资源简介

2024-2025 学年天津市滨海新区塘沽一中高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { |( + 1)( 3) ≤ 0}， = { 3, 2, 1,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1} B. { 1,1,2,3} C. {1,2} D. { 3, 2, 1}
2.下列关于 求导正确的是( )
A. ( )′ = 1 B. ( 1 1 )′ = 2
C. ( 2 )′ = 1 D. (
2 + 2)′ = 2 + 2
3.人工智能技术(简称 技术)已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术， 技术加持的电脑
(以下简称 电脑)也在全国各地逐渐热销起来.下表为 市统计的 2024 年 11 月至 2025 年 3 月这 5 个月该
市 电脑的月销量，其中 为月份代号， (单位：万台)为 电脑的月销量．
月份 2024 年 11 月 2024 年 12 月 2025 年 1 月 2025 年 2 月 2025 年 3 月
月份代号 1 2 3 4 5
月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4

经过分析， 与 线性相关，且其线性回归方程为 = 0.21 + ，则 2025 年 3 月的残差为( )(实际值与预
计值之差)
A. 0.04 B. 0.02 C. 0.02 D. 0.04
4.已知 ， ∈ ，则“ > ”是“ + > + ”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.在(1 )(1 + 2 )5的展开式中， 3的系数是( )
A. 40 B. 20 C. 20 D. 40
6 1.随机变量 ， 满足 ～ (4, 2 )， ～ (2,4)，则下列选项正确的是( )
A. ( ) = ( ) B. ( ) = ( )
C. ( = 2) = 12 D. ( > 2) = ( < 0)
7.君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教
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育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”
与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有( )
A. 432 种 B. 486 种 C. 504 种 D. 540 种
8.下列说法中，正确的个数是( )
①若随机变量 服从正态分布 (3, 2)，且 ( ≤ 4) = 0.7，则 (3 < < 4) = 0.3；
②可以用相关系数 刻画两个变量的相关程度强弱， 值越大两个变量的相关程度越强；
③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
④根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 4.712，根据小概率值 = 0.05 的 2独立性检验
( 0.05 = 3.841)，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.05；

