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2024-2025 学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知曲线 上点的坐标都是方程 ( , ) = 0 的解，则下列命题中正确的是( )
A.曲线 是方程 ( , ) = 0 的解
B.不在曲线 上的点的坐标一定不是方程 ( , ) = 0 的解
C.凡坐标不满足方程 ( , ) = 0 的点都不在曲线 上
D.以方程 ( , ) = 0 的解为坐标的点都在曲线 上
2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为 0.6，乙中靶的概率为 0.7，且两人是否中靶相互
独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A.两人都中靶的概率为 0.12 B.两人都不中靶的概率为 0.42
C.恰有一人中靶的概率为 0.46 D.至少一人中靶的概率为 0.74
3 .函数 ( ) = 的单调递减区间为( )
A. (0, ) B. ( , + ∞) C. (0,1) ∪ (1, ) D. (0,1)和(1, )
4.已知函数 = ( )的导函数 ′( )的图像如图所示，则下列结论中正确
的是( )
A.函数 = ( )在区间( 3,3)内有三个零点
B.函数 = 1 是函数 = ( )的一个极值点
C.曲线 = ( )在点( 2, ( 2))处的切线斜率小于零
D.函数 = ( )在区间( 1,1)上是严格减函数
二、填空题：本题共 12 小题，共 36 分。
2 25 .双曲线 5 4 = 1 的焦点坐标是______．
6.从 1～6 个 6 个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为______．
7 .设函数 ( ) = ，则 ′( 4 ) = ______．
8.抛物线 2 = 1 的准线方程是 = 2，则实数 的值为______．
2 2
9 .与椭圆 9 + 4 = 1 有相同焦点，且短轴长为 4 5的椭圆方程是______．
10 1.函数 ( ) = 2
2 2 + 的驻点为______．
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11.已知点 (3,0)和 ( 3,0)，动点 满足| | | | = 4，则点 的轨迹方程是______．
12.已知双曲线 的一条渐近线方程为 3 = 0，且点( 2, 3)是 上的一点，则双曲线 的标准方程为
______．
13.直线 + + 2 = 0 分别与 轴、 轴相交于 、 两点，点 在圆( 2)2 + 2 = 2 上运动，则△ 面积
的最小值为______．
14.已知曲线 = 1 3 43 + 3，则过点 (2,4)的切线方程为______．
2 215 .已知二次曲线 的方程：9 + 4 = 1.当 、 为正整数，且 < 时存在两条曲线 、 ，其交点
与点 1( 5, 0), 2( 5, 0)满足 1 ⊥ 2，则 + = ______．
16.已知实数 ， 满足 | | + | |3 = 1，则| 3 + 5|的取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 10 分)
学校从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 人参加志愿者服务活动，求选出的 2 人中至少有 1 名女同学的概
率．
18.(本小题 10 分)
已知函数 ( ) = + + 1，若 ( )的极大值为 1，求实数 的值．
19.(本小题 10 分)
设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本 (单位：万元)与生产量 (单位：百件)间的函数关
系是 ( ) = 10000 + 20 ；销售收入 (单位：万元)与生产量 间的函数关系是 ( ) =
1 330 + 3
2 + 290 , 0 < < 120
．
25400, ≥ 120
(Ⅰ)把商品的利润表示为生产量 的函数；
(Ⅱ)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
20.(本小题 10 分)

2 2
已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点与椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点 重合，椭圆 的短轴长为 2 3．
(1)求椭圆 的方程；
(2) 1过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，交抛物线 于 ， 两点，请问是否存在实常数 ，使| | | |
为定值？若存在，求出 的值及定值；若不存在，说明理由．
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21.(本小题 12 分)
2 2
已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)
2
的离心率为 2 ，且过点(2, 2).
(1)求椭圆的标准方程；
2(2)四边形 的顶点在椭圆上，且对角线 、 过原点 ，若 = 2，
( )求 的最值；
( )求证：四边形 的面积为定值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.( ± 3,0)
6.25
7. 22
8. 18
9.
