资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025七年级下册数学期末押题预测卷
解析卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（ ）
的取值 4 6
分式的值 无意义 0
A． B．6 C．4 D．2
【答案】D
【详解】解：∵当时分式无意义，∴，∴；
∵当时，分式的值为，∴，∴；
∴分式为，∴根据表格可知：，，解得：，
经检验：是原分式方程的解，∴，故选：D．
2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，故选：C．
3.（2025·四川绵阳·二模）《孙子算经》中有一个有趣的数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何？”其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为（ ）
A．2.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．11尺
【答案】C
【详解】解：设绳长为x尺，长木长y尺，根据题意，得
，解得，所以长木长为6.5尺．故选：C．
4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是110
B．全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人
C．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是
D．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有33人
【答案】B
【详解】解：，这次调查的样本容量为200，故A选项不符合题意；
最喜欢羽毛球的有（人），最喜欢排球的有（人），
（人），全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人，故B选项符合题意；
被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人，故D选项不符合题意；
，扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是，故C选项不符合题意；故选：B.
5．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：A．若，，则，利用了平行的传递性，故此项不符合题意；
B．若，则，利用了内错角相等，两直线平行，故此项不符合题意；
C．若，则，不能判断，故此项符合题意；
D．若，则，先利用对顶角相等，再利用同旁内角互补，两直线平行，故此项不符合题意．
故选C．
6．（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，
根据题意，得，
当时，，都能成立；
当时，则，则，故，
故，故一定能被8整除，故选：D．
7．（2025·广东清远·一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，，，
，，故选：B．
8．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．则下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：；；；，
A、，不符合题意；B、，不符合题意；
C、，不符合题意；D、，符合题意；故选：D．
9．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【详解】解：，得：，
当这个方程组的解，的值互为相反数时，则，∴，解得，①结论正确；
当时，方程组为，方程为，解得：将代入中，得：，
方程组的解是方程的解，②结论正确；
当时，，，解得：，
无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确；
，④结论不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，故选：A．
10．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①的计算结果中项的系数为；②的计算结果中各项系数的绝对值之和为；
③当时，的计算结果为；④当除以2025，余数为2023．
上述结论中，正确的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】①观察“杨辉三角”可知，各项系数对应“杨辉三角”中第行的数，该行共有个数，
项的系数对应“杨辉三角”所在行的第1个数，项的系数对应第2个数，a项的系数对应第个数，
各项系数对应“杨辉三角”中第行的数，项的系数对应“杨辉三角”所在行的第2个数，即，由于中，，∴项的系数为，故①符合题意，
②首先在“杨辉三角”中找规律，第3行系数的绝对值之和为，
第4行系数的绝对值之和为，第5行系数的绝对值之和为，
∴第行系数的绝对值之和为，∴所在的第行系数的绝对值之和为，故②符合题意，
③在“杨辉三角”中找规律，当时，第3行计算结果为，
第4行计算结果为，第5行计算结果为，
因此第n行计算结果为，
∴的计算结果为，故③符合题意，
④，在“杨辉三角”中找规律，当时，计算第3行除以，，余数为1，
计算第4行除以，，余数为，
计算第5行除以，，余数为，
因此得出规律，奇数行除以，余数为，偶数行除以，余数为，
系数所在行为行，为偶数行，∴除以余数为，故④不符合题意，
综上所述，①②③符合题意，共个，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2025·安徽芜湖·一模）因式分解： ．
【答案】
【详解】解：原式，故答案为：．
12．（2025·上海·模拟预测）根据统计图，回答问题：该超市10月份的水果类销售额 （填“”“=”或“”）11月份的水果类销售额．
【答案】
【详解】解：10月份的水果类销售额为：（万元），
11月份的水果类销售额为：（万元），
∵，∴该超市10月份的水果类销售额11月份的水果类销售额．故答案为：．
13．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ．
【答案】3
【详解】解：设，，，∴，，，
∵，∴，∴故答案为：3．
14．（2025·山西朔州·一模）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元．
【答案】
【详解】解：设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，
由题意可得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，故答案为：．
15．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知，与交于点，平分，平分．如图1，当，时，的度数为 ；如图2，当时，的度数为 ；当时，的度数为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【详解】解：过E作，如图所示：
∵，∴，∴，
∵平分平分，∴，，
∴，则；
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴；
过E作，如图所示：∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．故答案为：，，
16.（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的有 ．（填序号）
①若a，b，c满足，则的最小值为1．
②若a，b，c满足，则的值是13．
③关于x的多项式的展开式中的系数为．
④若x，y满足，，则的值为．
【答案】②④
【详解】解：①
，，，
，，，
的最小值为，故此项错误；
②设，，，，
，
的值是13，故此项正确．
③，，，，
关于x的多项式的展开式中的系数为，故此项错误；
④，，，，，，
，，，
；故此项正确；故答案为：②④．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·广东深圳·一模）先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值和解分式方程．先把分式化简，然后解分式方程求出x的值，把x的值代入化简的结果即可．
【详解】解：
，
，
解得：，
经检验，时，，
则是原分式方程的解，
把代入得：
18．（24-25八年级下·广东深圳·期中）（1）分解因式：
（2）先化简，后求值：，其中，
【答案】（1），（2）；
【详解】解：（1）解：．
（2）原式
；
当，时，
原式．
19．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程（组）：(1) (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：去分母，得：，
解得：；
当时，，
∴是原方程的解．
（2）
，得：，解得：，
把代入②，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
20．（24-25七年级上·山东威海·期末）为增强学生的环保意识，某学校开展了以“低碳生活，绿色相伴”为主题的环保知识竞赛．现从七年级随机抽取部分学生的测试成绩（百分制，单位/分）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布表如下：
组别 测试成绩（分） 频数
第1组 a
第2组 6
第3组 b
第4组 14
第5组 8
b．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布直方图及扇形图如下：
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调研，从该校七年级随机抽取了_______名学生进行调查；
(2)表中_______；第3组所对应的扇形的圆心角的度数是_______．
(3)已知该校七年级学生共计300人，如果测试成绩不低于80分为优秀，请你根据调查结果，估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有多少人？(4)为了了解学生环保意识的现状，学校随机抽取了部分学生进行座谈，了解到同学们平时获取环保知识主要通过书籍、网络资料、学校开设的环保课程等途径，这些数据属于_______（填定性数据或者定量数据）．
【答案】(1)40(2)(3)165人(4)定性数据
【详解】（1）解：（名）；故答案为：40；
（2），；故答案为：；
（3）（人）；
答：估计七年级学生测试成绩达到优秀的约有165人；
