资源简介

第四辑
平面向量（选填题）…………………………………………………………………01
排列组合与二项式定理（选填题）…………………………………………………11
事件与概率、分布列与统计综合（选填题）……………………………………… 23
复数（选填题）………………………………………………………………………39
集合与常用逻辑用语（选填题）……………………………………………………4721世纪教育网(www.21cnjy.com)
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平面向量（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 3 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ） A． B． C．1 D．2 向量垂直的坐标表示；平面向量线性运算的坐标表示
2024年新高考II卷 3 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D．1 数量积的运算律；已知数量积求模；垂直关系的向量表示
2023年新高考I卷 3 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数
2023年新高考II卷 13 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 数量积的运算律
2022年新高考I卷 3 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A． B． C． D． 用基底表示向量
2022年新高考II卷 4 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ） A． B． C．5 D．6 向量夹角的坐标表示；平面向量线性运算的坐标表示
近三年新高考数学平面向量选填题考查情况总结
考点：涵盖向量垂直的坐标表示（2024年新课标Ⅰ卷）、数量积运算及向量垂直（2024年新课标Ⅱ卷）、向量线性运算与垂直（2023年新课标Ⅰ卷）、数量积运算律（2023年新课标Ⅱ卷）、用基底表示向量（2022年新课标Ⅰ卷）、向量夹角与线性运算（2022年新课标Ⅱ卷）。
题型：多为选择题，分值5分，侧重考查向量的坐标运算、数量积、垂直关系及线性运算，注重对向量基本概念和运算规则的理解与应用。
2025年新高考平面向量选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5分。
考查方向：延续对向量垂直、数量积、线性运算的考查，可能强化坐标运算与几何意义的结合，或涉及向量模长、夹角的综合计算，注重运算能力与逻辑推理，如根据向量垂直或数量积求参数，或利用坐标运算解决向量关系问题。
向量的运算
两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
向量的加减法
，
，
向量的数乘运算
，则：
向量的模
，则的模
相反向量
已知，则；已知
单位向量
向量的数量积
向量的夹角
投影向量
向量在上的投影向量为
向量的平行关系
向量的垂直关系
向量模的运算
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
【名校预测·第一题】（福建省福州第一中学2024-2025学年高三数学试题）
已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期第二学段期末考试数学试题
【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，即，
解得.
故选：B.
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．3或 D．或7
【答案】A
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
【分析】利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可.
【详解】因为，所以.
因为共线，所以，解得或.
又反向共线，代入验证可知时为同向，舍去.
而满足条件，所以.
故选：.
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围.
【详解】因为与夹角为钝角，
可以得出，解得：，
且不平行，则，
即且，即.
故答案为：
【名校预测·第四题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题
【分析】利用投影向量公式得，结合，利用数量积的运算律求得，代入数量积的夹角公式即可得解.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以，
又，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：A
【名校预测·第五题】（重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三下学期二诊数学试题）
已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【来源】重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三下学期二诊数学试题
【分析】根据模长关系可得，设，分类讨论点与直线的位置关系，结合圆的性质即可得结果.
【详解】由题意可知：，
因为，
即，则，
可得，且，所以，
设，
则，
由题意可知：，
若位于直线两侧，且，可知四点共圆，
且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点，
则的最大值即为圆的直径；
若位于直线同侧，且，可知四点共圆，
且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点，此时；
综上所述： 的最大值为2
故选：A.
【名师押题·第一题】已知向量，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】由得即可求解.
【详解】由.
故答案为：.
【名师押题·第二题】已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解.
【详解】已知单位向量，，故由得，
故，即，因此，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D．
【名师押题·第三题】已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用坐标表示向量共线可得.
【详解】，，
因为A，B，C三点共线，所以设，
即.
故选：B
【名师押题·第四题】在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（ ）.
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可．
【详解】
由图可知：，，
因为，所以，
整理得：，
根据平面向量基本定理可得：，解得，
所以，
故选：A．
【名师押题·第五题】在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形可得，再根据平面向量的线性运算与数量积的运算性质即可得结论.
【详解】

在等边中，，
由于点M为AB的中点，点N满足，
所以.
故选：D.
【名师押题·第六题】已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式．
【详解】，即．
故选：A.
