资源简介

第二辑
数列（解答题）……………………………………………………………………01
新定义（解答题）…………………………………………………………………17
函数及其性质（选填题 ）……………………………………………………… 39
三角函数的图象及其性质（选填题）……………………………………………55
三角恒等变换（选填题）…………………………………………………………7121世纪教育网(www.21cnjy.com)
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数列（解答题）
年份 题号 分值 题干 考点
2023年新高考I卷 20 12 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算
2023年新高考II卷 18 12 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 利用定义求等差数列通项公式；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
2022年新高考I卷 17 10 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用与关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项
2022年新高考II卷 17 10 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题
近三年新高考数学数列解答题考查情况总结
1.考点方面
数列基本量计算：等差数列通项公式前项和公式的基本量计算是核心。如2023年新课标I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。数列通顶公式求解：利用定义法（如等差数列定义）、与的关系(求通项。如2022年新高考I卷通过为等差数列求通项。
数列求和与综合：分组求和（如2023年新课标II卷)、裂项相消法（如2022年新高考I卷证明不等式)；数列与不等式结合（如证明。
2.题目设置方面
通常设置两问，第一问求数列通项公式，第二问求和或证明不等式、比较大小（如2023年新课标卷证明时整体考点稳定，注重对数列基本公式、方法的理解与运用，兼顾计算能力和逻辑推理能力的考查。
题型与分值：预计以一道解答题（分值约 12 - 17 分）呈现，设置两问，梯度分明。
考查方向
数列基本性质：等差数列、等比数列的通项公式与前 n项和公式仍是考查重点，可能结合递推关系求通项。
数列求和方法：裂项相消法、分组求和法、错位相减法等仍会考查，尤其裂项相消在证明不等式或求和中出现概率高。
综合应用：数列与不等式的综合（如证明数列和的范围、不等式恒成立求参数），或与函数结合考查数列的单调性、最值。
计算与推理：注重基本概念与公式的灵活运用，第二问可能设置一定计算量或推理过程，如通过数列求和证明不等式，考查逻辑严谨性和运算准确性。
等差数列通项公式： 或
等比数列通项公式：
通项公式的构造
（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解
（2）已知用求通项
（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知用求通项公式，其本质是除以
（6）已知用求通项公式，其本质是取到数
（7）已知用求通项公式，其本质是取对数
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧：
；
；
指数型；
对数型.
等
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下数学试卷）
已知正项数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【来源】贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期月考（六）（3月）数学试卷
【分析】（1）由的关系，作差即可求解；
（2）通过和，得到，再由错位相减法即可求解；
【详解】（1）由，
得当时，．
两式相减得，
整理得，
∴．
当时，，解得．
∴是以7为首项，4为公差的等差数列，
∴．
（2）当，时，；当，时，，
所以，
①，
②，
①减②得：
，
∴．
【名校预测·第二题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期三月限时训练数学试卷
【分析】（1）由得出，再由前项和与通项的关系得出数列的通项公式；
（2）分类讨论，两种情况，由分组求和法得出，再由的单调性得出证明.
【详解】（1）由题意得，①
当时，；当时，；
当时，，②
①②得，，
当时，，也适合上式，所以，所以，
两式相减得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）数列为：，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列．
所以当时，
所以，
所以，显然是关于k的减函数，所以；
所以当时，
所以，
所以，显然是关于k的减函数，所以；
综上所述，．
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得 若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）存在，
【来源】辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题
【解析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式与前项和公式得，解得，从而求出；
（2）由（1）得，由，利用裂项相消法得，若，则，整理得，由得，从而可求出答案．
【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，
由得，解得，
；
（2），
， ，
若，则，整理得，
又，，整理得，
解得，
又，，，
∴存在满足题意．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
【名师押题·第一题】已知数列满足，．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列定义推理得证.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）数列中，，，则，，
所以数列是以为首项，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，，则，，
所以数列的前项和.
【名师押题·第二题】已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令可求得，再结合可求出；
（2）利用累乘法结合已知条件可得，则当时，，两式相减化简可得，从而可得的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列，进而可求出其通项，则可求得关于n的表达式．
【详解】（1）令，可得，故，
又，所以．
（2）由，可得，，…，，
两边分别相乘得，所以．
当时，，所以，
即，即，
由题可知，所以，
所以的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列．
所以，，
所以．
所以
，
故．
【名师押题·第三题】已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证；
（2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围.
【详解】（1）由已知，，
，，，
又, ，
数列中任意一项不为0, ，
数列是首项为2, 公比为2的等比数列，.
（2）由第（1）问知， ，
则，设数列的前项和为,
所以①，
②，
所以①-②可得：
，
所以.
由，得，
化简得.
当 为奇数时，有，即，
而，所以；
当为偶数时，有，
而，所以.
综上，的取值范围为.
【名师押题·第四题】已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)设，求数列的前n项和．
(3)设，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用前n项和与通项公式的关系得到，再利用等比数列的定义证明即可.
（2）利用给定条件求出，再利用错位相减法结合公式法求和即可.
（3）先表示出，再分析得到，再对分奇偶数讨论证明不等式即可.
【详解】（1）当时，，得．
当时，，结合题设式可得，
即，当时也成立，，
则数列是首项为2、公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，则，，
设记为①，
记为②，
①－②得，，
设，则．
（3）由（1）知，，
，
欲证，即证，
即证，即证，该式显然成立，
即恒成立．
当n为奇数，
，
当n为偶数时，
．
综上，．
【名师押题·第五题】已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）等式两边同时除以可得；
（2）（ii）由错位相减法求和即可；
（ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可.