（4）由题意，这些数据属于定性数量；故答案为：定性数据．
21．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）为了迎接第十一届全球湘商大会，怀化市一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成．从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期天完成任务．(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？
(2)已知两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期？请说明理由．
【答案】(1)甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天
(2)单独租甲车的租金最少且不耽误工期，理由见解析
【详解】（1）解：设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天，
根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，，
答：甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天；
（2）解：若甲乙两车合作需要（天），设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元，
根据题意，得，解得，
租甲乙两车需要费用为：元；
单独租甲车的费用为：元；
单独租乙车的费用为：元；
综上可得，单独租甲车的租金最少且不耽误工期．
22．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践：
【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】（4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）；（3）14；（4）5或7
【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是，
，故答案为：；
（2）边长为的正方形的面积为：，
分9部分来看，正方形的面积为，
两部分面积相等，，
故答案为：；
（3）由（2）知，
，
．
的值为14；
（4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：，
从因式分解的角度看，可分解为或，
或，的值为5或7．
23．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知，…，则依据此规律 ；
②请你利用十字相乘法进行因式分解： ；
(2)若、满足．求的值；
(3)受此启发，解方程．
【答案】(1)①；②；(2)(3)
【详解】（1）解：①∵ ∴类比得．
②．故答案为：①；②；
（2）解：∵，满足，即
∴，，解得：，．
；故答案为：．
（3）解：，
，
，
，，，，，
经检验，是原方程的解，∴原方程的解为．
24．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
(1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程．
(2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
(3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)127
【详解】（1）证明：如图2：过点作，
∵，∴，
∴∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，∴，∴，
∴．
∴．
（3）解：如图3：过点C作，
∴，∴，
∵，∴，
∴由（1）的结论可知，故答案为：127．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025七年级下册数学期末押题预测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（ ）
的取值 4 6
分式的值 无意义 0
A． B．6 C．4 D．2
2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3.（2025·四川绵阳·二模）《孙子算经》中有一个有趣的数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何？”其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为（ ）
A．2.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．11尺
4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是110
B．全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人
C．扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是
D．被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有33人
5．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
7．（2025·广东清远·一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．则下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①的计算结果中项的系数为；②的计算结果中各项系数的绝对值之和为；
③当时，的计算结果为；④当除以2025，余数为2023．
上述结论中，正确的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2025·安徽芜湖·一模）因式分解： ．
12．（2025·上海·模拟预测）根据统计图，回答问题：该超市10月份的水果类销售额 （填“”“=”或“”）11月份的水果类销售额．
13．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ．
14．（2025·山西朔州·一模）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元．
15．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知，与交于点，平分，平分．如图1，当，时，的度数为 ；如图2，当时，的度数为 ；当时，的度数为 ．（用含的式子表示）
16．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的有 ．（填序号）
①若a，b，c满足，则的最小值为1．
②若a，b，c满足，则的值是13．
③关于x的多项式的展开式中的系数为．
④若x，y满足，，则的值为．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·广东深圳·一模）先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
18．（24-25八年级下·广东深圳·期中）（1）分解因式：
（2）先化简，后求值：，其中，
19．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程（组）：(1) (2)
20．（24-25七年级上·山东威海·期末）为增强学生的环保意识，某学校开展了以“低碳生活，绿色相伴”为主题的环保知识竞赛．现从七年级随机抽取部分学生的测试成绩（百分制，单位/分）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布表如下：
组别 测试成绩（分） 频数
第1组 a
第2组 6
第3组 b
第4组 14
第5组 8
b．该校七年级部分学生测试成绩的频数分布直方图及扇形图如下：
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调研，从该校七年级随机抽取了_______名学生进行调查；
(2)表中_______；第3组所对应的扇形的圆心角的度数是_______．
(3)已知该校七年级学生共计300人，如果测试成绩不低于80分为优秀，请你根据调查结果，估计该校七年级学生测试成绩达到优秀的约有多少人？(4)为了了解学生环保意识的现状，学校随机抽取了部分学生进行座谈，了解到同学们平时获取环保知识主要通过书籍、网络资料、学校开设的环保课程等途径，这些数据属于_______（填定性数据或者定量数据）．
21．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）为了迎接第十一届全球湘商大会，怀化市一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成．从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期天完成任务．(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？
(2)已知两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期？请说明理由．
22．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践：
【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】（4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值．
23．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知，…，则依据此规律 ；
②请你利用十字相乘法进行因式分解： ；
(2)若、满足．求的值；
(3)受此启发，解方程．
24．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
(1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程．
(2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
(3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°．

展开更多......

收起↑