排列组合与二项式定理（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考II卷 14 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 全排列问题；写出基本事件
2023年新高考I卷 13 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题
2023年新高考II卷 3 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
2022年新高考I卷 13 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 两个二项式乘积展开式的系数问题
2022年新高考II卷 5 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题
近三年新高考数学排列组合与二项式定理选填题考查情况总结
考点：涵盖排列问题（2024年新课标Ⅱ卷方格表选方格）、分类加法计数（2023年新课标Ⅰ卷）、分层抽样组合计数（2023年新课标Ⅱ卷）、二项式展开式系数（2022年新课标Ⅰ卷）、相邻排列问题（2022年新课标Ⅱ卷），侧重计数原理与公式应用。
题型：均为选填题，分值5分，注重实际情境中的计数与二项式定理简单计算。
2025年新高考排列组合与二项式定理选填题高考预测
题型与分值：预计为选填题，分值5分。
考查方向：延续排列组合实际应用（如分组、排队），二项式定理求特定项系数，或与概率等简单结合，强化计数原理（分类、分步）及公式运用，考查分析与计算能力。
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.组合数公式
===(∈N*，，且).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有种；
②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当时，无解；当时，有种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有
.
8.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
【名校预测·第一题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟数学试题）
若在的展开式中，含项的系数为80，则 ．（用数字作答）
【答案】2
【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
【分析】利用展开式的通项公式求出第 项，令的指数为3得的系数，列出方程解得．
【详解】展开式的通项为，
令 的展开式中的系数为 ，
∵展开式中x3的系数为80，
∴ .
∴.
故答案为：2.
【名校预测·第二题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．24 B．6 C． D．
【答案】D
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题
【分析】根据给定条件，求出展开式的通项，进而确定常数项并求解.
【详解】依题意，展开式中的通项公式为，
显然无解，由，得，
所以所求常数项为.
故选：D
【名校预测·第三题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟试卷）
2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16种 B．32种 C．48种 D．64种
【答案】B
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷
【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解.
【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法，
剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种，
所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种.
故选：.
【名校预测·第四题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有 种（用数字作答）
【答案】
【来源】辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题
【分析】对甲的所选吉祥物进行分类讨论，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分以下几种情况讨论：
若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择，
此时，不同的选择方法种数为种；
若甲选马作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择，
此时，不同的选择方法种数为种.
综上所述，不同的选择方法种数为种.
故答案为：.
【名校预测·第五题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研数学试卷）
现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】D
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（八）数学试卷
【解析】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.
【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，
故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,
从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，
即选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了排列知识的应用.
求解排列问题的六种主要方法:
1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;
2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;
3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;
4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;
5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;
6.间接法:正难则反、等价转化的方法.
【名师押题·第一题】将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答）
【答案】
【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可.
【详解】第一步选2个空给两个1有种选法，
第二步选剩下的3个空给两个3有种选法，
最后剩一个空排5即可，
根据分步乘法计数原理有种排法，
故答案为：.
【名师押题·第二题】若二项式展开式中的常数项为160，则 ．
【答案】2
【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出.
【详解】由题二项式展开式的通项公式为：，
所以当时的项为常数项，解得.
故答案为：2.
【名师押题·第三题】已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 .
【答案】
【分析】写出的二项展开式，根据题意求出的系数，进而列出等式求解即可.
【详解】，
的二项展开式的通项为，
令得，，
的展示式中的系数为；
令得，，
的展开式中的系数为40，
依题意，解得，
故答案为：．
【名师押题·第四题】一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答）
【答案】9450
【分析】结合题意先分三类，每类由乘法原理结合组合数计算，再由分步加法原理求和.
【详解】
质点第10秒末到达点共跳了10次，可分三类情况讨论：
第一类，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有种；
第二类，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有种；
第三类，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有种；
根据分类计数原理得，共有（种）．
故答案为：9450.
【名师押题·第五题】甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ）
A．36种 B．42种 C．54种 D．72种
【答案】B
【分析】按照B项工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可.
【详解】安排B项工作的人数分为两类，
第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作，
从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法，
再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法，
若D项工作安排一人，则有种方法，
所以B项工作仅安排1人共种方法，
第二类，B项工作安排2人，有种方法，
由分类加法计数原理，得共有种方法.
故选：B.
【名师押题·第六题】为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（ ）
A．160 B．192 C．224 D．256
【答案】B
【分析】根据数字的约束，确定哪些方格可以放置图书，通过分析每个数字的约束，确定可以放置图书的方格，并计算最大可能的图书数目，使用排列组合的方法，计算所有满足条件的图书放置方式的总数.