【详解】（1）因为，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）（i）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
（ii）因为，
所以，
令，
不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为，
所以，即m的取值范围是.
新定义（解答题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 19 17 （2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 数列新定义；等差数列通项公式的基本量计算，数列与概率交汇结合
新高考数学新定义解答题考查情况总结
考点方面：聚焦于对新定义概念的理解与运用，如 2024 年新高考全国 I 卷 “可分数列” 的新定义，结合等差数列通项公式的基本量计算，以及数列与概率的交汇考查。注重知识的综合运用，要求考生快速理解新定义，并调用已有知识（如数列性质、概率计算）进行分析。
题目设置方面：通常设置多问，第一问常为具体实例探索（如写出满足条件的所有可分数列），帮助考生初步理解新定义；后续问题逐步深入（如证明某数列符合新定义、计算相关概率并证明不等式），对数学抽象、逻辑推理和运算求解能力要求较高。整体强调对新定义的深度理解与综合应用，考查考生学习新知识并解决问题的素养。
2025 年新高考新定义解答题高考预测
题型与考查形式：预计 2025 年新高考仍会以新定义题考查学生创新思维与综合能力，可能涉及更多元的知识交汇，如数列与函数、几何、概率统计等的结合。题目或设多问，第一问引导理解新定义，后续问题增加难度，深入考查应用能力。
考点趋势：除数列相关新定义外，函数、几何领域的新定义考查概率增加。例如，给出函数的新性质定义，或几何图形的新判定规则，要求考生通过分析、推理、计算解决问题。注重对数学抽象、逻辑推理和创新意识的考查，计算与证明过程可能更复杂，强调基础知识的灵活运用与思维的开放性。
一、数列新定义问题
1. 考察对定义的理解。
2. 考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.
3. 考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握.
二、函数新定义问题
涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.
关于新定义题的思路有：
1.找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
2.由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
3.将已知条件代入新定义的要素中；
4.结合数学知识进行解答.
三、集合新定义问题
对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2.用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3.涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
4.认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；
（2）根据可分数列的定义即可验证结论；
（3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义.
【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形，
得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
（2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，共组.
（如果，则忽略②）
故数列是可分数列.
（3）定义集合，.
下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，
则数列一定是可分数列：
命题1：或；
命题2：.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果，且.
此时设，，.
则由可知，即，故.
此时，由于从数列中取出和后，
剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，共组；
③，共组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
故此时数列是可分数列.
第二种情况：如果，且.
此时设，，.
则由可知，即，故.
由于，故，从而，这就意味着.
此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，，共组；
③全体，其中，共组；
④，共组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数：
，，，.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列.
至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列.
然后我们来考虑这样的的个数.
首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个；
而如果，假设，则可设，，代入得.
但这导致，矛盾，所以.
设，，，则，即.
所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个.
所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个.
这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为.
当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于.
而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个.
所以数列是可分数列的概率一定满足
.
这就证明了结论.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和．
(1)若．
①若，，求；
②若为偶数，证明：；
(2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合．
【答案】(1)①；②证明见解析；
(2)最小值为，.
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题
【分析】（1）①由题可得集合N，据此可得答案；②注意到，
通过二项式定理证明不是整数可完成证明；
（2）由题可得，据此可将方程化为，结合其判别式为完全平方数可得，结合基本不等式及函数知识可得最小值，最后由题意可得满足条件的M.
【详解】（1）①此时，，
由题可得，则；
②由题可得，
.
若，则.
当为偶数，设，则.
注意到
，其中，
则不为整数，这与题意不合，故.
（2）此时，
则.
则，
要使方程存在有理数解，则方程判别式，.
注意到，
则，
因，则，
则，其中，
则，
注意到，若为正实数，
则，当且仅当时取等号，
且在单调递减，在时单调递增.
则当为正整数时，取离最近的整数，
即或时取最小值，则.
即的最小值为.
注意到
又，
则，
即取得最小值时的一个集合可以为：
【点睛】关键点睛：对于不相等形式命题的证明，常利用反证法；对于二次方程有有理数解的问题，常利用判别式为完全平方数解决问题.
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列．
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，公差为
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值.
（2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式.
（3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值.
【详解】（1）由题意得，，，，
∴，，
设数列的二阶和数列的公比为，则，
∴，，，
∴，，，
∴，，．
（2）设的二阶和数列的前项和为，
由题意得，，，
由得数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴.
（3）∵，
∴，故．
设数列的公差为，则，
∴，得，
∵反比例函数在上为增函数，
∴由得，，故，
∵，
∴，故，
∴的最大值是，由得公差.
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数.
(1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简；
(2)证明：；
(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
【分析】（1）提出得，解出即可；
（2）令，再结合组合和极限计算即可；
（3）直接根据题意得到取值集合，再结合方程求出的生成函数为，再结合二项式定理和组合数的计算即可得到答案.
【详解】（1）
，解得.
（2）令，
，
可得，所以.
（3）记 表示第一大项中每一个小项获得的分数， 表示第二大项中每一个小项获得的分数， 表示第十大项中每一个小项获得的分数， 表示第十一大项中每一个小项获得的分数.
则.
为方程满足上述范围条件的解的个数.
设的生成函数为，则.
因为，故与的展开式中前的系数相同.
由（1）知，
由（2）知取时有.
故，其中前系数为
故.
