
【解答】解：设圆台的母线长为l，则360°＝180°，解得l＝20，所以A正确；
∴圆台的侧面积S侧面＝π（10+20）×20＝600π；
圆台的表面积S＝π×102+π×202+600π＝1100π；所以B正确；
圆台的高为10，所以C不正确；
∴圆台的体积Vπ（100+400+10×20）×10π．所以D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了圆台的侧面积、表面积、体积公式，熟练掌握圆台的侧面展开图扇环的圆心角公式是解答本题的关键．
5．（2024春 龙凤区校级期中）下列命题中正确的是（　　）
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线；
③圆台的两个底面平行．
A．①② B．② C．③ D．①③
【考点】圆台的结构特征．
【专题】对应思想；定义法；立体几何；逻辑思维．
【答案】C
【分析】根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式，即可判断①；
根据圆柱母线的定义，即可判断②；
根据圆台的定义，即可判断③．
【解答】解：对于①，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长l，
设该等腰三角形顶角为θ，则截面三角形面积为，当时面积S最大，
当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不是最大的，所以命题①错误；
对于②，圆柱的母线是指圆柱的侧面上与上下底面垂直的线段，且长等于高，所以命题②错误；
对于③，根据圆台定义知，平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与圆锥底面的部分称为圆台，所以圆台的两个底面平行，命题③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的轴截面面积与圆柱和圆台的定义应用问题，是基础题．
6．（2023 宣威市校级开学）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（　　）寸．（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】圆台的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据圆台的体积公式求得天池盆的体积，即可求得盆中积水的体积，再根据平地降雨量的含义，即可求解．
【解答】解：由题意可知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
则天池盆体积为（立方寸）
故盆中积水体积为（立方寸），
故平地降雨量约为（寸）．
故选：C．
【点评】本题考查圆台的体积问题，属基础题．
7．（2023 河北开学）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是6和12，且∠ABC，则关于该圆台下列说法错误的是（　　）
A．高为 B．体积为
C．表面积为56π D．内切球的半径为
【考点】圆台的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】B
【分析】根据圆台的侧面展开图，求得圆台上下底面半径、母线长，然后可求得圆台的高、体积、表面积和内切球的半径，从而确定正确答案．
【解答】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
则，即r＝2；
，即R＝4．
又圆台的母线长l＝12﹣6＝6，
∴圆台的高，故A正确；
圆台的体积，
故B错误；
圆台的表面积S＝π（2+4）×6+π×22+π×42＝56π，故C正确；
由于圆台的母线长等于上下底面半径和（l＝R+r），
∴圆台的高即为内切球的直径，可得内切球的半径为，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查圆台的侧面展开图，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
8．（2023春 高碑店市校级期末）下列命题中正确的有（　　）
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；
②圆柱不是旋转体；
③半圆围绕直径旋转半周得到一个球；
④圆台的轴截面是等腰梯形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】圆台的结构特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象；运算求解．
【答案】B
【分析】根据旋转体的定义与结构特征，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】解：①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，正确；
②圆柱不是旋转体，不正确；
③以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体叫做球，所以半圆围绕直径旋转半周得到一个球，不正确；
④圆台的轴截面是等腰梯形，正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征应用问题，是基础题．
9．（2022春 伊州区校级期末）下列叙述中，正确的个数是（　　）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】圆台的结构特征．
【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】C
【分析】利用圆锥的定义判断①；利用圆台的定义判断②；利用圆锥、圆台的定义判断③；利用球的定义判断④．
【解答】解：对于①，以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，故①错误；
对于②，以直角梯形的垂直于底边的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台，故②错误；
对于③，用平行于圆锥底面的一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，故③错误；
对于④，圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥、圆台、球的定义等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）10．（2024 喀什地区模拟）如图圆台O1O2，在轴截面ABCD中，，下面说法正确的是（　　）
A．线段
B．该圆台的表面积为11π
C．该圆台的体积为
D．沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