2 2
25 + 20 = 1
10. = 1
2 211. 4 5 = 1( > 0)
2
12. 2 9 = 1
13.2
14. + 2 = 0，或 4 4 = 0
15.8
16.[5 6, 5)
2
17. 3解：由题意，选出的 2 人都是男生的概率 31 = 2 = 5 10
，
2 3 7所以选出的 人中至少有 1 名女同学的概率 2 = 1 1 = 1 10 = 10．
18. 1解：由已知， ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = + =
+1
，
当 < 0 时，令 ′( ) > 0，得 0 < < 1 1 ，令 ′( ) < 0，得 > ，
所以 ( )在(0, 1 )上单调递增，在(
1
, + ∞)上单调递减，
故当 = 1 时， ( )取得极大值，
1 1 1
极大值为 ( ) = ln( ) = 1，解得 = ；
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
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( )在(0, + ∞)上单调递增，函数 ( )无极值；
1
故实数 的值为 ．
1 3 2
19.解：( ) ( ) = ( ) ( ) = 30 + 3 + 270 10000,0 < < 120由题意，利润 ．
15400 20 , ≥ 120
( )由(1)，当 0 < < 120 时， ( ) = 1 3 230 + 3 + 270 10000，
所以 1′( ) = 210 + 6 + 270 =
1
10 ( 90)( + 30)，令 ′( ) = 0，则 = 90 或 = 30(舍)，
故 ∈ (0,90)， ′( ) > 0，即 ( )递增； ∈ (90,120)， ′( ) < 0，即 ( )递减；
所以 ( )的极大值也是最大值为 (90) = 14300(万元)；
当 ≥ 120 时， ( )递减，此时最大值为 (120) = 13000(万元)．
综上，使商品的利润最大，产量为 90 百件．
20.解：(1)抛物线 ： 2 = 4 的焦点坐标为(1,0)，故 F(1,0)，
且 2 = 2 3，解得： = 3，
从而 2 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4，
2 2
所以椭圆 的方程为 ： 4 +

3 = 1；
(2)当直线斜率为 0 时，直线 与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线 的斜率不为 0，设方程为 = 1 + ，
联立 = 1 + 与 ： 2 = 4 ，可得 2 4 4 = 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，故 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，
则 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 2 + ( 1 + 2) = 4 2 + 2，
故| | = + + 2 = 4 21 2 + 4，
2 2
联立 = 1 + 与 ： 2 24 + 3 = 1，可得：(3 + 4) + 6 9 = 0，
设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
6 9
则 3 + 4 = 3 2+4 , 3 4 = 3 2+4，
6 36 12( 2
则| | = 1 + 2 ( 3 + 4)2 4 3 4 = 1+ 2 ( 2
+1)
3 2+4 ) + 3 2+4 = 3 2+4 ，
1 (3 2+4) 1 3 2+4 3
所以| | | | = 12( 2+1) 4 2+4 = 12 2+12 ，
3 = 4 3令12 12 ，解得： = 3，
1 9
2+9 3
此时| | | |为定值12 2+12 = 4．
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= 2 2 2
21.解：(1)由题意可得 4 + 2
= 8
2 2 = 1
，解得
2
，
= 2 = 4
2 = 2 + 2
∴
2 2
椭圆的标准方程为 8 + 4 = 1．
(2)( )设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，不妨设 1 > 0， 2 > 0．
2
设 = ，∵ =
= 1 1 2 2，∴ = 2 ．
1
可得直线 、 的方程分别为 = ， = 2 ．
= = 12
联立 2 2 ，+ = 1 2 +
2 ．
8 4 8 4 = 1
解得 2 2 4| |1 = ， 1+2 2 2
= ．
1+2 2
∴ = + = 1 = 4 2| |1 2 1 2 2 1 2 1+2 2 ≤
4 2| |
2 2| | = 2
2
，当且仅当| | = 2 时取等号．
可知：当 1 > 0， 2 > 0 时，有最大值 2．
当 1 < 0， 2 < 0.有最小值 2．
)由椭圆的对称性可知 四边形 = 4 × △ = 2| || |sin∠ ．
∴ 2 = 4[| |
2| |2 ( )2] = 4[( 2 + 21 1)( 2 2 22 + 2) ( 1 2 + 1 2) ] = 4( 2四边形 1 2 2 1)
= 4( 1 22 1 2 1 2) = 4( +
1 )2 8 2 2 ( 1+2 2 )
2 = 128，
∴四边形 的面积= 8 2为定值．
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