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期末热点.重难点 圆锥
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 河南校级月考）已知圆锥PO的母线长为3，表面积为10π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（　　）
A．1 B． C． D．2
2．（2024秋 袁州区校级月考）在圆锥SO中，轴截面△SAC为腰长为的等腰直角三角形，B为底面圆上一点，且E为线段AB上一动点，△ABC为等腰三角形，则SE+CE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 山东月考）已知圆锥PO的母线长为2，表面积为3π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023秋 雁峰区校级月考）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4km，B是山坡SA的中点．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（　　）
A．2km B．3km C． D．
二．多选题（共5小题）
（多选）5．（2024 沙依巴克区校级模拟）如图所示，AB是圆锥SO底面圆O的一条直径，点C在底面圆周上运动（异于A、B两点），以下说法正确的是（　　）
A．∠CSO恒为定值
B．三棱锥S﹣ABC的体积存在最大值
C．圆锥SO的侧面积大于底面圆O的面积
D．△SAB的面积大于△SAC的面积
（多选）6．（2024 甘井子区校级模拟）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（　　）
A．圆锥的体积是
B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8
D．圆锥侧面积是12π
（多选）7．（2024 荔湾区校级模拟）如图，圆锥VAB内有一个内切球O，球O与母线VA，VB分别切于点C，D．若△VAB是边长为2的等边三角形，O1为圆锥底面圆的中心，MN为圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确的是（　　）
A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3
B．平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C．四面体CDMN的体积的取值范围是
D．若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN最大值为
（多选）8．（2024 长沙模拟）已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（　　）
A．其侧面展开图是圆心角为的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
（多选）9．（2023秋 廊坊期末）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆的一条直径AB长为为底面圆周上不同于A，B的一个动点，M为线段PC（不含端点）上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．△PAC面积的最大值为
B．三棱锥C﹣PAB体积的最大值为1
C．存在点C，M，使得BC⊥AM
D．当C为的中点时，MA+MB的最小值为
三．填空题（共6小题）
10．（2024秋 浦东新区校级期中）若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为 　 　．
11．（2024秋 徐汇区校级期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 　 　．
12．（2024秋 静安区校级期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 　 　．
13．（2023 元阳县校级开学）若一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 　 　．
14．（2024春 菏泽期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 　 　．
15．（2024春 潮州期末）某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 　 　．
期末热点.重难点 圆锥
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 河南校级月考）已知圆锥PO的母线长为3，表面积为10π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由圆锥的表面积公式算出底面圆的半径，结合勾股定理求出圆锥的高，然后根据线面垂直的性质、正三角形的性质与余弦定理，求出cos∠MOC，根据三角函数的平方关系求出sin∠MOC，进而求得△MOC的面积．
【解答】解：设圆锥PO的底面圆半径为r，则圆锥的表面积为πr2+πr 3＝10π，
结合r＞0，解得r＝2，所以圆锥的高PO，
取OB的中点N，连接MN、CN，
可得MN为△POB的中位线，所以MN∥PO，且MNPO．
因为PO⊥平面BOC，所以MN⊥平面BOC，结合CN 平面BOC，可得MN⊥CN．
又因为O为AB中点，可得OM是△PAB的中位线，所以OMPA，
由OB＝OC＝2，∠BOC＝60°，可得△BOC是边长为2的正三角形，
N为OB中点，可得CN⊥OB，所以CNOB，．
在△MOC中，由余弦定理得，
可得sin∠MOC，
所以△MOC的面积S．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆锥的结构特征、线面垂直的性质、解三角形及其应用等知识，考查了空间想象能力、计算能力，属于中档题．
2．（2024秋 袁州区校级月考）在圆锥SO中，轴截面△SAC为腰长为的等腰直角三角形，B为底面圆上一点，且E为线段AB上一动点，△ABC为等腰三角形，则SE+CE的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】B
【分析】根据圆锥的几何性质，确定相应长度，再将△ABC 和△ABS平铺成一个平面，利用余弦定理即可求解
【解答】解：画出图象，如图所示：
因为轴截面△SAC为腰长为的等腰直角三角形，
所以，AC＝4，
又因为△ABC为等腰三角形，
所以，
所以，
将△ABC和△ABS平铺成一个平面，如下图，
此时∠S'BC＝150°，
当S'，E，C三点共线时，SE+CE最小，
最小值为2（）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了余弦定理的应用，属于中档题．
3．（2024秋 山东月考）已知圆锥PO的母线长为2，表面积为3π，O为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，∠BOC＝60°，M为PB中点，则△MOC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】A
【分析】先由圆锥的表面积公式求出底面半径，在△OCN中由余弦定理求出CN，然后在Rt△MNC中，由勾股定理求出MC，最后由余弦定理和三角形的面积公式求出结果即可．
【解答】解：设OB＝r，PB＝l，
由题意可得πr2+πrl＝3π，
即πr2+2πr＝3π，解得r＝1或r＝﹣3（舍），
