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2024-2025 学年重庆市南岸区南坪中学高一（下）5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知复数 = 1+ ，则复数 共轭复数的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. 1 12 D. 2
2.已知| | = 2，| | = 3，| + | = 19，则 与 的夹角为( )
A. 2 5 3 B. 6 C. 3 D. 6
3.钝角△ 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 = 1， = 3， = 30°，则 =( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 30°或 90°
4.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2 相等，下列结论不正确的是( )
A.圆柱的侧面积为 4 2 B.三个几何体的表面积中，球的表面积最小
C.圆锥的侧面积为 5 2 D.圆柱的侧面积与球表面积相等
5 3 4 .如果 角的终边经过点( 5 , 5 )，那么 sin( 2 + ) + cos( ) + tan(2 ) =( )
A. 4 B. 43 3 C.
3 D. 34 4
2 2 2
6.△ 的内角 ， ， 3( + )的对边分别为 ， ， .若△ 的面积为 12 ，则 =( )
A. B. C. D. 2 3 4 6
7.在△ 中， = 3 ， = 2 ， 是 的中点， 与 交于点 ，若 = + ，则 + =( )
A. 3 47 B. 7 C.
6
7 D. 1
8.在三棱锥 中，底面△ 为斜边 = 2 2的等腰直角三角形，顶点 在底面 上的射影为
的中点.若 = 2， 为线段 上的一个动点，则 + 的最小值为( )
A. 6 + 2 B. 2 3 C. 2( 3 + 1) D. 2( 3 1)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 为两个平面， 、 为两条直线，且 ∩ = .下述四个命题为真命题的有( )
A.若 // ，则 // 且 // B.若 // ，则 平行于平面 内的无数条直线
C.若 // 且 // ，则 // D.若 在平面 外，则 与 平行或异面
10.下列命题中正确的是( )
A.函数 ( ) = 4 + 1( > 0 且 ≠ 1)的图象恒过定点(4,2)
B.命题：“ ≥ 0， 2 ≥ 0”的否定是“ < 0， 2 < 0”
C.函数 = 2 + 2 既是偶函数，又在(0, + ∞)上单调递增
D.若函数 ( 1) = 2 3 ，则 ( ) = 2 2
11.已知锐角△ ，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，下列命题正确的是( )
A.“ > ”是“ + > 2”的必要不充分条件
B.若 2 = 2 ，则△ 是等腰三角形
C.若 2 = 2 + ，则 的取值范围( 2, 3)
D. 2 = 2 + 1 1 (1, 2 3若 ，则 的取值范围 3 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 3 = ，则 30 = ______. (用 表示)
13.四面体 中， = 2 2, = 2， 、 分别为 、 的中点， = 1，则异面直线 与 所成
的角是______．
14 7 .如图所示，有一块三角形的空地，∠ = 12， = 4 2千米， = 4
千米，则∠ = ______；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三

个顶点为 ， ， ，其中 ， 为 边上的点，若使∠ = 6，则 +
的最小值为______千米．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 1 = 2 是一元二次方程 2 + = 0 的一个复数根．
(1)求 2 的值；
(2)若 2 = 2 5 + 4 + ( 4) , ∈ 为纯虚数，求 1 2．
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16.(本小题 15 分)
由直四棱柱 1 1 1 1截去三棱锥 1 1 1后得到的几何体如图所示，四边形 为平行四边形，
为 与 的交点．
(1)求证： 1 //平面 1 1；
(2)求证：平面 1 //平面 1 1；
(3)设平面 1 1与底面 的交线为 ，求证： 1 1// ．
17.(本小题 15 分)
在△ 3中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = 5．
(1)若△ 的面积为 3，求 的值；
(2)设 = (2 , 1) = ( , cos 2 ， 2 )，且 // ，求 sin( 2 )的值．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥平面 ，且 = = 2，点 为线段 的中
点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥平面 ；
(3)求三棱锥 的体积．
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19.(本小题 17 分)
如图，△ 中， = 2， = 1，点 在线段 上，△ 为等边三角形．
(1)若 = 2 ，∠ = 120°，求线段 的长度；
(2)若 = 2 ，求线段 的最大值；
(3)若 平分∠ ，求△ 与△ 内切圆半径之比的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. + 1
13. 4
14. 6 8( 3 1)
15.解：(1)由题意，(2 )2 (2 ) + = 0，即 3 2 + + ( 4) = 0，解得 = 4， = 5，
所以 2 = 6；
(2)由题意， 2 5 + 4 = 0 且 4 ≠ 0，解得 = 1， 2 = 3 ，
则 1 2 = (2 )( 3 ) = 3 6 ．
16.证明：(1)取 1 1的中点 1，连接 1， 1 1，
∵ 1 1 1 1是直四棱柱，
∴ 1 1// 且 1 1 = ，
∴四边形 1 1为平行四边形，
∴ 1 // 1 ，
