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2024-2025学年山东省菏泽市高一下学期4月期中考试
数学试卷(A)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
3.如果是空间中两条直线，下列说法正确的是( )
A. 要么相交，要么平行 B. 要么相交，要么异面
C. 要么平行，要么垂直 D. 不相交时，要么平行，要么异面
4.若，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知三棱柱的个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为( )
A. B. C. D.
6.已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8.已知为的内心，三个角对应的边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的有( )
A. 平行四边形的直观图还是平行四边形 B. 菱形的直观图还是菱形
C. 梯形的直观图可能不是梯形 D. 正三角形的直观图不一定是等腰三角形
10.已知复数，，，则( )
A. 若，，的虚部依次为，，，则
B. 若，，的实部依次为，，，则
C.
D.
11.如图，在中，与交于点，是的靠近的三等分点，是的中点，且有，，则( )
A.
B.
C.
D. 过作直线分别交线段于点，设，，则的最小值为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则 ．
13.如图，圆锥的底面圆半径为，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
14.在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则 ；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角的对边分别为，且．
求角；
在中，，求周长的最大值．
16.本小题分
已知，，
当为何值时，最小？
当为何值时，与的夹角最小？
17.本小题分
请按所学立体几何相关内容，解答下面个问题：
一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为和，侧棱长为，求该棱台的体积．
18.本小题分
已知：任何一个复数都可以表示成的形式其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．
被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
方程为正整数有个不同的复数根．
设，求；
试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合．
19.本小题分
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点在中，角，，所对的边分别为，，，且若是的“费马点”，，．
求角
若，求的值
在的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.在中，由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，所以．
，故，
故，当且仅当时等号成立，
故周长的最大值为．

16.因，则，
于是得，
当时，最小，此时，，则，
所以当时，最小为．
设与的夹角为，有，而在上单调递减，
要最小，则当且仅当最大，
显然的最大值为，此时，即与共线同向，
由的向量坐标可得，故，
所以时，与的夹角最小．
17.设正方体的棱长为，圆柱底面半径为，母线长为，
则且，故，，
故正方体的体积与圆柱的体积之比为．
如图，连接，则，
由侧棱长为可得正四棱台的高为，
故该棱台的体积为．
18.依题意，，
所以
．
设，
则，
故，故
故，解得，
由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，
因此对应的依次为，
所以所求的集合是．

19.解：由已知得：，
即，
由正弦定理得：，
即，
因为，，
所以，．
因为，
所以三个内角均小于，为费马点，且，
设，，，
则，
所以，
由，
得：，所以，
由余弦定理得：，
即，
由知，所以，
又，联立，
解得，，
在，，中，
由余弦定理得，
因为，
所以，
所以
，
所以，
即，令，，
由对勾函数的性质知在上单调递减，上单调递增，
所以，
即的取值范围为
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