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2024-2025 学年重庆十一中教育集团高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算 24 35的值为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
2 3.某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程 (单位： )与时间 (单位： )之间的关系为： ( ) = 2 2 + 2 ，
当 = 3 时，运动员的滑雪瞬时速度为( )
A. 10.5 / B. 13.5 / C. 15.0 / D. 18.0 /
3.用 1，2，3，4，5 这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A. 24 个 B. 30 个 C. 40 个 D. 60 个
4.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( )的图象是一条连续不断的曲线， ( )的导函
数为 ′( ).若函数 = ′( )的图象如图所示，则( )
A. ( )在区间( 1, + ∞)上单调递增
B. ( )在区间( ∞,0)上单调递减
C. (0) < ( 1) < ( 2)
D. ( 32 ) < (
1
2 ) < (1)
5.某网红奶茶店“ ”在市中心有三个分店： 店、 店、 店.根据平台数据，顾客选择 、 、 店
的概率分别为 30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过 15 分钟的概率分别为： 店 20%、 店 40%、
店 30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过 15 分钟的概率是( )
A. 28% B. 32% C. 35% D. 40%
6.从编号 1～10 的 10 张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件 ：“第一次抽到数字为 5 的倍数”，事件
：“第二次抽到的数字小于第一次”，则 ( | ) =( )
A. 1 5 13 135 B. 18 C. 18 D. 90
7.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，当 < 0 时， ( ) + ′( ) < 0，若 (2) = 0，则不等式 ( ) > 0
的解集为( )
A. ( 2,0) ∪ (0,2) B. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞)
C. ( 2,0) ∪ (2, + ∞) D. ( ∞, 2) ∪ (0,2)
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8.已知函数 ( ) = ( ∈ ) ，对于任意 1, 2 ∈ (0, 3 )，当 1 ≠
(
时，都有 1
) ( 2)
2 >
1
成立，则
1 2 2
的取值范围为( )
A. (0, + ∞) B. [0, + ∞) C. ( 12 , + ∞) D. [
1
2 , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件 ， 满足 ( ) = 0.5， ( ) = 0.2，则( )
A.若 ，则 ( ) = 0.5 B.若 与 互斥，则 ( + ) = 0.7

C.若 与 相互独立，则 ( ) = 0.9 D.若 ( | ) = 0.2，则 与 相互独立
10.2025 年重庆市“心之向往，渝跑渝爱”主题马拉松赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑和亲
子跑四个项目.在渝大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等 5 名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全
程马拉松、半程马拉松和健康跑、亲子跑四个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是( )
A.若全程马拉松项目必须安排 2 人，其余三项各安排 1 人，则有 60 种不同的分配方案
B.若每个比赛项目至少安排 1 人，且每人均被安排，则有 240 种不同的分配方案
C.安排这 5 人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有 42 种不同的站法
D.安排这 5 人排成一排拍照，若甲不站排头和排尾，则有 72 种不同的分配方案
11.已知函数 ( ) = ( 1)( )，则下列说法正确的是( )
A.若 = ，则 ( )有 2 个零点
B.若 ≤ 0，则 ( ) < 0 的解集为(0,1)
C. > 0， ( )在(0, + ∞)上有极小值
D. 0 < < 1， ( )在(0, + ∞)上有极大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.随机变量 的分布列如表所示：
1 2 3 4
0.1 0.3 2
则 ( ≤ 2) = ______．
13.已知函数 ( ) = ，若函数 = ( ) ( 为常数)有且仅有 2 个零点，则 的取值范围是______．
14.甲、乙、丙三人一起踢毽子，第 1 次由甲踢出毽子，每次踢毽子时，踢毽子者都等可能地将毽子踢给另
外两个人中的任何一人，则 3 次踢毽子后毽子在乙手中的概率为______， 次踢毽子后毽子在乙手中的概率