【名校预测·第四题】（山西大学附属中学校2024-2025学年高三下学期3月模拟数学试题）
定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．
(1)求出f（x）的“优秀区间”；
(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：（参考数据：）．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【来源】山西大学附属中学校2024-2025学年高三下学期3月模拟数学试题
【分析】（1）先根据“优秀函数”的定义，求出的“优秀函数”，再利用作差法比较和的大小关系，构造函数，对的分子分母分别判断正负，进而求得f（x）的“优秀区间”；
（2）（ⅰ）对分离常数，求出，构造函数，由的单调性求得的最值，进而得到m的取值范围；
（ⅱ）先分析出要证，即证，再构造函数，根据的单调性，求得，再构造函数，根据的单调性，求得，可推得，又由的单调性，求得，从而得到，进而得证.
【详解】（1）当时，
的“优秀函数”为，
，
令，则，
令，解得；令，解得，
所以当时，h（x）单调递减；当时，h（x）单调递增，
故．
当时，，则，，f（x）不具有“优秀性质”；
当时，，则，，f（x）具有“优秀性质”．
故f（x）的“优秀区间”为．
（2）（ⅰ）即，所以，
所以，故，
令，则，
令，解得；令，解得，
故当时，k（x）单调递减；时，k（x）单调递增．
，
当时，；时，，
，故．
即m的取值范围为．
（ⅱ）由、为方程的两个解可知：，
要证，即证，
令，，
令，，
则N（x）在单调递增，故，
所以时，，故M（x）在上单调递增，
则．
令，
，
令，则，
故G（x）在上单调递增，．即，
故Q（x）在上单调递增．故，
即，成立，
因为，则，
又，，k（x）在（0，1）单调递减，则，即，
故,所以，
所以.
【点睛】方法点睛：本题主要考查了函数新定义问题以及利用导数研究不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式；对含有参数的函数，也可先分离变量，再构造函数，直接把不等式转化为函数的最值问题.
【名师押题·第一题】已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可；
（2）先证明若，，则，即可得到，从而得证；
（3）依题意可得，从而求出，再说明即可.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以；
因为没有倒数，所以；
因为，所以；
综上可得，.
（2）先证明：若，，则；
设，，为整数，
所以，
由于，都是整数，所以，
当，时，，，所以，所以；
（3）因为，
所以，
所以，都是整数，
所以为整数，
所以，
假如，则，则应为的倍数，
设为整数，若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
所以，即.
【名师押题·第二题】已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”.
(1)判断是否是上的“函数”？请说明理由；
(2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
(3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值.
【答案】(1)是上的“函数”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)6
【分析】（1）根据定义直接判断即可；
（2）结合定义可得在上恒成立，设，求导可知函数在上单调递增，且.由，可知，根据的单调性即可证明；
（3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数研究其单调性分析即可求解.
【详解】（1）是上的“函数”，理由如下：
，.
，，
，
在恒成立，
是上的“函数”.
（2）是上的“函数”，
在上恒成立，
设，则，
∴在上单调递增，且.
又，，即.
∵在上单调递增，，
∴.
（3），.
∵是上的“函数”，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即.
综上所述，.
∵，当时，，
∴，即.
令，，
则由题意可知：存在，使得在上为增函数，
即存在，使得，即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
而函数在上单调递增，所以，即.
另一方面，当，时，，，
可知恒成立，满足题意，
所以实数的最大值为6.
【点睛】与函数的新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的函数定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
【名师押题·第三题】已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为．
(1)求数列的通项公式；
(2)当数列的项数为时，求的值；
(3)若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由已知条件求出的值，由得，两式作差得出，再利用累乘法可求出数列的通项公式；
（2）列出数列的项，对的取值进行分类讨论，列举出、、的取值，即可得出的值；
（3）由题意可得，可得出，，然后对为奇数和偶数两种情况进行讨论，列举出符合条件的数列，可得出的最小
【详解】（1）由题，，解得，
由得，两式作差得，即，
所以，，，……，，
累乘得：，即，
因为，符合上式，所以．
（2）由（1）知，，所以，
当数列的项数为4时，可知，，，，
若数列为数列的“异位数列”，则：当时，，，；或，，；或，，共3种情况．
同理当或时，对应的排列各有3种情况，所以．
（3）因为数列为数列的“异位数列”，
所以，即，所以，所以，
当，时，若对任意的，都有，取等号，
此时，，…，，，
所以当，时，的最小值为，
当，时，的不可能取到等号，因为存在，使得，
将，，，，分为组，
不妨为，，……，，时，
可以取到等号，
此时，，……，，，，，，
此时，
所以当，时，的最小值为，
综上，当为偶数时，的最小值为；
当为奇数时，的最小值为．
【名师押题·第四题】设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．
(1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；
(2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；
(3)证明：不存在“等比关联数列”．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据定义计算出的前三项，即可写出等比数列的通项公式；
（2）先计算出及的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再分两种情况讨论的可能性，从而得到使的前3项成等比数列的所有可能情况，进而求出概率；
（3）先计算出的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再求出确定的，推理出，，是连续三项，从而推理出是第4项或第7项，进而分两种情况讨论即可得证.
【详解】（1）因为，，，
由定义可知，，
故数列的通项公式为；
（2）因为中4项均不相同，所以有种，有项，
假设，则，，，．
设的公比为，则，
又数列的第三项，第四项，
或第三项，第四项，
所以，
且，得，且，
或，
且，得，且，
这两种情况，不能同时成立，使得的前3项为等比数列有4种情况，
故．
（3）当时，假设的各项从小到大排列，此时数列有项，
则，，，，
因为是等比数列，所以，即，所以．
设的公比为，则，所以，
所以，，
剩余四项为，，，，
又公比，所以，，是连续三项，因此是第4项或第7项，
当时，，所以，即，不符合题意；
当时，，所以，即，不符合题意；
因此当时，不存在“等比关联数列”．
【名师押题·第五题】设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的．
(1)如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值；
(2)已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项；
(3)设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值．
【答案】(1)或；
(2)；
(3).
