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2024-2025学年甘肃省酒泉市四校联考高一下学期4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列复数中与复数相等的是( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，若，则( )
A. B. C. D.
3.若是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为( )
和
和
和
和
A. B. C. D.
4.已知，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象关于点对称，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知向量、满足，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则( )
A. B. C. D.
8.下列结论中正确的是( )
A. 若为非零向量，且，则
B. 对于向量，若，则存在唯一实数使得
C. 在中，若，则与的面积之比为
D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10.下面四个命题中正确的是( )
A. 若复数满足，则
B. 若，则是纯虚数
C. 若复数满足，则
D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆
11.设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，已知点不在的边上，则下列结论正确的是( )
A. 若点是的重心，则
B. 若点是的垂心，则
C. 若，则点是的外心
D. 若为的外心，为的垂心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角所对的边分别为若，则 ．
13.已知，则 ．
14.已知是关于的方程的一个根，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
为实数；
为纯虚数；
在复平面内对应的点位于第四象限．
16.本小题分
若，求的值．
已知，求的值．
17.本小题分
已知向量，函数．
求的单调递减区间；
若，求的值．
18.本小题分
已知在中，为中点，．
若，求；
设和的夹角为，若，求证：；
若线段上一动点满足，试确定点的位置．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面的问题：
若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和
的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
(ⅰ)若，求
(ⅱ)求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为为实数，则，解得或．
因为为纯虚数，则，解得．
因为复数在复平面内对应的点为，
所以，由，得到或，
由，得到，所以
16.由，得
则，即，
所以．
由，得，又，
则，
所以
．
17.依题意，
，
由，得，
所以的单调递减区间为．
由知，，解得，
由，得，于是，
所以
．
18.因为，所以．
又因为，则．
那么，展开可得：
已知，，，根据向量数量积公式，，．
代入可得所以．
因为为中点，所以，则．
根据向量数量积的分配律可得：
已知，，，则，．
代入可得．
因为，所以，即．
设，因为，所以．
又因为，，所以．
已知，则可得，解第一个方程，得．
所以，即点为线段的中点．
19.解：因为为等边三角形，三个内角均小于，
故费马点在三角形内，
满足，且，如图：

过作于，
则，故，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为；
因为，由正弦定理，且，
所以，得，
所以的三个角都小于，
则由费马点定义可知，，
设，，
由，
得，
整理得，
则
；
由知，
所以点在内部，且，

设，
所以，
由余弦定理得，，
，
，
由勾股定理得，，
即，
所以，
即，
，，，，
即，
当且仅当，即时，等号成立，
设，则，
解得或舍去，
故，最小值为．

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