为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 3 + + 在 = 1 处取得极值 1．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求 ( )在区间[ 2,3]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
2
在( + ) 的展开式中，_____．
给出下列条件：①二项式系数和为 64；②第三项的二项式系数为 15；③只有第 4 项的二项式系数最大；试
在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求 的值，并求出展开式中的常数项；
(2) 2求(1 + 2)( + ) 展开式中
4的系数．
17.(本小题 15 分)
2025 年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛
1 2
都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为2和3，乙在预赛和半决赛中获胜的概
2 3 4 1 2
率分别为3和4，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和3 ，其中3 < < 3 .假设每次比赛结果相互独
立．
(1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？
(2) 5如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为72，求 的值；
(3)在(2)的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为 ，求 的分布列．
18.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = (1 ) + ， ∈ ．
(1)若 > 0，判断 ( )的单调性；
(2)若 ( ) ≤ 0，求 的值；
(3)已知 ( ) = + 12， ∈ (0, + ∞).若 = 1，证明： ( ) > ( )．
19.(本小题 17 分)
牛顿法( ′ )是牛顿在 17 世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，
设 是 ( ) = 0 的根，任意选取 0作为 的初始近似值，曲线 = ( )在点( 0, ( 0))处的切线为 1，设 1与
轴交点的横坐标为 1，并称 1为 的 1 次近似值；曲线 = ( )在点( 1, ( 1))处的切线为 2，设 2与 轴交点
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的横坐标为 2，称 2为 的 2 次近似值.一般地，曲线 = ( )在点( , ( ))( ∈ )处的切线为 +1，记 +1
与 轴交点的横坐标为 +1，并称 +1为 的 + 1 次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取
为方程 ( ) = 0 的近似解.对于函数 ( ) = + ，已知 ( ) = 0，并取 0 = 1 作为 的初始近似值．
(1)计算 1与 2的值；
(2)求出 +1和 的关系( ∈ )；
(3)设 +1 = ( )， ( ) = ( + 1) ( )，若关于 的方程 ( ) = 的两个根分别为 1， 2( 1 < 2)，证明：
2 1 > ．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0.3
13. 1【答案】(0, )
14. 3 1 1 1【答案】8；3+ 6 × ( 2 )
1．
15.【答案】解：(1) ( ) = 3 3 + + ，则 ′( ) = 9 2 + ，
因函数 ( ) = 3 3 + + 在 = 1 处取得极值 1，
(1) = 3 + + = 1 = 9
则 ，解得 ，
′(1) = 9 + = 0 = 5
= 9
经检验， = 5 符合题意．
(2)由(1)得 ( ) = 3 3 9 + 5， ′( ) = 9 2 9，
′( ) > 0，得 2 < < 1 或 1 < < 3， ′( ) < 0，得 1 < < 1，
所以 ( )在( 2, 1)和(1,3)上单调递增，在( 1,1)上单调递减，
故 ( )在 = 1 处取得极大值，在 = 1 处取得极小值，
( 2) = 1， ( 1) = 11， (1) = 1， (3) = 59，
则 ( )在区间[ 2,3]上的最大值为 59，最小值为 1．
16.解：(1)若选①，则2 = 64 2 2，解得 = 6，此时二项式( + )6 的常数项为
3 3 3
6 ( ) = 160；
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若选②，则 2 = 15，解得 = 6
2 2
，此时二项式( + )
6的常数项为 36 3( )3 = 160；
2 2
若选③，则 3 最大，且 为偶数，则 = 6，此时二项式( + 6 3 3 3 ) 的常数项为 6 ( ) = 160；
2 2综上，选①②③： 的值为 6，且此时二项式( + )6 的常数项为
3 3 3
6 ( ) = 160；
(2)由(1)可知 = 6 2，则多项式为(1 + 2)( + )6 ，
则多项式的展开式中含 4的项为 1 × 1 5( 2 )1 + 2 × 2 4( 2 )26 6 = 72
4，
所以已知多项式的展开式中 4的系数为 72．
17.解：(1)根据题意，设 =“甲进入决赛”， =“乙进入决赛”， =“丙进入决赛”，
则 ( ) = 12 ×
2
3 =
1
3，
( ) = 2 × 33 4 =
1
2，
( ) = ( 43 )；
(2) 5根据题意，如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为72，
则 ( ) = ( ) ( ) ( ) = 13 ×
1
2 × (
4