2 = 1

=1 ( )2⑤决定系数 2 2，甲、乙两个模型的 分别约为 0.98 和 0.80，则模型乙的拟合效果更好 =1 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.已知一道解答题共有两小问，第一问 7 分，第二问 8 分，高三(2)班 50 个人中有 30 个人能够解答出第
一问.在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为 0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出
来的概率为 0.7，则解答出第二问的概率为( )
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
2
10 , ≤ 0.已知函数 ( ) = , > 0 ，若 1、 2 ∈ ， 1 < 2，则下列说法正确的是( )
A. ( 1+ 22 ) ≥
( 1)+ ( 2)
2
B. 1当 1 < 2 < 2时，( 1 2)[ ( 1) ( 2)] < 0
C.当 ( 1) = ( 2)时， 1 + 2 > 1
D.当 ( 1) + ( 1) = 0， ( 2) + ( 2) = 0 时， 1 ≤ 0 ≤ 2
2 + , ≤ 0
11.已知函数 ( ) = ，若对于 1 ∈ (0, + ∞)，总 2 ∈ ( ∞,0)使 ( )的图像上( 1, ( 1))与 , > 0
( 2, ( 2))处的切线平行，则 的取值范围是：( )
A. ( 1 3 , + ∞) B. (
1 1 1
2 3 , + ∞) C. ( ∞, 3 ) D. ( ∞, 2 3 )
12.已知 0 < < 12 ，函数 ( ) = (
2)( 2 + )，若 ( ) ≤ 0 ，则 ( 2 2 )的最小值为( )
A. 1 B. C. D.
2
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
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13.若( + 1 1 2 ) 的展开式中二项式系数之和为 32，各项系数之和为 243，则 = ______；展开式中 的系数
是______．
14.已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为 8 的样本，他们的数学、物理成绩散点图
对应如图：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为 80 分，乙同学数学成绩为 60 分，则甲同学的物
理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为______．
15.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、
马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同
学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，
则选法有______种．
16.若函数 ( ) = 2 2 在其定义域内的一个子区间( 1, + 1)内不是单调函数，则实数 的取值范围
是______．
17.第十五届中国国际航空航天博览会在 2024 年 11 月 12 日至 17 日在广东珠海举行.此次航展，观众累计
参观近 60 万人次，签约金额超 2800 亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举
行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼 20 ”模型.抽奖规则如下：盒中装有 7 个大小相同的小
球，其中 3 个是红球，4 个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出 2 球，若取出的
球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中；若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某
顾客两次抽奖都中奖的概率为______；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为
______．
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18.若命题“ 0 ∈ (1, + ∞)， 0 0 > 0 能成立”为假命题，则正数 的最小值为______．
19.若 1， 2是函数 ( ) =
1 2 2 + 1( ∈ )
1
的两个极值点，则 的取值范围为______；若 1 ≤ 2，则 2
的最小值为______．
20.若存在实数 和 使得函数 ( )和 ( )对其公共定义域上的任意实数 都满足： ( ) ≤ + ≤ ( )恒
成立，则称此直线 = + 为 ( )和 ( )的“分离直线”.当 ( ) = 2和 ( ) = 之间存在唯一的“分
离直线” = 2 时， = ______；若 ( ) = 2和 ( ) = 1 ( < 0)之间存在“分离直线”， 的最小
值为______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 12 分)
甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，
若预约成功，便停止预约；若连续预约二天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均
为 0.7．
(1)求甲同学到第三天才预约成功的概率；
(2)记 为甲同学预约门票的天数，求 的分布列和期望 ( )．
22.(本小题 12 分)
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求
独立完成．规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过．已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成，
2 2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是3，且每题正确完成与否互不影响．
(Ⅰ)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；
(Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？
23.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + + 1．
(1)若函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线的斜率为 2，求此切线方程；
(2)若 ( )在[1, ]上的最小值为 1 ，求实数 的值；
(3)当 = 1 时，求证 ( ) ≤ ．
24.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 1， ( ) = 2 ( 2) ．
(1)若 1 < ( )恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设函数 ( ) = ′( ) ( )，讨论 ( )的单调性；
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(3)设函数 ( ) = ( ) + ( 2) ，若函数 ( )的图象与 ( )的图象有 ( 1, 1)， ( 2, 2)两个不同的交点，
证明：ln( 1 2) > 2 + 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.5 80
14.1
15.50
16.[1, 32 )
17. 9 249 5
18.1
19.( , + ∞) 2 2
20.2 4
21.解：(1)设“甲同学到第三天才预约成功”为事件 ，
则 ( ) = (1 0.7) × (1 0.7) × 0.7 = 0.063；
(2)因为 为甲同学预约门票的天数，
所以 的所有可能取值为 1，2，3，
此时 ( = 1) = 0.7， ( = 2) = (1 0.7) × 0.7 = 0.21， ( = 3) = (1 0.7) × (1 0.7) × (0.7 + 0.3) =
0.09，
则 的分分布列为：
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1 2 3
0.7 0.21 0.09
故 E( ) = 1 × 0.7 + 2 × 0.21 + 3 × 0.09 = 1.39．
22.解：(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为 1，2，3. …(1 分)
1 2 2 1 3 0
( = 1) = 4 23 =
1
5； ( = 2) =
4 2
3 =
3
5； ( = 3) =
4 2 = 1； …(3 分)
6 6
3
6 5
考生甲正确完成题数 的分布列为
1 2 3
1 3 1
5 5 5
= 1 × 1 3 15 + 2 × 5 + 3 × 5 = 2. …(4 分)
设乙正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 0，1，2，3. …(5 分)
( = 0) = 127； ( = 1) =
1 ( 2 )1 ( 1 )2 = 6 ( = 2) = 2 ( 2 )2 1 123 3 3 27， 3 3 3 = 27， ( = 3) = (
2 3 8
3 ) = 27 . …(7
分)
考生乙正确完成题数 的分布列为：
0 1 2 3
1 6 12 8
27 27 27 27
= 0 × 1 6 12 827 + 1 × 27 + 2 × 27 + 3 × 27 = 2. …(8 分)
(Ⅱ)因为 = (1 2)2 × 15 + (2 2)
2 × 3 + (3 2)2 × 1 25 5 = 5，…(10 分)
= = 23 . …(12 分)
所以 < ．
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成 2
道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．…(12 分)
23.解：(1)因为 ( ) = + + 1，则 ′( ) = 1 + ，
由导数的几何意义可得 ′(1) = 1 + = 2，解得 = 1，则 ( ) = + + 1，
所以 (1) = 2，故所求切线的方程 2 = 2( 1)，即 2 = 0．
(2) ′( ) = 1 + = + ， ∈ [1, ]，
当 ≥ 1 时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增，
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所以 ( ) = (1) = 1 + 1 + 1 = 2，由 2 = 1 ，解得 = 1；
当 ≤ 时， ′( ) ≤ 0， ( )单调递减，所以 ( ) = ( ) = + + 1，

