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2024-2025学年广西示范性高中高一下学期4月期中调研测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.以下四个结论：
若，，则，为异面直线；
若，，则，为异面直线；
没有公共点的两条直线是平行直线；
两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，则( )
A. B. C. D.
4.月日，年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，小明，主舞台两点在湖的两岸，通过确定与同侧的湖岸边一点，测出，的距离为，，，计算出，两点的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知在平行四边形中，，在直线上有点满足，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递减，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的底面半径为，高为，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的体积为( )
A. B. C. D.
8.设为的重心，且，则角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C. D.
10.下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是( )
A. B.
C. D.
11.在中，角，，对边分别是，，，且，则下列说法正确的有( )
A.
B. 若，则是等边三角形
C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为
D. 若是锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则实数 ．
13.若三棱锥三条棱两两互相垂直，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
14.三棱台中，，则三棱锥的体积之比是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足，，．
求向量和的夹角；
若向量三点共线，求的值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，点是棱的中点，点为与交点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
在中，角所对的边分别是，，，点是边上的动点端点除外．
求的最大值；
若为锐角，线段的长度为，的面积为，求．
18.本小题分
已知函数，的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
将函数图象上所有的点向下平移个单位，向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
19.本小题分
类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法通过类比可以从已知的数学知识中推测出未知的结论例如，若是线段上一点，则即将它类比到平面上得到定理：若是内一点，则表示三角形面积．
将它类比到空间中得到的定理是：若是四面体内一个点，______请写出相应结论，不需要证明
已知是同一平面内不同的四个点，且，则三点共线的充要条件是写出空间中的类似定理：已知是空间中不同的五个点，______请写出相应结论，不需要证明
若是的内心，，且，当时，求的最大值．
已知直角三角形的直角边在斜边上，且，求面积最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，，得，解得，
由，，因此，
又，所以向量和的夹角为．
由，得，
，由三点共线，得，
则存在，使得，即，而向量和不共线，
因此，解得，
所以的值．

16.解：在直三棱柱中，连接，
由，四边形是矩形，得是的中点，而点是棱的中点，
则，又平面，平面，
所以平面．
依题意，，点是棱的中点，得，
由平面，平面，得，
而平面，则平面，
又平面，因此平面平面，且平面平面，
在平面内过点作于，则平面，
即长是点到平面的距离，在中，，
，因此，
所以点到平面的距离为．

17.解：在中，，，由余弦定理得，
则，当且仅当时取等号，因此，
所以的最大值为．
由的面积为，得，
解得，而为锐角，则，
由余弦定理得，
由正弦定理得，
在中，由正弦定理得．

18.解：观察函数图象，得，解得，
函数的最小正周期，解得，
由，得，而，则，
所以函数的解析式．
函数图象上所有的点向下平移个单位，向右平移个单位，
得，则，
当时，令，函数在上递增，
函数值从增大到，在上递减，函数值从减小到，又当时，，
因此函数在上递减，在上递增，在上递减，
当且仅当或时，直线与函数在上的图象有两个公共点，
所以函数在区间上恰有两个零点，的取值范围是．

19.解：线段类比成面积，面积类比成体积，若是四面体内一点，则有
．
已知是空间中不同的五个点，点不共线，且，
则点共面的充要条件是．
设内切圆半径为，令内角所对边分别为，
由是的内心，得在的内部，则，
而，于是，即，
整理得，而，因此，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
以为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，由对称性不妨令点在线段上，
因，则直线方程为，整理得：，
设，则，代入直线方程，
得，则，同理，
则面积
，而由可得，
故当，即时，，，
所以面积最小值为．

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