【详解】如图所示，灰色代表图书位置，此时有11本图书，接下来说明不可能有12本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到8本图书，首先左上角区域只有2本图书（下图左），在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书.类似的，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只剩下三个空方格，矛盾!故最多有7本，结合不受限制的区域，最多能抽中本书.
接下来求所有可能的方法数，
情形一：
如图所示， 处有图书时，在左上数字2的周围有两种情形，若数字3右侧方格无图书，
则4周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也被固定，
此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾，∴中间数字3右侧必有图书.
此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字2左侧或右侧有一本图书.
若下方数字2左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书排布已经固定，
则此时3周围图书也已经符合题意，只有一种情形.
若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字2周围还应存在的一本图书的位置，
若在2右上方，即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也满足题意，
4周围还剩一本图书，共有两种选择，共两种；
若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符合题意，
3周围还应有一本图书，共有两种选择.
综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有种可能.
情形二：
如图所示， 处无图书时，左上数字2的图书排布被固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书，
此时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两侧均无图书（否则下方2周围图书数目大于2），
故4周围的图书排列方式被固定，∴3周围还应有一本图书，共有两种选择，故情形二共有2种可能.
∴共有种.
故选：B.
事件与概率、分布列与统计综合（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 9 6 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） B． C． D． 指定区间的概率；正态分布的实际应用
2024年新高考I卷 14 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 求离散型随机变量的均值；均值的性质；计算古典概型问题的概率
2024年新高考II卷 4 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的中位数
2023年新高考I卷 9 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 计算几个数的中位数；计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差
2023年新高考II卷 12 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 利用互斥事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式；独立重复试验的概率问题
2022年新高考I卷 5 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A． B． C． D． 计算古典概型问题的概率；实际问题中的组合计数问题
2022年新高考II卷 13 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 指定区间的概率
近三年新高考数学事件与概率、分布列与统计综合选填题考查情况总结
考点：涵盖正态分布实际应用（2024年新课标Ⅰ卷）、古典概型概率计算（2024年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷）、统计量分析（均值、方差、极差、中位数，如2024年新课标Ⅱ卷、2023年新课标Ⅰ卷）、独立事件概率（2023年新课标Ⅱ卷），注重实际情境与概念结合。
题型：以选择题为主，分值5-6分，侧重考查概率统计知识在实际问题中的应用及基本计算能力。
2025年新高考事件与概率、分布列与统计综合选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。
考查方向：延续正态分布、古典概型、统计量计算的考查，可能结合分布列简单问题，强化实际应用（如生活场景中的概率计算、统计量分析），注重对概念的理解与运算准确性，如根据统计图表分析数据特征，或利用概率公式解决实际问题。
等可能性事件的概率.
互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
7.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.
8. 数学期望
数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
10. 方差
11. 标准差=.
12.方差的性质
(1)；
(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
13.方差与期望的关系
.
14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
15.对于，取值小于x的概率
.
.
条件概率
条件概率的定义 条件概率的性质
已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　
条件概率的三种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
贝叶斯公式
一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有
数字样本特征
众数：在一组数据中出现次数最多的数
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
平均数：，反映样本的平均水平
方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；
标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
极差：等于样本的最大值最小值
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，
故选：BC．
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
【答案】/0.5
【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以.
从而.
记.
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，两式相减即得，故.
所以甲的总得分不小于2的概率为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, ,
所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于的频数为，
所以低于的稻田占比为，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误.
故选；C.
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A错误；
对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，显然，即，
所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
典例5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
【名校预测·第一题】（025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月综合自主测试数学试题）
语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】2025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月综合自主测试（提升卷）数学试题
【分析】先得出总的选法为，该同学能及格分为能背诵的6道里抽3道和能背诵的6道里抽2道及不会背诵的4道抽1道，即该同学能及格的情况有，由古典概型可计算及格的概率.
【详解】从10篇课文中随抽3篇不同的课文，总共的选法为种，
该同学能及格的情况有种，
由古典概型可知，该同学能及格的概率为.
故答案为：.
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
（多选）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，由，得，故A正确；
对于B，由，得，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线，
，所以在正态分布曲线上，的峰值较高，
正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误.
故选：AC.
【名校预测·第三题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
（多选）样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则的平均数为
B．若，则的方差为0
C．若的极差是，则
D．若，则这组数据的第75百分位数是
【答案】AB
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】由平均数以及方差的性质即可判断AB，结合极差的定义，举出反例，即可判断C，由百分位数的计算公式，即可判断D.
