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第5章 分式单元提升测试卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·河北邢台·期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变
C．缩小3倍 D．扩大9倍
2．（3分）（2024·河北·中考真题）下列运算结果为x-1的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25七年级·陕西咸阳·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．（3分）（24-25七年级·四川德阳·期末）若，则M、N的值分别为( )
A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1
5．（3分）（24-25七年级·河南南阳·期末）对于实数a和b，定义一种新运算“ ”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25七年级·山东青岛·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 4 a 16
分式的值 无意义 0 b
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25七年级·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（3分）（24-25七年级·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有且仅有有4个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．9
9．（3分）（24-25七年级·山西临汾·期末）小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了千米，且A款一共消耗了度电，B款一共消耗了度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）（24-25七年级·山东济南·期中）已知,且，则为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·河北石家庄·阶段练习）若分式的值等于，则的值为 ．
12．（3分）（24-25七年级·浙江绍兴·期末）已知实数满足，则 ．
13．（3分）（24-25七年级·福建莆田·期末）如果关于x的方程无解，则a的值为
14．（3分）（24-25七年级·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元/，乙所购面粉的平均单价是______元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式）
15．（3分）（24-25七年级·湖北荆州·期末）A, B两地相距120 km，甲骑摩托车，乙驾驶小汽车，同时从A地出发去B地．已知小汽车的速度是摩托车速度的1.6倍，乙中途休息了0.5小时还比甲早到0.4小时，则小汽车的速度为 km/小时．
16．（3分）（24-25七年级·浙江宁波·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（24-25七年级·江苏苏州·期末）计算：
(1)
(2)．
18．（6分）（24-25七年级·安徽合肥·期末）解分式方程：
(1)；
(2)
19．（8分）（24-25七年级·上海松江·期末）已知关于的方程．
(1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值；
(2)若该方程的解为负数，求的取值范围．
20．（8分）（24-25七年级·江苏南通·期末）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
(1)下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）；
(2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”；
(3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
21．（8分）（24-25七年级·宁夏中卫·期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？
(1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程：
小聪：
小慧：
则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______．
(2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？
(3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务．
22．（8分）（24-25七年级·北京昌平·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式的值为整数，求的整数值
23．（8分）（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
(2)计算：______
(3)①已知，求的值；
②若，直接写出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 分式单元提升测试卷
解析卷
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·河北邢台·期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变
C．缩小3倍 D．扩大9倍
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的分子分母都乘以或除以一个不为的整数，分式的值不变，即可得到答案．
【详解】解：．
故选：B．
2．（3分）（2024·河北·中考真题）下列运算结果为x-1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算即可判断．
【详解】A．=，故此选项错误；
B．原式=，故此选项g正确；
C.原式=，故此选项错误；
D.原式=，故此选项错误.
故答案选B.
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键．
3．（3分）（24-25七年级·陕西咸阳·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，再由题意得出，，求解即可得出答案．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵关于的分式方程的解是非负数，
∴，，
解得：且，
故选：B．
4．（3分）（24-25七年级·四川德阳·期末）若，则M、N的值分别为( )
A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1
【答案】B
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出M与N的值．
【详解】，
∴M+N=-3，N-M=1，
解得：M=-2，N=-1．
故选B．
【点睛】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
5．（3分）（24-25七年级·河南南阳·期末）对于实数a和b，定义一种新运算“ ”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：A．
6．（3分）（24-25七年级·山东青岛·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 4 a 16
分式的值 无意义 0 b
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的值，分式有意义的条件，解分式方程，结合已知条件列得正确的算式及方程是解题的关键．
结合已知条件，利用分式的值及分式有意义的条件分别求得的值即可．
【详解】解：由表格可得当时，分式无意义，
则，
解得：，则A不符合题意；
当时，分式的值为0，
则，
解得：，则B不符合题意；
当时，分式的值为0.1，
则，
解得：，
经检验，是分式方程的解，则C不符合题意；
当时，分式的值为，
则，则D符合题意；
故选：D．
7．（3分）（24-25七年级·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解．
【详解】∵
∴
∴上述方程有解及
即及
所以原方程的解为，
故选：D
【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成．
8．（3分）（24-25七年级·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有且仅有有4个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．9
【答案】C
【分析】解关于的不等式组，根据“该不等式组有且仅有4个整数解”，得到关于的不等式；解一元一次方程，得到，根据分式方程有整数解，可得的值是：-3，-1，据此求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为：
∵该不等式组有且仅有4个整数解，
∴，
解得：，
解分式方程，得 ，
∵分式方程有整数解
即：是整数且，
∴的值是：-3，1，
∴它们的和为-2；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
9．（3分）（24-25七年级·山西临汾·期末）小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了千米，且A款一共消耗了度电，B款一共消耗了度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则B款新能源汽车每百千米消耗的电量是度，依题意得，，然后判断作答即可．
【详解】解：设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则B款新能源汽车每百千米消耗的电量是度，
依题意得，，
故选：D．
10．（3分）（24-25七年级·山东济南·期中）已知,且，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算，先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得．
【详解】解： ，
，
，
，
这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
，
．
