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2024-2025学年辽宁省实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的公比为，则是为递增数列的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若直线是曲线的切线，则( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
6.若数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
7.已知变量与变量的关系可以用模型为常数拟合，设，变换后得到一组数据如下：
由上表可得经验回归方程为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，成等比数列，且，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则( )
A. B. 是等差数列 C. 的最大值是 D. 的最大值是
10.已知恰有个零点，则实数的可能取值是( )
A. B. C. D.
11.一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个黑球，个白球，现从中任取个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得分，取出一个黑球得分，随机变量为取出个球的总得分，则下列结论中正确的是( )
A. 服从超几何分布 B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极值点是______．
13.对一个物理量做次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于，则至少要测量______次
若，则
14.甲乙丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了位老人，结果如下面表中所示：
男 女 合计
需要
不需要
合计
求，；
能否有的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？
根据的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：，
16.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有最大值，求证：．
17.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
令，求的前项和；
令，证明：．
18.本小题分
甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立．
当时，比赛采用局胜制，求甲最终获胜的概率；
若比赛采用局胜制比局胜制对甲更有利即甲最终获胜概率更大，确定的取值范围；
若甲乙共进行局比赛，随机变量表示甲获胜的局数．
令，，若是数列的唯一的最大项，确定的取值范围．
19.本小题分
设和是两个等差数列，记，，，，其中表示，，，这个数中最大的数．
若，，求，，的值；
若为常数列，证明是等差数列；
证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由列联表知，．
由列联表得，
所以有的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关．
采用分层抽样．
理由如下：由知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
16.解：当时，，，
则，，
故曲线在点处的切线方程是；
证明：由，，
当时，，故在上单调递增，无最大值；
当时，时，时，，
则在上单调递增，在上单调递减．
故的最大值是，
则，
令，则，则在上单调递增，在上单调递减，
又，则即，得证．
17.解：等比数列的前项和为，且，
由，，
解得，即有，
解得，
由，得，
两式相减，得
即，又是等比数列，故公比，
则．
由题，
，
，
两式相减，得
，
即．
证明：，
得，
则．
18.解：根据题目：每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立．
局胜制甲最终获胜结果可以是：：、：，则甲最终获胜概率是：
．
由题：比赛采用局胜制比局胜制对甲更有利即甲最终获胜概率更大，
局胜制甲最终获胜结果可以是：：、：，则甲最终获胜概率是：
，
局胜制甲最终获胜结果可以是：：、：、：，则甲最终获胜概率是：
，
由题知，即，
，
又，则的取值范围是；
由题，，故．
是数列的唯一的最大项，则必有，
，解得：，
此时，，
则时，；时，；
即，故是数列的唯一的最大项．
综上，的取值范围是．
19.解：已知，，
，，，，，，
当时，，
当时，，，，
当时，．
证明：设为常数，的通项公式为．
，，，
先考虑，
则时，，
所以．
当时，则，，
此时为常数，所以是等差数列；
当时，则，，
此时是常数列，也是等差数列；
综上所述：是等差数列；
证明：设数列和的公差分别为，，
则，
所以，
当时，取正整数，则当时，，因此，
此时，，，，是等差数列；
当时，对任意，
此时，，，，，，是等差数列；
当时，当时，有，
所以
，
对任意正数，取正整数，
故当时，．
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