【详解】对于A，由原数据的平均数，
可得新数据的平均数为，
故A正确；
对于B，由原数据的方差是，
可得新数据的方差为，
故B正确；
对于C，若样本数据为，则其极差为，
此时数据为，则其极差，
即，故C错误；
对于D，由，所以数据的第75百分位数是，故D错误；
故选：AB
【名校预测·第四题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
【答案】C
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.
【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：
，共36个样本点．
则事件包括，共6个，，
事件包括
，共18个，，
事件包括，共5个，，
事件包括，共6个，.
对于A，，所以与不为对立事件，故A错误；
对于B，事件包括，则，又，，
所以，即与不相互独立，故B错误；
对于C，事件包括，则，又，，
所以，即与相互独立，故C正确；
对于D，事件包括，则，即与不为互斥事件，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解决本题的关键.
【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学数学试题）
一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，当为奇数时，；当为偶数时，,则X的数学期望为 （用n表示），Y的数学期望为 （用n表示）．
【答案】
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】根据题意可知，利用二项分布的期望公式即可求出的数学期望；利用与的关系，写出的值为,进而可得，再利用即可求得的数学期望.
【详解】第一空：由题可知，所以；
第二空：根据题意的值为,
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是的数学期望的化简需要用到及，.
【名师押题·第一题】某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ．
【答案】0.3
【分析】根据正态密度曲线关于对称，结合概率和为1即可得到答案.
【详解】因为体重近似服从正态分布，
所以正态密度曲线关于对称，
所以，
则，
所以，
故答案为：0.3.
【名师押题·第二题】已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系无法判断
【答案】C
【分析】根据所给数据分别计算、比较大小即可求解.
【详解】根据已知条件第一组数据的个数为个，且，
所以，
，
第二组数据的个数为个，且平均数，
，
因为，
所以.
故选：C
【名师押题·第三题】某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算公式，以及结合比例分配和分步计数原理即可求解.
【详解】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数），
由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为.
所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为，
因此所求概率为.
故选：A.
【名师押题·第四题】有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】就正面数字为偶数的卡片翻一次、三次分类讨论后可求概率.
【详解】翻动正面数字为偶数的卡片时，奇偶性发生改变，翻动正面数字为奇数的卡片时，奇偶性不变，进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，则分为两类：
（1）正面数字为偶数的卡片翻一次：
①掷3次骰子1次偶数2次奇数：种，其中恰有一次点数为2有27种，
②掷3次骰子2次同一个偶数1次奇数：种，
③掷3次骰子3次同一个偶数：3种，
（2）正面数字为偶数的卡片一次翻三次：种，其中恰有一次点数为2有6种，
所以骰子恰有一次点数为2的概率为.
故选：C
【名师押题·第五题】为备战乒乓球赛，某体校甲 乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲 乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲 乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．28 B．24 C．32 D．27
【答案】D
【分析】由题可得甲乙两人通过训练的概率表达式，结合基本不等式及二次函数知识可得两人通过训练概率的最大值，再结合甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，及二项分布期望表达式可得答案.
【详解】由题可得，甲乙两人通过训练的概率为：，
因，由基本不等式，，
当且仅当时，取等号.则
.
又注意到甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，则期望为：
，结合，可得.故D正确.
故选：D
【名师押题·第六题】人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为 ．
【答案】
【分析】利用分步乘法计数原理求出总情况数，利用分类加法计数原理结合组合数的性质求出符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解概率即可.
【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为S，共有种情况，
生成的5个数字中有个0，个1，
则，
由题可知．若获得二等奖，则S为3的正整数倍，
故可取的值为．当时，的取值为，
共有种情况；当时，的可能取值为，，，
共有种情况；当时，的取值为，，
共有种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有种情况，
且设获得二等奖的概率为，由古典概型概率公式得.