【分析】（1）设，利用定义推理可得，求解方程并验证即得.
（2）利用定义求出首项，结合递推公式求解，并借助反证法推理求得通项公式.
（3）设分别表示的前项和，利用给定的定义，结合前和与第的关系推理求出最小值.
【详解】（1）设，
则由，解得，
又，
而，因此，解得.
当时，；
当时，，
当时，，
即，符合题意，
所以或.
（2）由是由“生成”的，是由“生成”的，
得，则，
于是或，而，因此，
若，则，，
若，且，
假设是第一个使不同时为0的整数，则，
此时，而，则，矛盾，
从而不存在使不同时为0的整数，
所以.
（3）设分别表示的前项和，
即分别是由-生成"的，
由，得；
当时，.
于是，同理，
而，则，
，，
.
所以，，
令，则，
，，
因此，
所以取到最小值.
函数及其性质（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 6 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） B． C． D． 判断指数函数的单调性；根据分段函数的单调性求参数；研究对数函数的单调性
2024年新高考I卷 8 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A．B． C．D． 求函数值；比较函数值的大小关系
2024年新高考II卷 6 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） B． C．1 D．2 函数奇偶性的应用；根据函数零点的个数求参数范围；函数奇偶性的定义与判断；求余弦（型）函数的奇偶性
2024年新高考II卷 8 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ） B． C． D．1 由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题
2023年新高考I卷 4 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A．B． C． D． 根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围
2023年新高考I卷 11 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）． A．B． C．是偶函数D．为的极小值点 函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析
2023年新高考II卷 4 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）． B．0 C． D．1 由奇偶性求参数；函数奇偶性的应用
2022年新高考I卷 12 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） B． C． D． 函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；抽象函数的奇偶性
2022年新高考II卷 8 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ） B． C．0 D．1 函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值
近三年新高考数学函数及其性质选填题考查情况总结
1.考点方面
函数基本性质：单调性（如根据分段函数或复合函数单调求参数）、奇偶性（由奇偶性求参数或判断性质）、对称性（利用函数对称性解决问题）是核心考点。例如 2024 年新课标 Ⅰ 卷第 6 题考查分段函数单调求参数，2023 年新课标 Ⅱ 卷第 4 题由奇偶性求 a 值。
函数综合应用：涉及函数值比较（2024 年新课标 Ⅰ 卷第 8 题）、函数零点与参数关系（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 6 题）、不等式恒成立求最值（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题）。还考查抽象函数性质（2022 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题利用函数方程求累加和）。
导数与函数结合：如 2022 年新课标 Ⅰ 卷第 12 题通过导函数与原函数对称性的关系解题，体现导数工具性。
2.题目设置方面
以选择题为主，分值 5 分，题干简洁但综合性强。注重对函数性质的深度理解与灵活运用，如根据单调性列不等式组、利用奇偶性建立方程、结合对称性推导函数值关系等。
1.题型与分值：预计 2025 年仍以选择题或填空题形式出现，分值 5-6 分，保持对函数核心性质的考查。
2.考查方向
核心性质深化：函数的单调、奇偶、对称性质仍是重点，可能结合导数考查复杂函数单调性，或通过奇偶性与对称性的综合推导函数特征。
综合应用拓展：函数与方程零点、不等式的综合会更常见，如根据零点个数求参数范围，或利用函数单调性解不等式。也可能出现函数与数列的简单交汇，如通过函数周期性求数列和。
创新与灵活度：可能引入新情境或新定义（如给定特殊函数方程），考查对函数性质的迁移应用能力，注重思维灵活性与对知识的综合运用。
单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的四则运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.
故选：.
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
【名校预测·第一题】（山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题）
函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题
【分析】利用复合函数的单调性和函数的定义域求解即可.
【详解】函数，故，且为减函数，
若，则在为减函数，则函数为增函数，故舍去；
若，则为增函数，因为函数在区间上是减函数，
故.
故的取值范围是.
故选：D.
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
（多选）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．
【答案】ABD
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】根据已知条件，通过赋值法求出函数的一些特殊值，再结合函数的对称性逐一分析选项.
【详解】对于A，令，则，
因为，所以，解得，故A正确；
对于B，令，则，得，
由A可知，所以，即，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，令，则，即.
假设的图象关于直线对称，则有，与矛盾，
所以假设不成立，的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，由于且，则有，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
（多选）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【答案】A
【来源】重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题
【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求.
【详解】由为偶函数，得，即，则，
因此，即，则，
于是，函数是周期为4的周期函数，
由，得，因此，
所以．
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键.
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
（多选）已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
【答案】ABD
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（十）数学试卷
【分析】代入求得判断A；利用函数的周期判断B；利用已知条件和函数的周期性判断C；根据函数的奇偶性结合已知条件求出，判断D.
【详解】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又，所以，故A对；
对B，由，，得，
所以，所以，，
又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数，
所以，故B对；
对C，在上单调递增，在上单调递减，
由，的图象关于对称且，
由A可得，故在上单调递增，在上单调递减，
可知在单调递减，在单调递增，
又的周期为4， 所以在单调递增，
所以在单调递减，在单调递减，
又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数，
所以则的极大值点为，故C错；
对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则，
即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周期性分析.
【名师押题·第一题】已知是奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由奇函数的性质列方程求参数即可.
【详解】是奇函数，
由得，
所以恒成立，则，解得.
故选：C
【名师押题·第二题】若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得，再利用基本不等式常数代换的方法即可求解.
【详解】由，得或，
由为增函数，解得或，
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立，
因此，即.