3 ) =
5
72，
变形可得 12 2 16 + 5 = 0，解可得 = 1 52或6，
1 2 1
又由3 < < 3，则 = 2；
(3)由(2) 1 5的结论， = 2，丙进入决赛的概率 ( ) = 12，
则变量 可取的值为 0、1、2、3，

( = 0) = ( ) = (1 13 ) × (1
1 5 7
2 ) × (1 12 ) = 36，

( = 1) = ( ) + ( ) + ( ) = 13 × (1
1 ) × (1 5 1 1 5 12 12 ) + (1 3 ) × 2 × (1 12 ) + (1 3 ) ×
(1 1 5 312 ) × 12 = 72，
( = 3) = 572，
( = 2) = 1 ( = 0) ( = 1) ( = 3) = 1136，
则 的分布列为
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0 1 2 3
7 31 11 5
36 72 36 72
18.解：(1) ′( ) = + 1，因为 > 0，令 ′( ) = 0，解得： = ，
所以当 ′( ) > 0 时， < ，
当 ′( ) < 0 时， > ，
所以 ( )在( ∞, )上单调递增，在( , + ∞)上递减；
(2)由(1)可知，当 > 0 时， ( )在( ∞, )上单调递增，
在( , + ∞)上单调递减，
故 ( ) = ( )，
若 ( ) ≤ 0，则 ( ) ≤ 0，即 ( ) ≤ 0，
代入可得： ( ) = (1 ) = 1 ，
令 ( ) = 1 ( > 0)，则 ′( ) = 1 1 =
1
，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
则 ( ) = (1) = 0，即 ( ) ≥ 0 恒成立，且 (1) = 0，
所以 ( ) = 0，即 = 1；
当 < 0 时， ′( ) = + 1 > 0 恒成立，即 ( )在 上单调递增，又 (0) = 0，
所以当 > 0， ( ) > (0) = 0， ( ) ≤ 0 不恒成立，
故 < 0 不成立．
综上所述 = 1；
(3)证明：令 ( ) = ( ) ( ) = ( 1) + 32， ∈ (0, + ∞)，
′( ) = 1，令 ( ) = 1，
′( ) = ( + 1) > 0，
所以 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
1 因为 ′( 2 ) = 2 1 < 0，
′(1) = 1 > 0，
所以 ′( ) 1在( 2 , 1)上存在唯一零点 0，
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( ) = 0 0 = 1令 ′ 0 ，则 ，0
令 ′( ) > 0，所以 > 0；令 ′( ) < 0，所以 0 < < 0；
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = ( ) = ( 1) 3 5 0 0 0 0 + 2 = 2 ( +
1 1
0 )，又2 < 0 < 1，0
所以 2 < 0 +
1 5
< ，0 2
所以 ( ) = ( 0) > 0，得证．
19.解：(1)函数 ( ) = + ，求导得 ′( ) = 1 + 1 ，所以 ( )在 = 0处切线方程为 ( 0) =
( )( ) = ( 0) = 0+ 0 = 0(1 )′ 00 0 ， 1 0 0 1 +1 ，当 0 = 1
1
时，
′( ) 1+ 1
= 2，0 00
(1 ) 1 1+ 2
同理 1 12 = +1 ，而 1 = 2，所以 2 =1 3
；
(2)可以得到 ( )在 = 处切线方程为： ( ) = ′( )( )，
= 0 = (1 )令 ，从而 +1 +1 = ( )；
(3)证明：由(2) = (1 ) (1 )知， +1 +1 = ( )，则 ( ) = +1 , > 0，
令 ( ) = (1 )，得 ′( ) = ，当 > 1 时， ′( ) < 0，当 0 < < 1 时， ′( ) > 0；
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以 = 1 是 ( )的极大值点，
也是 ( )的最大值点，即 ( ) = (1) = 1，
又 0 < < 时， ( ) > 0， > 时， ( ) < 0，
所以当方程 ( ) = 有两个根时，必满足 0 < 1 < 1 < 2 < ，
1
曲线 = ( )过点(1,1)和点( , 0)的割线方程为 = 1 ( )，
1
下面证明： ( ) ≥ 1 ( )(1 ≤ ≤ )，
设 ( ) = ( ) 11 ( )(1 ≤ ≤ )，即 ( ) = (1 )
1
1 ( )，
1
则 ′( ) = + 1 1 = ( 1)，
1 1 1
所以 1 < < 1当 1 < < 时， ′( ) < 0，当 1 < < 1时， ′( ) > 0；
1
所以 ( )在( 1, )上 ( )单调递减， ( ) ≥ ( ) = 0，
1
在(1, 1)上单调递增， ( ) ≥ (1) = 0；
所以当 1 ≤ ≤ 时， ( ) ≥ 0，
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1
即 ( ) ≥ 1 ( )(1 ≤ ≤ )(当且仅当 = 1 或 = 时取等号)，
由于 1 < 2 < ，
1
所以 = ( 2) > 1 ( 2 )，解得 2 > + ①，
下面证明当 0 < ≤ 1 时， ( ) ≥ ， ( ) = ( ) = ，0 < ≤ 1，
因为 ≤ 0，
所以当 0 < ≤ 1 时， ( ) ≥ (当且仅当 = 1 时取等号)，
由于 0 < 1 < 1 所以 = ( 1) > 1，解得 1 > ，② +②，
得 2 1 > ．
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