又 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ 1 //平面 1 1．
(2) ∵ 1// 1且 1 = 1， 1// 1且 1 = 1，
∴ 1// 1且 1 = 1，
∴四边形 1 1 是平行四边形，∴ // 1 1，
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∵ 平面 1 1， 1 1 平面 1 1，
∴ //平面 1 1，
由(1)得 1 //平面 1 1，
∵ ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 ，
∴平面 1 //平面 1 1．
(3)由(2)得 // 1 1，
∵ 1 1 平面 ， 平面 ，
∴ 1 1//平面 ，
∵ 1 1 平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 = ，
∴ 1 1// ．
17.解：(1) 3 4因为 = 5，所以 = 5
1
则 △ = 2 |
| | | = 2 | | | | = 3，即| | | 5
| = 152，
=
3 3 15 9又
| | |
= 5，所以 = 5 ×| 2 = 2；
(2) // 2 cos = = = 因为 ，所以 2 2 ，即 ，所以 4，
= 4 = 3 = = 2因为 5， 5， 2 ，
所以 = sin( + ) = + = 45 ×
2 3 2 7
2 + 5 × 2 = 10 2，
= cos( + ) = + = 35 ×
2 4 2 2
2 + 5 × 2 = 10，
则 2 = 2 = 2 × 7 2 7 2 2410 2 × 10 = 25， 2 = 2
2 1 = 2 × 100 1 = 25，
所以 sin( 2 ) = 2 2 = 22 × (
24
25 )
2 × 7 31 22 25 = 50 ．
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18.解：(1)证明：如图，设 ∩ = ，连接 ，
易知 为 中点，又 为 的中点，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)证明：由点 为线段 的中点， = ，故 AE⊥ ，
由 ⊥平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，
又底面 是正方形，故 AD⊥ ，
又 、 平面 ， ∩ = ，
故 CD⊥平面 ，又 平面 ，
故 CD⊥ ，又 、 平面 ， ∩ = ，
故 AE⊥平面 ；
(3)因为点 为线段 的中点，
所以 = 1 1 1 1 2 = = 2 = 2 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 3．
19.解：(1)因为 = 2 , ∠ = 120°，
所以 = + = + 2 = + 2 ( ) = 2 + 1 3 3 3 3 ，
4
即| |2 = 9 |
|2 + 4 9
+ 19 |
|2，
4 4
所以| |2 = 9 × 4 + 9 × 2 × 1 × (
1 ) + 1 × 1 = 132 9 9，
13
所以| | = 3 ；
(2)由(1)可知 = 2 3
+ 1 3
，
所以 = = ( 2 + 1 ) = 2 1 3 3 3 3 ，
设∠ = ， ∈ (0, )，且△ 为等边三角形，
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所以| |2 = ( 2 1 )2 = | |2 + 4 | |2 + 1 | |2 + 2( 2 1 + 2 3 3 9 9 3 3 9 )，
即| |2 = 4 + 4 1 29 × 4+ 9 + 2( 3 × 2 × 2 ×
1 12 3 × 1 × 2 × cos( +

3 ) +
2
9 × 1 × 2 × )，
| |2 = 29 + 2 + 2 3 = 29 + 4 7 ( 7 + 3 21故 9 9 3 9 9 14 14 ) =
29 4 7
9 + 9 sin( + )，
且 = 7 3 2114 , = 14 ，
29 4 7
所以当 sin( + ) = 1 时，(| |2) = 9 + 9 ，
所以(| |) 1+2 7 = 3 ；
(3)因为 平分∠ ，
| | = | | 1 2所以由角平分线定理得| | | |，即| | = | |，
故| | = 2| |，
设∠ = ∠ = ，| | = 2| | = 2 ( > 0)，△ ，△ 的内切圆半径分别为 ， ，
在
| | + | | > | | 1 + 3 > 2 1
中 | | | || < | |，则 |1 3 | < 2，解得3 < < 1，
1因为 △ = 2 | || | , △ =
1
2 | || | ，
1
△ 2| || | = = | | 1所以 △ 1
= ，
2| || | | | 2
2 2 2 2 2
在△ cos∠ = | | +| | | | 1+ | |中，由余弦定理得 2| || | = 2 ，
2 2 2 2
在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = | | +| | | | 9 32| || | = 6 ，
1+ 2 | |2 9 2 3
即 2 = 6 ，解得| | = 2 2
2，
1
又因为 △ = 2 (| | + | | + | |) =
1
2 (1 + 2 2
2 + ) ，
= 1 1 2△ 2 (| | + | | + | |) = 2 (2 + 2 2 + 2 ) ，
= 2+ 2 2
2+2 = 1+ 1+ 1 1所以 = (1 + )，2(1+ 2 2 2+ ) 2 2(1+ 2 2 2+ ) 2 1+ 2(1 )1+
令 = 1 + ，则 =
1
2 (1 +
1 )，
1+ 4 2
1 < < 1 4因为3 ，所以3 < < 2，
1 < 1则2 <
3 4
4，故 0 < 2 < 1,1 < 1 +
4
2 < 2，
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3
即2 < 1 +
1 < 2 3 1，故4 < = 2 (1 +
1 ) < 1，
1+ 4 2 1+ 4 2
所以△ 与△ 3的内切圆半径之比的范围为( 4 , 1)．
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