故选C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·河北石家庄·阶段练习）若分式的值等于，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义和分式的值为的条件可得，据此解答即可求解，掌握分式有意义和分式的值为的条件是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故答案为：．
12．（3分）（24-25七年级·浙江绍兴·期末）已知实数满足，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用：分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意得：，，代入原式后化简即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴代入到上式，即原式，
，
，
，
故答案为：．
13．（3分）（24-25七年级·福建莆田·期末）如果关于x的方程无解，则a的值为
【答案】1
【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练运用分式方程的解法是解题的关键．
先确定方程的增根，再去分母后所得整式方程，然后将增根代入计算即可．
【详解】解：由于关于x的方程无解，则增根为，
去分母得， ，
当时，可得：，解得：．
故答案为：1．
14．（3分）（24-25七年级·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元/，乙所购面粉的平均单价是______元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式）
【答案】；；
【分析】本题考查了列代数式，分式的减法运算．根据题意可用含，的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值．
【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/），
乙购买面粉的平均单价是：（元/），
在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/），
故答案为：；；．
15．（3分）（24-25七年级·湖北荆州·期末）A, B两地相距120 km，甲骑摩托车，乙驾驶小汽车，同时从A地出发去B地．已知小汽车的速度是摩托车速度的1.6倍，乙中途休息了0.5小时还比甲早到0.4小时，则小汽车的速度为 km/小时．
【答案】80
【分析】设摩托车的速度是km/小时，小汽车的速度是km/小时，根据题意列出分式方程，再求解即可．
【详解】解：设摩托车的速度是km/小时，小汽车的速度是km/小时，
，
解得，
经检验是分式方程的解．
．
故答案为：80
【点睛】本题考查分式方程的应用，先设出摩托车速度，表示小汽车的速度，以时间作为等量关系列方程求解．
16．（3分）（24-25七年级·浙江宁波·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．
根据题意得出，设，则，得出，，求出，，根据求出结果即可．
【详解】解：∵
∴
设，则，
∵这四个长方形的面积都是，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：4．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（24-25七年级·江苏苏州·期末）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键．
（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可；
（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式
．
18．（6分）（24-25七年级·安徽合肥·期末）解分式方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：∵,
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的根，
故是原方程的根．
（2）∵，
即，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
系数化为1，得
经检验，是原方程的根，
故原方程的根为．
19．（8分）（24-25七年级·上海松江·期末）已知关于的方程．
(1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值；
(2)若该方程的解为负数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，将分式方程转化为整式方程求解是解此题的关键．
（1）解分式方程得，由去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解可得当时，满足题意，从而得出，求解即可；
（2）解分式方程得，由该方程的解为负数得出，结合要使原分式方程有解，则，即可得出答案．
【详解】（1）解：方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：，
去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，
当时，满足题意，
，
解得：；
（2）解：方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：，
该方程的解为负数，
，
解得：，
由（1）可得，要使原分式方程有解，则，
的取值范围为：且．
20．（8分）（24-25七年级·江苏南通·期末）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
(1)下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）；
(2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”；
(3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
【答案】(1)②③
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入 计算出结果即可；
（3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可．
【详解】（1）解：①
② ；
③
则
∴属于“友好分式组”的有②③．
故答案为：②③
（2）∵a，b互为倒数，
∴，，
∴
∴与属于“友好分式组”
（3）
∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，
或
把①代入
把②代入
∴的值为或
21．（8分）（24-25七年级·宁夏中卫·期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？
(1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程：
小聪：
小慧：
则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______．
(2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？
(3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务．
【答案】(1)甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间
(2)甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块
(3)不能，每小时至少多做12块
【分析】本题考查分式方程的应用：
（1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可；
（2）解分式方程即可；
（3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果．
【详解】（1）解：小聪所列方程，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，
故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量
小慧所列方程，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块，
故x表示乙队完成任务所需时间；
（2）解：，得：，
经检验是原方程的解，
∴，
答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块；
解：，得：；
经检验是原方程的解，
∴，；
答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块；
（3）不能；1小时20分钟小时
甲队已完成：（块）；
乙队已完成：（块）；
还剩余：（块）；
两队合作1小时可完成：（块），
，
故不能完成；
（块）；
答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务．
22．（8分）（24-25七年级·北京昌平·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式的值为整数，求的整数值
【答案】（1）；（2）、、0、
【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论；
（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定的值．
【详解】解：（1）
故答案为：；
（2）原式
因为的值是整数，分式的值也是整数，
所以或，
所以、、0、．
所以分式的值为整数，的值可以是：、、0、．
【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义．
23．（8分）（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
(2)计算：______
(3)①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)①1，②5．
【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可；
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可；
（3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可．
【详解】（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
（3）解：①∵，
∴
．
②∵，
∴
．
【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题．

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