【考点】圆台的结构特征．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用圆台的轴截面的面积，侧面展开图求解表面最短距离，圆台的体积，异面直线所成角，判断选项的正误即可．
【解答】解：对于A：如图：在截面ABCD中，，
因为O1为CD的中点，
所以CO1＝O1D＝2，
所以AB＝O1D，且AB∥O1D，
所以四边形ABO1D为平行四边形，
所以BO1＝AD＝2，
所以△BCO1为等边三角形，
所以∠BCO1＝60°，∠CBA＝120°，
在等腰△ABC中，，故A正确；
对于B：设圆台上底面半径为r1，下底面半径为r2，母线为l，
则r1＝1，r2＝2，l＝2，
则圆台的表面积S＝S上+S下+S侧
＝π+6π+4π＝11π，故B正确；
对于C，圆台的体积，
该圆台的体积为，故C错误；
对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD，且E为AD中点，
而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD，且OC＝4，
，
∴在Rt△COE中，，
即C到AD中点的最短距离为5cm，即沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆台的相关计算，几何体的体积的求法，表面距离的求解，是中档题．
（多选）11．（2024春 中牟县期中）已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（　　）
A．圆台的母线长为4 B．圆台的体积为
C．圆台的表面积为26π D．球O的表面积为12π
【考点】圆台的结构特征．
【专题】数形结合；定义法；立体几何；运算求解．
【答案】ACD
【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是球的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径，即可得出结论．
【解答】解：画出圆台的轴截面，如图所示：
则四边形ABCD是等腰梯形，且DN＝1，AM＝3，内切圆O是球的大圆；
所以圆台的母线长为AD＝AE+ED＝AM+DN＝4，选项A正确；
连接OA、OD和OE，则△AOD是Rt△，且OE2＝AE DE＝3，所以球的半径为R＝OE，
所以圆台的体积为V圆台π（12+32+1×3）×2π，选项B错误；
圆台的表面积为S圆台＝π×（12+32）+π（1+3）×4＝26π，选项C正确；
球O的表面积为S球＝4π12π，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了圆台与球的结构特征应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
（多选）12．（2023秋 楚雄州期中）如图，在直角梯形ABCD中，BC＝2AB＝2AD＝2，AB⊥BC，将直角梯形ABCD绕着AB旋转一周得到一个圆台，下列说法正确的是（　　）
A．该圆台的体积为
B．该圆台的侧面积为
C．该圆台可由底面半径为2，高为3的圆锥所截得
D．该圆台的外接球半径为
【考点】圆台的结构特征．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据圆台的结构特征和体积公式可判断ABC，作出圆台与它的外接球的轴截面，利用勾股定理求解，可判断D．
【解答】解：根据题意，将直角梯形ABCD，以AB为轴旋转一周，形成几何体是上底面半径为r＝1，下底面半径为R＝2，高为h＝1的圆台，
由此分析选项：
对于A，该圆台的体积V（π+4π）×1，A正确；
对于B，该圆台的母线长l＝CD，
侧面积S＝π×（1+2）3π，B正确；
对于C，∵∠C＝45°，
∴该圆台可由底面半径为2，高为2的圆锥所截得，故C错误；
对于D，作出圆台与它的外接球的轴截面，如图所示：
其中点O就是外接球的球心，且O在AB上，OB⊥BC，
设OB＝x，则|OC|＝|OD|，
∴x2+22＝（1+x）2+12，
∴x＝1，
∴外接球半径OC，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了圆台的结构特征和体积公式，考查了圆台的外接球问题，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
13．（2024秋 江西月考）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，体积为7π，则该圆台的母线长为 　　．
【考点】圆台的结构特征．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，作出圆台的轴截面，由圆台的上下底面圆的半径分别为1，2，利用圆台体积公式可求出圆台的高，再利用勾股定理即可求出圆台的母线长．
【解答】解：根据题意，如图是圆台的轴截面，圆台的上下底面圆的半径分别为1，2，设圆台的高为h，母线长为l，
则圆台的高，
因为圆台的体积为7π，即，解得h＝3，
所以圆台的母线长．
故答案为：．
【点评】本题考查圆台的结构特征，涉及圆台的轴截面，属于基础题．
14．（2023秋 奉贤区校级期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为1：4，母线长为9，则圆锥的母线长是 　12　．
【考点】圆台的结构特征．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】12．
【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果．
【解答】解：设圆台的上底面半径为r，圆锥的母线长为l，
则圆台的下底面的半径为4r，
作出圆锥的轴截面如图，
则△SO′A′∽△SOA，
所以，
即．
解得l＝12，
即圆锥的母线长为12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．
15．（2021秋 小店区校级期中）已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是 　①③④　（将符合条件的几何体编号都填上）．
【考点】圆台的结构特征．
【专题】数形结合；定义法；立体几何；直观想象．
【答案】①③④．
【分析】根据三视图的定义与画法，即可得出正视图与侧视图均有可能是等腰三角形的几何体是什么．
【解答】解：由三视图可知，①圆锥的正视图与侧视图均有可能是等腰三角形；
②圆台的正视图与侧视图均有可能是等腰梯形；
③三棱锥的正视图与侧视图均有可能是等腰三角形；
④四棱锥的正视图与侧视图均有可能是等腰三角形；
所以满足题意的几何体为圆锥、三棱锥和四棱锥．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了三视图的定义与画法应用问题，是基础题．
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