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
【名师押题·第三题】已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】应用已知条件结合赋值法及累加法得出得，再应用偶函数性质得出函数值即可.
【详解】因为，恒成立，
令，则恒成立，即，
所以，
所以，，，…，，
以上各式两边分别相加，得，
在中，令，得，
因为为偶函数，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选:B.
【名师押题·第四题】已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案.
【详解】由函数的图象关于点中心对称可知，
，即，
可得，因此函数具有对称轴，
由，可得，
由为上的偶函数且具有对称轴，可得．
故选：B．
【名师押题·第五题】（多选）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足当时，，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】找到特殊函数判断A，D，归纳得到判断B，再对两边同时求和得到，再判断C即可.
【详解】对于A，若，
不妨令，则，，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
则，
，则，
不满足，故A错误，
对于B，由，
，，
由归纳可得，，故B正确；
对于C，由已知得，，
故，则，故C正确；
对于D，当时，
若，则
，
设，则，
故，故，
即，
当时，，
当时，，
故满足时，，
此时，不满足，故D错误．
故选：BC．
三角函数的图象及其性质（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 7 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 正弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数
2024年新高考II卷 9 6 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ） 与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求函数零点或方程根的个数
2023年新高考I卷 15 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用
2023年新高考II卷 16 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ． 由图象确定正（余）弦型函数解析式；特殊角的三角函数值
2022年新高考I卷 6 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A．1 B． C． D．3 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
2022年新高考II卷 9 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性
近三年新高考数学三角函数的图象及其性质选填题考查情况总结
考点：涉及函数图象交点（如2024年新课标Ⅰ卷）、性质比较（2024年新课标Ⅱ卷）、性质与参数求解（2023年新课标Ⅰ卷）、图象与特殊点（2023年新课标Ⅱ卷）、综合性质判断（2022年新课标Ⅱ卷）。
题型：以选择题为主，分值5或6分，侧重考查对三角函数图象和性质（周期、对称轴等）的理解与应用。
2025 年新高考预测题型与分值：预计为选择题或填空题，分值约 5 -6分。
考查方向：深化核心性质（如结合多性质求参数）；拓展图象应用（如交点问题、求参问题）；综合创新（与导数结合求切线或考查图象变换）。
特殊角的三角函数值
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
三角函数的图象与性质
(
函
数
性
质
)
图象
定义域
值域
最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数．
对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴
三角函数型函数的图象和性质
正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
正切型函数性质
的周期公式为：
三角函数的伸缩平移变换
伸缩变换（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
平移变换（，是平移量）
平移法则：左右，上下
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
【名校预测·第一题】（2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）
（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度
C．在上的值域为
D．两个相邻的零点之差的绝对值为
【答案】AD
【来源】2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题
【分析】由的值求出的值可判断A；通过函数的平移原则可判断B；直接根据正弦函数的性质可判断C；令解出可判断D.
【详解】因为，所以的图象关于直线对称，A正确．
，B不正确．
由，得，则，C不正确．
由，得，则，
即，所以两个相邻的零点之差的绝对值为，D正确．
故选：AD.
【名校预测·第二题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值.
【详解】函数，其中锐角由确定，
由，得，而，
因此，即，则，
即，于是，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
【分析】由题知，进而根据题意得在上单调递增，且，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】，
因为，所以
因为函数在区间上单调递增，
所以函数在上单调递增，且，即.
因为，
所以，函数在上单调增，
等价于或，
所以，解不等式得或，所以，的取值范围是.
故选：C
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（十）数学试卷
【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调，
且满足，而，,
即的一个对称中心为，故；
而，故在区间上单调，
设函数的最小正周期为T，则；
函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期，
故，即，
解得，结合，
可得的取值范围为，
故选：B.
【名校预测·第五题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
【答案】B
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.
【详解】解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称，
对满足的，，有，∴.
再根据其图像关于直线对称，可得，.
∴，∴.
将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.
令，求得，
则函数的单调递减区间是，，
故选B.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.
【名师押题·第一题】已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求在上的单增区间，结合题意，可得关于与的不等式组，分，，三种情况得出的取值范围.
【详解】令，则，
因在区间上单调递增，则，
即且且，
若，则不等式组的解集为空集；
若，则；
若，则不等式组的解集为空集，
则的最大值为.
故选：C
【名师押题·第二题】已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可.
【详解】因为，
且当时，，
因为函数在内恰有3个最值点和3个零点，
所以，解得，
故选：D．
【名师押题·第三题】下列关于函数说法正确的是（ ）
A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为
C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴
【答案】B
【分析】令，求出相应的的取值范围，即可化简的解析式，从而求出的取值范围，类似的求出时的取值范围，即可求出的值域，画出函数图象，结合图象判断即可.
【详解】令，即，解得；
所以当时，
由，所以，
所以；
令，即，解得；
所以当时，
由，所以，
所以；
综上可得，
且的值域为，故B正确；
作出函数的大致图象：
由图可知不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误；
因为，，，
由图可知在上单调递减，在上单调递增，
则在上不单调，故C错误；
的对称轴为，故D错误；
故选：B
【名师押题·第四题】（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．在区间上仅有2个零点
【答案】ABD
【分析】根据正弦函数和余弦函数的特殊值、周期性、单调性、值域，逐项计算判断即可.
【详解】对于A，因为，所以且，所以，
故的定义域为，故A正确；
对于B，因为函数和的最小正周期均为，
所以的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为函数在区间，上单调递减，
函数在区间上均单调递减，且值域为；
函数在区间上均单调递减，且值域为.