由 + + 1 = 1 ，解得 = 2，但 2 > ，不满足条件，舍去；
当 < < 1 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
当 ∈ [1, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ ( , ]时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = ( ) = + ( ) + 1，由 + ( ) + 1 = 1 ，即 ( ) = 0，解得
= 1(舍去)．
综上， = 1．
(3)证明：当 = 1 时， ( ) = + + 1，要证 ( ) ≤ ，即证 + + 1 ≤ ，即证 + ( + )
1 ≥ 0，
令 = + ，因为 = 和 = 在(0, + ∞)上都是增函数，所以 = + 在(0, + ∞)上是增函数， =
+ 的值域是 ，
再令 ( ) = 1， ∈ ， ′( ) = 1，
当 < 0 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 > 0 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 0，即 + ( + ) 1 ≥ 0，所以 ( ) ≤ ，得证．
24.解：(1)根据题目；已知函数 ( ) = 1， ( ) = 2 ( 2) ．
易知 ′( ) = + 1
1
令 ′( ) > 0，得 ∈ ( , + ∞)，所以 ( )
1
在( , + ∞)上单调递增；
令 ′( ) < 0，得 ∈ (0, 1 )，所以 ( )在(0,
1
)上单调递减．
所以 ( ) 1 1的最小值为 ( ) = 1，
由 1 < ( ) 1恒成立知， 1 < ( ) = 1，
故 ∈ ( ∞, 1 )．
(2)由题知 ( ) = ′( ) ( ) = 2 + ( 2) + 1，定义域为(0, + ∞)，
2
所以 ′( ) = 1 2 + ( 2) = 2 +( 2) +1 = ( 2 +1)( +1) ；
当 ≥ 0 时， ( ) 1 1在(0, 2 )上单调递增，在( 2 , + ∞)上单调递减；
当 2 < < 0 时，令 ′( ) > 0 ∈ ( 1，得 , + ∞) ∪ (0,
1
2 )，
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所以 ( ) ( 1在 , + ∞)，(0,
1
2 )上单调递增；
令 ′( ) < 0，得 ∈ ( 1 1 12 , )，所以 ( )在( 2 ,
1
)上单调递减；
当 = 2 时， ′( ) ≥ 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 2 时，令 ′( ) > 0 1 1，得 ∈ ( 2 , + ∞) ∪ (0, )，
所以 ( )在( 1 12 , + ∞)，(0, )上单调递增；
令 ′( ) < 0，得 ∈ ( 1 ,
1
2 )
1 1
，所以 ( )在( , 2 )上单调递减；
综上可知，当 ≥ 0 时， ( )在(0, 1 ) 12 上单调递增，在( 2 , + ∞)上单调递减；
1 1 1 1
当 2 < < 0 时， ( )在( , + ∞)，(0, 2 )上单调递增； ( )在( 2 , )上单调递减；
当 = 2 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
1 1 1 1
当 < 2 时， ( )在( 2 , + ∞)，(0, )上单调递增；在( , 2 )上单调递减；
(3)证明：由题函数 ( ) = ( ) + ( 2) ，
函数 ( )的图象与 ( )的图象有 ( 1, 1)， ( 2, 2)两个不同的交点，
显然 ( ) = ( ) + ( 2) = 2，
因为函数 ( )的图象与 ( )的图象有两个不同的交点．
1
所以关于 的方程 2 = 1，即 = 有两个不同的根．
由题知 1 =
1
1 ①， 2 =
1
2 ②，
1 2
① +②得 ( 1 + 2) = ln( 1 2)
1+ 2
1
③，
2
② ①得 ( ) = ln( 2 ) + 2 12 1 1 1
④，
2
由③ ÷④得 ln( 1 )
2( 1+ 2)
2 =
1+ 2
ln(
2 )，
1 2 2 1 1

不妨设 0 < 1 < 2，记 = 2 > 1．1
( ) = 2( 1)
2
令 +1 ( > 1)，则 ′( ) =
( 1)
( 1) > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) > (1) = 0．
则 > 2( 1) +1 ，即 ln(
2
) >
2( 2 1)，
1 1+ 2
所以 ln( 1 2)
2( 1+ 2) = 1+ 2 2 1 2
ln( ) > 2．
2 1 1
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ln( ) 2( 1+ 因为 2) 4 1 21 2 < ln( 1 2) = 2 1 2
4
，
1 2 1 2 1 2
4 2
所以 2 1 2 > 2，即 ln 1 2 > 1．1 2 1 2
令 ( ) = 2 ，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
又 ln 2 2 1 22 = 2 2 + 1 < 1，
所以 ln 1
2
2 > 1 > ln 2
2
1 2 2
，
即 ( 1 2) > ( 2 )，所以 1 2 > 2 2；
两边同时取对数可得 ln( 1 2) > 2 + 2，得证．
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