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2024-2025学年江西省宜春市丰城九中日新班高一(下)期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足,其中为虚数单位,则复数的模( )
A. B. C. D.
3.已知两个不同的平面,和两条不同的直线,满足,,则“,平行”是“,不相交”的( )
A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线与圆:相交于,两点,且为等腰直角三角形,则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知,则( )
A. B. C. D.
6.如图,在梯形中,,,,,为线段的中点,先将梯形挖去一个以为直径的半圆,再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周,则所得几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知,,,为坐标原点,点在直线上运动,则当取得最小值时,点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知点是双曲线:上的动点,,分别是双曲线的左、右焦点为坐标原点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.如图是函数的部分图象,下列说法正确的是( )
A. 函数的周期是
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数是偶函数
10.关于空间向量,以下说法正确的是( )
A. 若对空间中任意一点,有,则、、、四点共面
B. 已知两个向量,,且,则
C. 若,且,,则
D. 点关于平面对称的点的坐标是
11.设为坐标原点,直线过抛物线:的焦点,且与交于,两点,为的准线,则( )
A. B.
C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已用,,则在方向上的投影向量为______.
13.已知椭圆的离心率为,其左、右焦点分别为,,上顶点为,且内切圆的半径为,则椭圆的方程为______.
14.在正方体中,为的中点,为底面上一动点,与底面所成的角为,若,且该正方体的外接球的体积为,则动点的轨迹长度为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图,在平面四边形中,,为线段的中点,,.
若,求的面积;
若,求.
16.本小题分
已知抛物线:的焦点为.
求的方程;
若过点的直线与抛物线交于,两点.是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,请说明理由.
17.本小题分
如图所示,在四棱锥中,平面,,,,.
求证:平面平面;
若异面直线和所成角为,求点到平面的距离.
18.本小题分
已知椭圆:的焦点和短轴顶点构成边长为的正方形.
求椭圆的标准方程和离心率;
过点的动直线与椭圆有两个交点,在轴上是否存在点使得恒成立若存在,求出这个点纵坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
19.本小题分
如图,在多面体中,四边形为直角梯形,且满足,,,,平面.
证明:平面;
求平面与平面夹角的余弦值;
在线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
参考答案
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14.
15.解:过点作,垂足为,
由,得,
在四边形中,由,得,
所以四边形是平行四边形,
所以,,
所以的面积为;
连接,
因为,,
所以,
在中,由,得,
所以为等边三角形,,
,,
在中,由余弦定理,
可得
.
16.解:易知抛物线的焦点为,
所以,
解得,
则抛物线的方程为;
易知直线斜率不为,
设直线的方程为,,,
联立,消去并整理得,
此时,
由韦达定理得,,
因为,,
所以
.
则为定值,定值为.
17.证明:取的中点,连接,
,,
,,且,
四边形是平行四边形,,,
,,,
,,
,即,
平面,平面,,
又,平面,平面,平面,
平面,平面平面.
解:连接,,,
由可知,,四边形是平行四边形,
,且,
是异面直线和所成角,即,
设,
,,是等边三角形,
而,
,解得,即,
,,,
由知,平面,,
,
,
设点到平面的距离为,
,
,
所以,
即点到平面的距离为.
18.解:因为椭圆的焦点和短轴端点构成边长为的正方形,
所以,
所以,
因此的标准方程为,
所以.
设点的坐标为,
如果过点的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为,
设,,
由可得,
所以,
,
而,
所以,
,
因为恒成立,故,
解得;
如果过点的动直线的斜率不存在,
那么或,
此时只需.
由可知,,
所以存在,使得恒成立.
19.解:证明:因为且,所以四边形为平行四边形,
又,所以四边形为菱形,所以.
因为平面,平面,所以,
又,,平面,,
所以平面,
又平面,所以,
又,,平面,,
所以平面.
因为平面,平面,所以,
又,,
以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,,
所以,
由知平面的法向量为,
设平面的法向量为,
则,则,
令,得,,所以.
故,
平面与平面夹角的余弦值为;
假设线段上存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,
设,
则
,
解得或,
所以线段上存在点,当或时,
使得直线与平面所成角的正弦值为.
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