所以函数与在区间上均单调递增，
则在区间上单调递增，故C项错误；
对于D，令，则，解得，
在区间上有2个解，故D项正确．
故选：ABD．
【名师押题·第五题】（多选）已知函数，为常数，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．在，上单调递增
D．若对于任意的，函数（a为常数）的图象均与曲线总有公共点，则
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变形化简得，然后利用三角函数的性质求解判定ABC；利用分类讨论方法，研究函数的值域，进而得到实数的取值范围.
【详解】
，
易得的最小正周期为，故A正确；
当时，，其值域为，故B错误；
令，得，
故在上单调递增，故C正确；
当时，，
此时；
当时，，此时；
当时，，
因函数的图象均与曲线总有公共点，
则且，
当时，，此时；
当时，，此时，
故，
综上所述，，故D正确.
故选：ACD．
三角恒等变换（选填题）
年份 题号 分值 题干 考点
2024年新高考I卷 4 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ） A． B． C． D． 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的余弦公式化简、求值
2024年新高考II卷 13 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 用和、差角的正切公式化简、求值
2023年新高考I卷 8 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）． B． C． D． 给值求值型问题；用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式
2023年新高考II卷 7 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）． B． C． D． 二倍角的余弦公式；半角公式
2022年新高考II卷 6 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ） A． B． C． D． 用和、差角的余弦公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值
近三年新高考数学三角恒等变换选填题考查情况总结
1.考点：聚焦三角函数化简求值，涉及和、差角公式（2024 年新课标 Ⅰ 卷）、正切公式（2024 年新课标 Ⅱ 卷）、二倍角公式（2023 年新课标 Ⅰ 卷）、半角公式（2023 年新课标 Ⅱ 卷）等。
2.题型：以选择题为主，分值 5 分，侧重考查公式的灵活运用与化简求值能力。
1.题型与分值：预计为选择题或填空题，分值 5-6 分。
2.考查方向：延续对和差角、二倍角等公式的考查，可能与其他知识结合，注重公式的灵活运用，考查化简求值问题。
正弦的和差公式
，
余弦的和差公式
，
正切的和差公式
，
正弦的倍角公式
余弦的倍角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
正切的倍角公式
推导公式
辅助角公式
，，其中，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（十）数学试卷
【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值.
【详解】由.
由.
由.
所以.
故选：B
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
设是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案.
【详解】因为且，
所以，
故，结合，
解得.
故选：C.
【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期月考（六）（3月）数学试卷
【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出，的值，再根据，利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由，得，
又因为，所以，．
由，，得，
因为，所以，．
因为，所以，
，
所以，
故选：B．
【名校预测·第四题】（2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）
已知，则 .
【答案】
【来源】2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题
【分析】由得到，由两角和差余弦公式展开化简即可求解；
【详解】由，
得：，
，
，
所以，
故答案为：
【名校预测·第五题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题
【分析】由角的正弦值求得余弦值，利用余弦与正切的和角公式，可得答案.
【详解】由，则，
由
，则，
当时，,不合题意；
当时，，
则，
，
.
故选：D.
【名师押题·第一题】已知，都是锐角，，，则 ．
【答案】/
【分析】根据题意，利用和条件求出，将看成方程的两根，分解因式求得，根据角的范围确定的值，进而求出角.
【详解】由，可得，故，
因，代入解得，
可将看成方程的两根，解得 或，
因，都是锐角，且，由，解得，
而，故，则.
故答案为：.
【名师押题·第二题】已知，且满足，则，则 ．
【答案】/
【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值.
【详解】因为，，所以，
由得，
即，所以，
所以，得，
所以．
故答案为：
【名师押题·第三题】已知，且，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由同角三角函数的平方关系和二倍角正弦公式求出，再由二倍角的余弦公式代入化简，结合同角三角函数的基本关系即可求出答案.
【详解】因为，
所以，所以，
又，解得：，
因为，所以,所以，
所以.
故选：C.
【名师押题·第四题】已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解.
【详解】因为，所以，
即，整理得，
即，所以或，
即或（舍去）.
故选：D
【名师押题·第五题】已知，，且满足，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知得出，化简得出，结合基本不等式可求出的最小值.
【详解】因为，，所以，，，，
因为，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
此时，即，
因为，，则，即，则，
此时，
因为，所以，则或，
故当或时，等号成立，
因此，最小值为.
故选：D.第二辑
数列（解答题）……………………………………………………………………01
新定义（解答题）…………………………………………………………………07
函数及其性质（选填题 ）……………………………………………………… 12
三角函数的图象及其性质（选填题）……………………………………………19
三角恒等变换（选填题）…………………………………………………………2621世纪教育网(www.21cnjy.com)
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数列（解答题）
年份 题号 分值 题干
2023年新高考I卷 20 12 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算
2023年新高考II卷 18 12 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 利用定义求等差数列通项公式；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
2022年新高考I卷 17 10 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用与关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项
2022年新高考II卷 17 10 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题
近三年新高考数学数列解答题考查情况总结
1.考点方面
数列基本量计算：等差数列通项公式前项和公式的基本量计算是核心。如2023年新课标I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。数列通顶公式求解：利用定义法（如等差数列定义）、与的关系(求通项。如2022年新高考I卷通过为等差数列求通项。
数列求和与综合：分组求和（如2023年新课标II卷)、裂项相消法（如2022年新高考I卷证明不等式)；数列与不等式结合（如证明。
2.题目设置方面
通常设置两问，第一问求数列通项公式，第二问求和或证明不等式、比较大小（如2023年新课标卷证明时整体考点稳定，注重对数列基本公式、方法的理解与运用，兼顾计算能力和逻辑推理能力的考查。
题型与分值：预计以一道解答题（分值约 12 - 17 分）呈现，设置两问，梯度分明。
考查方向
数列基本性质：等差数列、等比数列的通项公式与前 n项和公式仍是考查重点，可能结合递推关系求通项。
数列求和方法：裂项相消法、分组求和法、错位相减法等仍会考查，尤其裂项相消在证明不等式或求和中出现概率高。
综合应用：数列与不等式的综合（如证明数列和的范围、不等式恒成立求参数），或与函数结合考查数列的单调性、最值。
计算与推理：注重基本概念与公式的灵活运用，第二问可能设置一定计算量或推理过程，如通过数列求和证明不等式，考查逻辑严谨性和运算准确性。
等差数列通项公式： 或
等比数列通项公式：
通项公式的构造
（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解
（2）已知用求通项
（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知用求通项公式，其本质是除以
（6）已知用求通项公式，其本质是取到数
（7）已知用求通项公式，其本质是取对数
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧：
；
；
指数型；
对数型.