连接OM，
∵M为PB中点，∴OMPB＝OB＝1，
过M作MN⊥OB于N，连接CN，
则MNPO，
在△OCN中，cos∠CON，即cos60°，
解得CN，
在Rt△MNC中，MC，
∴cos∠MOC，
∴sin∠MOC，
∴△MOC的面积为sin∠MOC．
故选：A．
【点评】本题考查圆锥的表面积公式、余弦定理、勾股定理、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．（2023秋 雁峰区校级月考）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4km，B是山坡SA的中点．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（　　）
A．2km B．3km C． D．
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】D
【分析】根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得．，进而根据等面积法即可求解．
【解答】解：以SA为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图，
则从点A到点B的最短路径为线段A′B，
，所以．
过S作SP⊥A′B，则公路距山顶的最近距离为SP，
因为，
所以，
故选：D．
【点评】本题考查圆锥的侧面展开，以及弧长公式的应用，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
（多选）5．（2024 沙依巴克区校级模拟）如图所示，AB是圆锥SO底面圆O的一条直径，点C在底面圆周上运动（异于A、B两点），以下说法正确的是（　　）
A．∠CSO恒为定值
B．三棱锥S﹣ABC的体积存在最大值
C．圆锥SO的侧面积大于底面圆O的面积
D．△SAB的面积大于△SAC的面积
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】计算题；立体几何；逻辑思维；直观想象．
【答案】ABC
【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，用r，h，l表示∠CSO的三角函数值，三棱锥S﹣ABC的体积，圆锥的侧面积和底面积，
△SAB和△SAC的面积，再进行选项判断．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l．
A选项，tan∠CSO，为定值，说法正确．
B选项，设d为C点到平面SAB的距离，，
又0＜d≤r，所以当CO⊥平面SAB时，d有最大值r，则三棱锥的最大值为，说法正确．
C选项，圆锥SO的侧面积为，底面圆O的面积为πr2，又l＞r，所以πrl＞πr2，说法正确．
D选项，，，sin∠ASB与sin∠ASC的大小无法比较，说法错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆锥的几何性质，属于基础题．
（多选）6．（2024 甘井子区校级模拟）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（　　）
A．圆锥的体积是
B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8
D．圆锥侧面积是12π
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据圆锥底面半径、高以及母线三者的关系求出圆锥的高，即可求出体积、侧面积；然后利用底面周长为侧面展开图扇形的弧长，算出圆心角弧度数；求出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式，即可求出过两条母线截面三角形面积的最大值．
【解答】解：圆锥的底面半径是r＝3，母线长l＝4，所以高h，
所以圆锥体积Vπr2，A错误；
侧面展开图的圆心角弧度数为，B正确；
圆锥轴截面顶角的余弦值为cosα0，故顶角为钝角，
所以过圆锥的两条母线的截面面积为S8，C正确；
圆锥的侧面积为πrl＝π×3×4＝12π，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查圆锥的表面积、体积的计算，以及圆锥的性质及应用，属于中档题．
（多选）7．（2024 荔湾区校级模拟）如图，圆锥VAB内有一个内切球O，球O与母线VA，VB分别切于点C，D．若△VAB是边长为2的等边三角形，O1为圆锥底面圆的中心，MN为圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确的是（　　）
A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3
B．平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C．四面体CDMN的体积的取值范围是
D．若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN最大值为
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用空间几何体的性质，依据每个选项的条件逐项计算，可判断其正确性．
【解答】解：依题意，动点P的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为E，连接VO1，如图，
正△VAB内切圆即为球O的截面大圆，球心O在线段VO1上，VO1，
则球O的半径OO1，所以球O的表面积S＝4πr2＝4π，
圆锥的侧面积S′2π×2＝2π，∴球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3，故A正确；
由题意可得点C，D是边AV，BV的中点，
∴CO1∥VB，∵CO1 平面CMN，VB 平面CMN，
∴VB∥平面CMN，∴平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故B正确；
由题意可得四面体CDMN被平面VAB截成体积相等的两部分，
设M到平面VAB的距离为d（0＜d≤1），
即VCDMN＝22d＝2dd∈（0，]，故C错误；
由题意可得EPO1B，EO1，∴O1P2EP2＝1，
则有PO1＝MO1＝NO1＝1，即PM⊥PN，因此PM2+PN2＝MN2＝4，
由均值不等式得：，即QE+QF≤2，
当且仅当PM＝PN时取“＝”，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间几何体的表面积与体积的计算，考查线段和的最大值，属中档题．
（多选）8．（2024 长沙模拟）已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（　　）
A．其侧面展开图是圆心角为的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据圆锥的性质，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：对A选项，∵圆锥的底面半径为，母线长为2，
∴其侧面展开扇形的圆心角为，∴A选项正确；
对B选项，∵圆锥的底面半径为，母线长为2，
∴圆锥的高为1，
∴该圆锥的体积为π，∴B选项正确；
对C选项，根据题意可得所求距离的最小值即为：半个侧面展开扇形的弦长，
由A选项分析可知：该扇形的圆心角为，且该扇形所在圆的半径为2，
∴所求距离的最小值为，∴C选项错误；
对D选项，由B选项可知圆锥的轴截面是顶角为，腰为2的等腰三角形，
∴过该圆锥的顶点作圆锥的截面，当所得等腰三角形的顶角为时，