故答案为：
复数（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 2 5 （2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ） A． B． C． D． 复数的除法运算；复数的乘方
2024年新高考II卷 1 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 求复数的模
2023年新高考I卷 2 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ） A． B． C．0 D．1 共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
2023年新高考II卷 1 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算
2022年新高考I卷 2 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ） A． B． C．1 D．2 共轭复数的概念及计算
2022年新高考II卷 2 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（ ） A． B． C． D． 复数代数形式的乘法运算
近三年新高考数学复数选填题考查情况总结
考点：涵盖复数除法、乘方运算（2024年新课标Ⅰ卷）、求模（2024年新课标Ⅱ卷）、共轭复数计算（2023年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷）、复数乘法及象限位置（2023年新课标Ⅱ卷、2022年新课标Ⅱ卷），侧重复数基本运算与概念。
题型：均为选择题，分值5分，注重对复数运算法则（乘、除）、共轭复数、模及几何意义（象限）的考查。
2025年新高考复数选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题，分值5分。
考查方向：延续对复数乘除运算、共轭复数、模的考查，可能结合复数方程或几何意义（如对应点所在象限），强化对复数基本概念和运算法则的掌握，考查运算准确性与概念理解。
虚数单位：，规定
虚数单位的周期
复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部
复数的分类
复数相等：若
共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，
复数的几何意义：复数复平面内的点
复数的模：， 则 ；
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期月考（六）（3月）数学试卷
【分析】利用复数乘方运算法则得到，由复数除法法则得到，求出虚部.
【详解】，
故，
所以虚部为.
故选：B.
【名校预测·第二题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟试卷）
复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为，则，
所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
已知复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【来源】辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题
【分析】利用复数的四则运算求得，再利用复数模的公式即可得解.
【详解】因为，
所以，则.
故选：D.
【名校预测·第四题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟数学试题）
复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算计算可得.
【详解】因为在复平面内对应的点为，
又点关于直线对称的点为，所以，
所以.
故选：A
【名校预测·第五题】（河北省石家庄市第一中学2025届高三第二次模拟考试数学试题）
已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
【答案】
【来源】河北省石家庄市第一中学2025届高三第二次模拟考试数学试题
【分析】设，根据得出满足的关系，表示出后根据复数的几何意义求解.
【详解】设，由，
则，表示的是圆心为，半径为的圆，
而，表示的是圆上一点到的距离，
如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长，
即最大值为.
故答案为：
【名师押题·第一题】若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可.
【详解】因，，则，
则，.
故选：D.
【名师押题·第二题】已知是虚数单位，，则（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】C
【分析】由复数的乘法求解即可.
【详解】，解得.
故选：C
【名师押题·第三题】若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简复数，然后根据虚部的概念解答即可.
【详解】已知，先将等式右边化简，．
则，
所以z的虚部是．
故选：A
【名师押题·第四题】复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，化简得到复数，然后结合复数的几何意义即可知道结果.
【详解】因为，所以
则其对应点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
【名师押题·第五题】已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可.
【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根，
所以，即，所以.
故选：B.
【名师押题·第六题】已知复数，（为虚数单位）则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设复数在复平面内对应的点分别为，根据复数的几何意义可知点在标准单位圆上，，结合圆的性质分析求解.
【详解】设复数在复平面内对应的点分别为，
因为，则点在标准单位圆上，，
则，其中为坐标原点，
所以的最大值是3.
故选：C．
集合与常用逻辑用语（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 1 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 交集的概念及运算；由幂函数的单调性解不等式
2024年新高考II卷 2 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 全称量词命题的否定及其真假判断；存在量词命题的否定及其真假判断；判断命题的真假
2023年新高考I卷 1 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2023年新高考I卷 7 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和
2023年新高考II卷 2 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）． A．2 B．1 C． D． 根据集合的包含关系求参数
2022年新高考I卷 1 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ） A． B． C． D． 交集的概念及运算
2022年新高考II卷 1 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式
近三年新高考数学集合与常用逻辑用语选填题考查情况总结
考点：涵盖集合的交集运算（2024年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅱ卷）、由集合包含关系求参数（2023年新课标Ⅱ卷）、解不等式（幂函数单调性解不等式、一元二次不等式、绝对值不等式）、命题真假判断及否定（2024年新课标Ⅱ卷）、充要条件证明（2023年新课标Ⅰ卷）。
题型：均为选择题，分值5分，侧重集合运算、不等式求解及逻辑用语的基本概念应用，注重基础运算与逻辑判断能力。
2025年新高考集合与常用逻辑用语选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题，分值5分。
考查方向：延续集合交集、并集运算，可能结合不等式（如一元二次不等式、绝对值不等式）求解集合；强化命题真假判断、充要条件分析，或涉及简单逻辑联结词，注重基础概念与运算的准确性，如根据集合关系求参数范围，或判断命题的否定及真假。
集合有个元素，子集有个，真子集有个，非空真子集个数为个.