等
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下数学试卷）
已知正项数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【名校预测·第二题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得 若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【名师押题·第一题】已知数列满足，．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【名师押题·第二题】已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
【名师押题·第三题】已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【名师押题·第四题】已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)设，求数列的前n项和．
(3)设，证明：．
【名师押题·第五题】已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
新定义（解答题）
年份 题号 分值 题干
2024年新高考I卷 19 17 （2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 数列新定义；等差数列通项公式的基本量计算，数列与概率交汇结合
新高考数学新定义解答题考查情况总结
考点方面：聚焦于对新定义概念的理解与运用，如 2024 年新高考全国 I 卷 “可分数列” 的新定义，结合等差数列通项公式的基本量计算，以及数列与概率的交汇考查。注重知识的综合运用，要求考生快速理解新定义，并调用已有知识（如数列性质、概率计算）进行分析。
题目设置方面：通常设置多问，第一问常为具体实例探索（如写出满足条件的所有可分数列），帮助考生初步理解新定义；后续问题逐步深入（如证明某数列符合新定义、计算相关概率并证明不等式），对数学抽象、逻辑推理和运算求解能力要求较高。整体强调对新定义的深度理解与综合应用，考查考生学习新知识并解决问题的素养。
2025 年新高考新定义解答题高考预测
题型与考查形式：预计 2025 年新高考仍会以新定义题考查学生创新思维与综合能力，可能涉及更多元的知识交汇，如数列与函数、几何、概率统计等的结合。题目或设多问，第一问引导理解新定义，后续问题增加难度，深入考查应用能力。
考点趋势：除数列相关新定义外，函数、几何领域的新定义考查概率增加。例如，给出函数的新性质定义，或几何图形的新判定规则，要求考生通过分析、推理、计算解决问题。注重对数学抽象、逻辑推理和创新意识的考查，计算与证明过程可能更复杂，强调基础知识的灵活运用与思维的开放性。
一、数列新定义问题
1. 考察对定义的理解。
2. 考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.
3. 考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握.
二、函数新定义问题
涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.
关于新定义题的思路有：
1.找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
2.由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
3.将已知条件代入新定义的要素中；
4.结合数学知识进行解答.
三、集合新定义问题
对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2.用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3.涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
4.认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
全集，，，若中存在两个非空子集，，满足，，则称，是的一个“组合分拆”，用表示集合的所有元素的和．
(1)若．
①若，，求；
②若为偶数，证明：；
(2)若，为给定的偶数，关于的方程存在有理数解，求的最小值，并写出取得最小值时的一个集合．
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列．
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差．
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数.
(1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简；
(2)证明：；
(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求．
【名校预测·第四题】（山西大学附属中学校2024-2025学年高三下学期3月模拟数学试题）
定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．
(1)求出f（x）的“优秀区间”；
(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：（参考数据：）．
【名师押题·第一题】已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．
【名师押题·第二题】已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”.
(1)判断是否是上的“函数”？请说明理由；
(2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
(3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值.
【名师押题·第三题】已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为．
(1)求数列的通项公式；
(2)当数列的项数为时，求的值；
(3)若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值．
【名师押题·第四题】设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．
(1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；
(2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；
(3)证明：不存在“等比关联数列”．
【名师押题·第五题】设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的．
(1)如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值；
(2)已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项；
(3)设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值．
函数及其性质（选填题）
年份 题号 分值 题干
2024年新高考I卷 6 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） B． C． D． 判断指数函数的单调性；根据分段函数的单调性求参数；研究对数函数的单调性
2024年新高考I卷 8 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A．B． C．D． 求函数值；比较函数值的大小关系
2024年新高考II卷 6 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） B． C．1 D．2 函数奇偶性的应用；根据函数零点的个数求参数范围；函数奇偶性的定义与判断；求余弦（型）函数的奇偶性
2024年新高考II卷 8 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ） B． C． D．1 由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题
2023年新高考I卷 4 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A．B． C． D． 根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围
2023年新高考I卷 11 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）． A．B． C．是偶函数D．为的极小值点 函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析
2023年新高考II卷 4 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）． B．0 C． D．1 由奇偶性求参数；函数奇偶性的应用
2022年新高考I卷 12 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） B． C． D． 函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；抽象函数的奇偶性
2022年新高考II卷 8 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ） B． C．0 D．1 函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值
近三年新高考数学函数及其性质选填题考查情况总结
1.考点方面
函数基本性质：单调性（如根据分段函数或复合函数单调求参数）、奇偶性（由奇偶性求参数或判断性质）、对称性（利用函数对称性解决问题）是核心考点。例如 2024 年新课标 Ⅰ 卷第 6 题考查分段函数单调求参数，2023 年新课标 Ⅱ 卷第 4 题由奇偶性求 a 值。
函数综合应用：涉及函数值比较（2024 年新课标 Ⅰ 卷第 8 题）、函数零点与参数关系（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 6 题）、不等式恒成立求最值（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题）。还考查抽象函数性质（2022 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题利用函数方程求累加和）。
