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2024-2025学年江西省宜春市丰城九中日新班高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模( )
A. B. C. D.
3.已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“，平行”是“，不相交”的( )
A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线与圆：相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，为坐标原点，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知点是双曲线：上的动点，，分别是双曲线的左、右焦点为坐标原点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是函数的部分图象，下列说法正确的是( )
A. 函数的周期是
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
B. 已知两个向量，，且，则
C. 若，且，，则
D. 点关于平面对称的点的坐标是
11.设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则( )
A. B.
C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已用，，则在方向上的投影向量为______．
13.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，上顶点为，且内切圆的半径为，则椭圆的方程为______．
14.在正方体中，为的中点，为底面上一动点，与底面所成的角为，若，且该正方体的外接球的体积为，则动点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面四边形中，，为线段的中点，，．
若，求的面积；
若，求．
16.本小题分
已知抛物线：的焦点为．
求的方程；
若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，，，．
求证：平面平面；
若异面直线和所成角为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆：的焦点和短轴顶点构成边长为的正方形．
求椭圆的标准方程和离心率；
过点的动直线与椭圆有两个交点，在轴上是否存在点使得恒成立若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足，，，，平面．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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14.
15.解：过点作，垂足为，
由，得，
在四边形中，由，得，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
所以的面积为；
连接，
因为，，
所以，
在中，由，得，
所以为等边三角形，，
，，
在中，由余弦定理，
可得
．
16.解：易知抛物线的焦点为，
所以，
解得，
则抛物线的方程为；
易知直线斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为，，
所以
．
则为定值，定值为．
17.证明：取的中点，连接，
，，
，，且，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，，
，即，
平面，平面，，
又，平面，平面，平面，
平面，平面平面．
解：连接，，，
由可知，，四边形是平行四边形，
，且，
是异面直线和所成角，即，
设，
，，是等边三角形，
而，
，解得，即，
，，，
由知，平面，，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，
所以，
即点到平面的距离为．
18.解：因为椭圆的焦点和短轴端点构成边长为的正方形，
所以，
所以，
因此的标准方程为，
所以．
设点的坐标为，
如果过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为，
设，，
由可得，
所以，
，
而，
所以，
，
因为恒成立，故，
解得；
如果过点的动直线的斜率不存在，
那么或，
此时只需．
由可知，，
所以存在，使得恒成立．
19.解：证明：因为且，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，，
所以平面．
因为平面，平面，所以，
又，，
以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，
由知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得，，所以．
故，
平面与平面夹角的余弦值为；
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，
则
，
解得或，
所以线段上存在点，当或时，
使得直线与平面所成角的正弦值为．
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