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2024-2025学年河北省承德市第一中学高一下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.观察下面的几何体，哪些是棱柱？( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为( )
A. B.
C. D.
5.已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.关于的方程有一根为，则一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列说法不正确的是( )
A. 棱台的两个底面相似
B. 棱台的侧棱长都相等
C. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
10.在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于点对称
C. 将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象
D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知的内角所对的边分别为、、，，为边上一点，满足，且则的最小值为 ．
14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
若，求的值；
将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求的取值范围．
17.本小题分
已知．
求的单调递增区间；
若，，求满足不等式的的取值范围．
18.本小题分
已知向量，且与的夹角为，
求证：
若，求的值；
若与的夹角为，求的值．
19.本小题分
如图，在平行四边形中，，垂足为，为中点，

若，求的长；
设，，，，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及余弦定理，
可得：，
整理得，即，
所以；
由及得：，
又，所以，
则，，
则
，
由的面积为，
可得，所以，
由正弦定理，可得，
所以，故．
16.因为
，
所以的最小正周期；
由，得，即，
故
．
将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到，
再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到
，
所以，
因为函数在上有两个零点，
即与在上有两个交点，
因为，故，
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
且当时，当时，
当时，
所以，解得，
故函数在上有两个零点，实数的取值范围为．
17.解：
，
令，
解得，
所以的单调递增区间为，；
由可得，
令，
因为，所以，
则，所以，
所以不等式为，解得，
即，
由，解得，
所以的取值范围为．
18.因为与的夹角为，
所以，
所以，
所以．
由知，，
因为，
所以，即，
于是有，即
，解得或，
所以的值为或．
由知，，
因为
所以，
，
，
因为与的夹角为，
所以，即，且，
于是有，解得或舍，
所以的值为．
19.解：，
是在方向上的投影向量，
，
即；
法一：在中，由余弦定理得
，
所以，由余弦定理得
，
因为，所以，
故，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

易知
因为为中点，所以，
，，，
，
，
即，解得：
所以；
法二：
在中，由余弦定理得
，
所以，由余弦定理得
，
因为，所以，
故，
因为，
所以
，
又
，
由平面向量基本定理得：
，解得：
所以．

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