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2024-2025学年山西省孝义市高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，其中为虚数单位，为复数集，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题是真命题的是( )
A. 两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B. 正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C. 经过不共线的三个点的球有且只有一个 D. 直棱柱的侧面是矩形
3.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是( )
A. B. C. D.
4.设均为单位向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其平面图如图的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是( )

A. B. C. D.
6.定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是( )
A. 周长为
B. 三个内角，，满足关系
C. 外接圆半径为
D. 中线的长为
9.设，为复数，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，，，则( )
A. 的图象是由的图象向左平移个单位长度，且所有点的纵坐标变为原来的倍得到
B. 的图象是由的图象向右平移个单位长度，且所有点的纵坐标变为原来的倍得到
C. 当时，函数的图象与在区间内有两个不同交点
D. 当时，
11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用图，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图若一半径为米的筒车水轮圆心距离水面米图，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，经过秒后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有( )
A. 关于的函数解析式为
B. 点第一次到达最高点需用时秒
C. 再次接触水面需用时秒
D. 当点运动秒时，距水面的高度为米
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则与向量重直的单位向量为 ．
13. ．
14.我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童如图的刍童有外接球，且，，，，平面与平面间的距离为，则该刍童外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在边长为的菱形中．

求；
若为对角线上一动点连结并延长，交于点，连结，设当为何值时，可使最小，并求出的最小值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求的值．
17.本小题分
在中，内角、、所对的边分别为、、，满足．
求角的大小；
若，边上的中线的长为，求的面积；
若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值．
18.本小题分
已知数的相邻两对称轴间的距离为．
求的解析式；
将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，若，，求的值；
对于第问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，若，试求与的值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
已知，求；
已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
在中，且，若，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.在菱形中，易知，，
所以
．
在菱形中，，易知，
由，则，即，
所以
，
故，所以当时，取得最小值为．
16.由余弦定理得，
所以，即，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以．
由，得，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
，
所以．
17.由及正弦定理得：
，
因为、，所以，则，故．
解法一：因为，为中点，则，
由余弦定理得，得，
在中，，
在中，，
因为，所以，
所以，，解得：，
故的面积为；
解法二：因为为的中点，则，
所以，，
即，
由余弦定理可得，即，
所以，故的面积为．
因为，平分，所以，
又，则由，得，
所以，
由基本不等式可得，则，得，
当且仅当时，等号成立，
所以，故面积的最小值为．
18.

又，
向右平移个单位，得
再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得
因为，所以
因为，则，所以
故，
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，
可得方程在区间有个解，即，
其中，，，，
即，，
，，
解得，，，，
所以
综上，，．
19.因为，
所以．
因为
，
且，，则，
所以．
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
因，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的重心，则，
可得，
则，
，
，
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