，
充分条件与必要条件
对于若则类型中，为条件，为结论
若充分性成立，若必要性成立
若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件）
若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件）
若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件）
若，，则是的既不充分也不必要条件
全称量词命题与存在量词命题
全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
全称量词命题：，，否定为：，
存在量词命题的否定
存在量词命题：，，否定为：，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟试题）
若集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【来源】广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】解分式不等式求得集合，利用交集的概念可得.
【详解】因为，所以，
所以，
又，所以．
故选：B
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
【分析】先计算一元二次不等式得出集合B，再应用并集定义计算求解.
【详解】集合，
则元素的个数是3个.
故选：A.
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.
故选：A.
【名校预测·第四题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，因为不等于0，
所以，若时，无法得出，
所以“”不是“”的充分条件；
若“”，则，
所以“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【名校预测·第五题】（广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年数学试题）
已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期1月模拟训练数学试题
【分析】根据两直线平行求出的值，即可得出结论.
【详解】若，则，解得，
所以，“”是“”的充要条件.
故选：A.
【名师押题·第一题】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求出集合，再利用交集的定义求解即可.
【详解】由得或，
所以或，
因为，所以.
故选：C.
【名师押题·第二题】已知集合，，则（ ）
A．， B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出，再求出交集即可.
【详解】由，可得，解得，
所以，所以或，
所以或.
故选：C.
【名师押题·第三题】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一元二次不等式计算求解集合B，再应用交集定义计算判断.
【详解】集合，
则.
故选：C.
【名师押题·第四题】已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题的否定.
【详解】：，.
故选：D
【名师押题·第五题】已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【分析】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案.
【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题.
故选：B.
【名师押题·第六题】“”是“”的（ ）
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分、必要条件的判断，结合不等式求解即可判断.
【详解】由，可得，
可得：，也即且，
可得，可得，
若，取，显然不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A第四辑
平面向量（选填题）…………………………………………………………………01
排列组合与二项式定理（选填题）…………………………………………………05
事件与概率、分布列与统计综合（选填题）……………………………………… 11
复数（选填题）………………………………………………………………………20
集合与常用逻辑用语（选填题）……………………………………………………2421世纪教育网(www.21cnjy.com)
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平面向量（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 3 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ） A． B． C．1 D．2 向量垂直的坐标表示；平面向量线性运算的坐标表示
2024年新高考II卷 3 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D．1 数量积的运算律；已知数量积求模；垂直关系的向量表示
2023年新高考I卷 3 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数
2023年新高考II卷 13 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 数量积的运算律
2022年新高考I卷 3 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A． B． C． D． 用基底表示向量
2022年新高考II卷 4 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ） A． B． C．5 D．6 向量夹角的坐标表示；平面向量线性运算的坐标表示
近三年新高考数学平面向量选填题考查情况总结
考点：涵盖向量垂直的坐标表示（2024年新课标Ⅰ卷）、数量积运算及向量垂直（2024年新课标Ⅱ卷）、向量线性运算与垂直（2023年新课标Ⅰ卷）、数量积运算律（2023年新课标Ⅱ卷）、用基底表示向量（2022年新课标Ⅰ卷）、向量夹角与线性运算（2022年新课标Ⅱ卷）。
题型：多为选择题，分值5分，侧重考查向量的坐标运算、数量积、垂直关系及线性运算，注重对向量基本概念和运算规则的理解与应用。
2025年新高考平面向量选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5分。
考查方向：延续对向量垂直、数量积、线性运算的考查，可能强化坐标运算与几何意义的结合，或涉及向量模长、夹角的综合计算，注重运算能力与逻辑推理，如根据向量垂直或数量积求参数，或利用坐标运算解决向量关系问题。
向量的运算
两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
向量的加减法
，
，
向量的数乘运算
，则：
向量的模
，则的模
相反向量
已知，则；已知
单位向量
向量的数量积
向量的夹角
投影向量
向量在上的投影向量为
向量的平行关系
向量的垂直关系
向量模的运算
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第一题】（福建省福州第一中学2024-2025学年高三数学试题）
已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．3或 D．或7
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ．
【名校预测·第四题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第五题】（重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三下学期二诊数学试题）
已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【名师押题·第一题】已知向量，，若，则的值为 ．
【名师押题·第二题】已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第三题】已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ）
A． B． C． D．2
【名师押题·第四题】在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（ ）.