截面面积取得最大值，且最大值为2，∴D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆锥的性质，圆锥的体积的求解，距离的最值的求解，圆锥的截面问题，属中档题．
（多选）9．（2023秋 廊坊期末）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆的一条直径AB长为为底面圆周上不同于A，B的一个动点，M为线段PC（不含端点）上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．△PAC面积的最大值为
B．三棱锥C﹣PAB体积的最大值为1
C．存在点C，M，使得BC⊥AM
D．当C为的中点时，MA+MB的最小值为
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】数形结合；综合法；立体几何；直观想象．
【答案】BD
【分析】求出圆锥的轴截面的顶角大小，结合三角形面积公式，即可判断A；根据三棱锥的体积公式可判断B；假设存在点C，M，使得BC⊥AM，结合线面垂直推出矛盾，判断C；求出△PAC 的边PC上的高，即可求得MA+MB的最小值，判断D．
【解答】解：对于A，由题意知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆的直径AB长为，
记圆锥底面圆心为O，则PO为圆锥的高，
故，∠APO 为锐角，所以∠APO＝60°，
所以∠APB＝120°，设∠APC＝θ（0°∠θ≤120°），则，
当θ＝90°时，S△PAC的最大值为2，故A错误；
对于B，因为点C到AB的距离的最大值为底面圆的半径，圆锥的高，
所以三楼锥C﹣PAB体积的最大值为，故B正确；
对于C，假设存在点C，M，使得BC⊥AM，
因为BC⊥AC，AC∩AM＝A，AC，AM 平面PAC，
则BC⊥平面PAC，PC 平面PAC，所以BC⊥PC，即∠PCB＝90°，
又∠PBC＝∠PCB，显然在△PBC 中，不可能有两个直角，故假设错误，故C错误；
对于D，当C为的中点时，CO⊥AB，
所以，
由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC 中，PA＝PC＝2，，
所以，∠APC为锐角，
进而，记PC边上的高为h（垂足为Q），
则，
所以，
当M与Q重合时取等号，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查空间几何体的应用，属于中档题．
三．填空题（共6小题）
10．（2024秋 浦东新区校级期中）若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为 　　．
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】方程思想；定义法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】根据侧面展开图是半径为3的半圆，得到母线长和底面半径求解．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
因为侧面展开图是半径为3的半圆，
所以母线长为l＝3，2πr＝3π，
解得r，
所以此圆锥的高为h．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题．
11．（2024秋 徐汇区校级期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 　60°　．
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】60°．
【分析】r和l分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到2r＝l，从而知道轴截面的顶角值．
【解答】解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，
因为圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，
所以2πr＝πl，
即2r＝l，
所以该圆锥轴截面的顶角等于60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，属于中档题．
12．（2024秋 静安区校级期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 　2　．
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】2．
【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解．
【解答】解：依题意，设圆锥的母线长为l，
因为圆锥的底面半径为，高为1，
所以l2，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为θ，则，
因为0＜θ＜π，
所以θ，
则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为，
故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，
故过圆锥的母线的截面面积的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥截面面积最值的求法，是基础题．
13．（2023 元阳县校级开学）若一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 　6　．
【考点】圆锥的结构特征；圆锥的侧面积和表面积．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】6．
【分析】根据题意，设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程求出l即可．
【解答】解：根据题意，设圆锥的母线长为l，
圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，则有，解得l＝6，
即圆锥的母线长为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
14．（2024春 菏泽期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 　　．
【考点】圆锥的结构特征．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，设圆锥的母线长为l，由圆锥的结构特征可得πl＝2πr，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆锥的母线长为l，其底面半径r，
由于其侧面展开图为一个半圆，则有πl＝2πr，变形可得l．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
15．（2024春 潮州期末）某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 　　．
【考点】圆锥的结构特征；扇形面积公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，分析可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则有，解可得r．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
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