导数与函数结合：如 2022 年新课标 Ⅰ 卷第 12 题通过导函数与原函数对称性的关系解题，体现导数工具性。
2.题目设置方面
以选择题为主，分值 5 分，题干简洁但综合性强。注重对函数性质的深度理解与灵活运用，如根据单调性列不等式组、利用奇偶性建立方程、结合对称性推导函数值关系等。
1.题型与分值：预计 2025 年仍以选择题或填空题形式出现，分值 5-6 分，保持对函数核心性质的考查。
2.考查方向
核心性质深化：函数的单调、奇偶、对称性质仍是重点，可能结合导数考查复杂函数单调性，或通过奇偶性与对称性的综合推导函数特征。
综合应用拓展：函数与方程零点、不等式的综合会更常见，如根据零点个数求参数范围，或利用函数单调性解不等式。也可能出现函数与数列的简单交汇，如通过函数周期性求数列和。
创新与灵活度：可能引入新情境或新定义（如给定特殊函数方程），考查对函数性质的迁移应用能力，注重思维灵活性与对知识的综合运用。
单调性
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的四则运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第一题】（山东省实验中学2025届高三第五次诊断考试数学试题）
函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
（多选）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．
【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
（多选）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
（多选）已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
【名师押题·第一题】已知是奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【名师押题·第二题】若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第三题】已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ）
A． B． C．1 D．
【名师押题·第四题】已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【名师押题·第五题】（多选）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足当时，，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
三角函数的图象及其性质（选填题）
年份 题号 分值 题干
2024年新高考I卷 7 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 正弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数
2024年新高考II卷 9 6 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ） 与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求函数零点或方程根的个数
2023年新高考I卷 15 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用
2023年新高考II卷 16 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ． 由图象确定正（余）弦型函数解析式；特殊角的三角函数值
2022年新高考I卷 6 5 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A．1 B． C． D．3 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
2022年新高考II卷 9 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性
近三年新高考数学三角函数的图象及其性质选填题考查情况总结
考点：涉及函数图象交点（如2024年新课标Ⅰ卷）、性质比较（2024年新课标Ⅱ卷）、性质与参数求解（2023年新课标Ⅰ卷）、图象与特殊点（2023年新课标Ⅱ卷）、综合性质判断（2022年新课标Ⅱ卷）。
题型：以选择题为主，分值5或6分，侧重考查对三角函数图象和性质（周期、对称轴等）的理解与应用。
2025 年新高考预测题型与分值：预计为选择题或填空题，分值约 5 -6分。
考查方向：深化核心性质（如结合多性质求参数）；拓展图象应用（如交点问题、求参问题）；综合创新（与导数结合求切线或考查图象变换）。
特殊角的三角函数值
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
三角函数的图象与性质
(
函
数
性
质
)
图象
定义域
值域
最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数．
对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴
三角函数型函数的图象和性质
正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
正切型函数性质
的周期公式为：
三角函数的伸缩平移变换
伸缩变换（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
平移变换（，是平移量）
平移法则：左右，上下
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【名校预测·第一题】（2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）
（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度
C．在上的值域为
D．两个相邻的零点之差的绝对值为
【名校预测·第二题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第五题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
【名师押题·第一题】已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【名师押题·第二题】已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第三题】下列关于函数说法正确的是（ ）
A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为
C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴
【名师押题·第四题】（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．在区间上仅有2个零点
【名师押题·第五题】（多选）已知函数，为常数，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．在，上单调递增
D．若对于任意的，函数（a为常数）的图象均与曲线总有公共点，则
三角恒等变换（选填题）
年份 题号 分值 题干
2024年新高考I卷 4 5 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ） A． B． C． D． 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的余弦公式化简、求值
2024年新高考II卷 13 5 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 用和、差角的正切公式化简、求值
2023年新高考I卷 8 5 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）． B． C． D． 给值求值型问题；用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式
2023年新高考II卷 7 5 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）． B． C． D． 二倍角的余弦公式；半角公式
2022年新高考II卷 6 5 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ） A． B． C． D． 用和、差角的余弦公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值
近三年新高考数学三角恒等变换选填题考查情况总结
1.考点：聚焦三角函数化简求值，涉及和、差角公式（2024 年新课标 Ⅰ 卷）、正切公式（2024 年新课标 Ⅱ 卷）、二倍角公式（2023 年新课标 Ⅰ 卷）、半角公式（2023 年新课标 Ⅱ 卷）等。
2.题型：以选择题为主，分值 5 分，侧重考查公式的灵活运用与化简求值能力。
1.题型与分值：预计为选择题或填空题，分值 5-6 分。
2.考查方向：延续对和差角、二倍角等公式的考查，可能与其他知识结合，注重公式的灵活运用，考查化简求值问题。
正弦的和差公式
，
余弦的和差公式
，
正切的和差公式
，
正弦的倍角公式
余弦的倍角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
正切的倍角公式
推导公式
辅助角公式
，，其中，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
设是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【名校预测·第四题】（2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）
已知，则 .
【名校预测·第五题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）
则（ ）
A． B． C． D．
【名师押题·第一题】已知，都是锐角，，，则 ．
【名师押题·第二题】已知，且满足，则，则 ．
【名师押题·第三题】已知，且，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【名师押题·第四题】已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【名师押题·第五题】已知，，且满足，则最小值为（ ）
A． B． C． D．

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