A．1 B． C． D．
【名师押题·第五题】在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第六题】已知平面向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
排列组合与二项式定理（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考II卷 14 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 全排列问题；写出基本事件
2023年新高考I卷 13 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题
2023年新高考II卷 3 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
2022年新高考I卷 13 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 两个二项式乘积展开式的系数问题
2022年新高考II卷 5 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题
近三年新高考数学排列组合与二项式定理选填题考查情况总结
考点：涵盖排列问题（2024年新课标Ⅱ卷方格表选方格）、分类加法计数（2023年新课标Ⅰ卷）、分层抽样组合计数（2023年新课标Ⅱ卷）、二项式展开式系数（2022年新课标Ⅰ卷）、相邻排列问题（2022年新课标Ⅱ卷），侧重计数原理与公式应用。
题型：均为选填题，分值5分，注重实际情境中的计数与二项式定理简单计算。
2025年新高考排列组合与二项式定理选填题高考预测
题型与分值：预计为选填题，分值5分。
考查方向：延续排列组合实际应用（如分组、排队），二项式定理求特定项系数，或与概率等简单结合，强化计数原理（分类、分步）及公式运用，考查分析与计算能力。
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.组合数公式
===(∈N*，，且).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有种；
②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当时，无解；当时，有种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有
.
8.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【名校预测·第一题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟数学试题）
若在的展开式中，含项的系数为80，则 ．（用数字作答）
【名校预测·第二题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．24 B．6 C． D．
【名校预测·第三题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟试卷）
2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16种 B．32种 C．48种 D．64种
【名校预测·第四题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有 种（用数字作答）
【名校预测·第五题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研数学试卷）
现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【名师押题·第一题】将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答）
【名师押题·第二题】若二项式展开式中的常数项为160，则 ．
【名师押题·第三题】已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 .
【名师押题·第四题】一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答）
【名师押题·第五题】甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ）
A．36种 B．42种 C．54种 D．72种
【名师押题·第六题】为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（ ）
A．160 B．192 C．224 D．256
事件与概率、分布列与统计综合（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 9 6 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） B． C． D． 指定区间的概率；正态分布的实际应用
2024年新高考I卷 14 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 求离散型随机变量的均值；均值的性质；计算古典概型问题的概率
2024年新高考II卷 4 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的中位数
2023年新高考I卷 9 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 计算几个数的中位数；计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差
2023年新高考II卷 12 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 利用互斥事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式；独立重复试验的概率问题
2022年新高考I卷 5 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A． B． C． D． 计算古典概型问题的概率；实际问题中的组合计数问题
2022年新高考II卷 13 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 指定区间的概率
近三年新高考数学事件与概率、分布列与统计综合选填题考查情况总结
考点：涵盖正态分布实际应用（2024年新课标Ⅰ卷）、古典概型概率计算（2024年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷）、统计量分析（均值、方差、极差、中位数，如2024年新课标Ⅱ卷、2023年新课标Ⅰ卷）、独立事件概率（2023年新课标Ⅱ卷），注重实际情境与概念结合。
题型：以选择题为主，分值5-6分，侧重考查概率统计知识在实际问题中的应用及基本计算能力。
2025年新高考事件与概率、分布列与统计综合选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。
考查方向：延续正态分布、古典概型、统计量计算的考查，可能结合分布列简单问题，强化实际应用（如生活场景中的概率计算、统计量分析），注重对概念的理解与运算准确性，如根据统计图表分析数据特征，或利用概率公式解决实际问题。
等可能性事件的概率.
互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
7.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.
8. 数学期望
数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
10. 方差
11. 标准差=.
12.方差的性质
(1)；
(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
13.方差与期望的关系
.
14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
15.对于，取值小于x的概率
.
.
条件概率
条件概率的定义 条件概率的性质
已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　
条件概率的三种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
贝叶斯公式
一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有
数字样本特征
众数：在一组数据中出现次数最多的数
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
平均数：，反映样本的平均水平
方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；
标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
极差：等于样本的最大值最小值
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
典例5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【名校预测·第一题】（025届湖南省长沙市雅礼中学高三4月综合自主测试数学试题）
语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
（多选）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【名校预测·第三题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
（多选）样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则的平均数为
B．若，则的方差为0
C．若的极差是，则
D．若，则这组数据的第75百分位数是
【名校预测·第四题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学数学试题）
一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，当为奇数时，；当为偶数时，,则X的数学期望为 （用n表示），Y的数学期望为 （用n表示）．
【名师押题·第一题】某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ．
【名师押题·第二题】已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系无法判断
【名师押题·第三题】某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第四题】有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第五题】为备战乒乓球赛，某体校甲 乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲 乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲 乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．28 B．24 C．32 D．27
【名师押题·第六题】人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为 ．
复数（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 2 5 （2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ） A． B． C． D． 复数的除法运算；复数的乘方
2024年新高考II卷 1 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 求复数的模
2023年新高考I卷 2 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ） A． B． C．0 D．1 共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
2023年新高考II卷 1 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算
2022年新高考I卷 2 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ） A． B． C．1 D．2 共轭复数的概念及计算
2022年新高考II卷 2 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（ ） A． B． C． D． 复数代数形式的乘法运算
近三年新高考数学复数选填题考查情况总结
考点：涵盖复数除法、乘方运算（2024年新课标Ⅰ卷）、求模（2024年新课标Ⅱ卷）、共轭复数计算（2023年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷）、复数乘法及象限位置（2023年新课标Ⅱ卷、2022年新课标Ⅱ卷），侧重复数基本运算与概念。
题型：均为选择题，分值5分，注重对复数运算法则（乘、除）、共轭复数、模及几何意义（象限）的考查。
2025年新高考复数选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题，分值5分。
考查方向：延续对复数乘除运算、共轭复数、模的考查，可能结合复数方程或几何意义（如对应点所在象限），强化对复数基本概念和运算法则的掌握，考查运算准确性与概念理解。
虚数单位：，规定
虚数单位的周期
复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部
复数的分类
复数相等：若
共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，
复数的几何意义：复数复平面内的点
复数的模：， 则 ；
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第二题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟试卷）
复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
已知复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【名校预测·第四题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟数学试题）
复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ）
A． B．1 C． D．
【名校预测·第五题】（河北省石家庄市第一中学2025届高三第二次模拟考试数学试题）
已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
【名师押题·第一题】若，则（ ）
A． B． C． D．2
【名师押题·第二题】已知是虚数单位，，则（ ）
A． B． C．0 D．3
【名师押题·第三题】若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第四题】复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【名师押题·第五题】已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第六题】已知复数，（为虚数单位）则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
集合与常用逻辑用语（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 1 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 交集的概念及运算；由幂函数的单调性解不等式
2024年新高考II卷 2 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 全称量词命题的否定及其真假判断；存在量词命题的否定及其真假判断；判断命题的真假
2023年新高考I卷 1 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2023年新高考I卷 7 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和
2023年新高考II卷 2 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）． A．2 B．1 C． D． 根据集合的包含关系求参数
2022年新高考I卷 1 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ） A． B． C． D． 交集的概念及运算
2022年新高考II卷 1 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式
近三年新高考数学集合与常用逻辑用语选填题考查情况总结
考点：涵盖集合的交集运算（2024年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅰ卷、2022年新课标Ⅱ卷）、由集合包含关系求参数（2023年新课标Ⅱ卷）、解不等式（幂函数单调性解不等式、一元二次不等式、绝对值不等式）、命题真假判断及否定（2024年新课标Ⅱ卷）、充要条件证明（2023年新课标Ⅰ卷）。
题型：均为选择题，分值5分，侧重集合运算、不等式求解及逻辑用语的基本概念应用，注重基础运算与逻辑判断能力。
2025年新高考集合与常用逻辑用语选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题，分值5分。
考查方向：延续集合交集、并集运算，可能结合不等式（如一元二次不等式、绝对值不等式）求解集合；强化命题真假判断、充要条件分析，或涉及简单逻辑联结词，注重基础概念与运算的准确性，如根据集合关系求参数范围，或判断命题的否定及真假。
集合有个元素，子集有个，真子集有个，非空真子集个数为个.
，
充分条件与必要条件
对于若则类型中，为条件，为结论
若充分性成立，若必要性成立
若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件）
若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件）
若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件）
若，，则是的既不充分也不必要条件
全称量词命题与存在量词命题
全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
全称量词命题：，，否定为：，
存在量词命题的否定
存在量词命题：，，否定为：，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟试题）
若集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第四题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【名校预测·第五题】（广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年数学试题）
已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【名师押题·第一题】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第二题】已知集合，，则（ ）
A．， B． C． D．
【名师押题·第三题】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第四题】已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【名师押题·第五题】已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【名师押题·第六题】“”是“”的（ ）
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

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