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2024-2025 学年上海市宝山区行知中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量 = (4,2)， = ( , 1)，若 与 不能作为平面向量的一组基底，则 =( )
A. 2 B. 10 C. 6 D. 0
2.已知 为虚数单位，若复数( + )2 为正实数，则实数 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
3.已知函数 ( ) = cos(2 + 4 )，将 = ( )
1
的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变；再
把所得的图象向右平移| |个单位长度，所得的图象关于原点对称，则 的一个值为( )
A. 3 B. 3 C. 5 4 8 16 D.
3
16
4 ( ) ∈ [0, + ∞) > ( 1) ( ).已知 是定义在 上的偶函数，若任意 1， 2 且 1 2时， 2 > 1 + 2恒成立，且1 2
(3) = 0，则满足 ( + 3) ≤ 2 + 6 的实数 的取值范围为( )
A. [ 6,0] B. [0,1] C. [ 3,2] D. [ 2,2]
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5 1.函数 ( ) = 2的导数 ′( ) = ______．

6.已知 为虚数单位，复数 满足 = 2 ，则 = ______．
7.若 = 23，则 cos( +

2 ) = ______．

8.已知全集 = { | = 2 }， = [1,5]，则 = ______．
9.已知向量 = (1,3)， = (2, 4)，则 在 上的数量投影是______．
10.若扇形的面积为 4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为______．
11.已知向量 = ( 2,3)，点 (2, 1)，若向量 与 方向相同，且| | = 2 13，则点 的坐标为______．
12.若关于 的方程 2 + = 0 的一个虚根的模为 2，则实数 的值为______．
13.若函数 ( ) = 2 ( + ) 1 在区间(0,1)上有零点，则实数 的取值范围是______．
14.在△ 中，过中线 的中点 作一条直线分别交 、 于 、 两点，若 = ， = ( >
0, > 0)，则 3 + 2 的最小值为______．
15.设 1， 2 ∈ 且 1 = 2，满足| 1 2 | = 2，则| 1 2|的取值范围是______．
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16 .若对任意的 ∈ ，存在 ∈ (0, 2 )满足不等式| + 1| + | | ≥
1 1
sin2 + cos2 ，则实数 的取值范围是
______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = log 2(4 + 1) 是偶函数．
(1)求 的值；
(2)若 ( ) > log25 1，求 的取值范围．
18.(本小题 14 分)
已知复数 1 = + 2 + ( 2 3) , 2 = 2 (3 + 1) ( ∈ , 是虚数单位)．

(1)若复数 1 2在复平面上对应点落在第一象限，求实数 的取值范围；
(2)设 = 1，分别记复数 1， 2在复平面上对应的点为 ， ，求 与 的夹角．
19.(本小题 14 分)

设△ 三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 3，且 2 2 + 4 ( + ) + 3 = 0．
(1)求角 的大小；
(2)如图， 是 延长线上的一点，在△ 的外角∠ 内取一点 ，使得 = 4.过点 分别作直线 ，
的垂线 ， ，垂足分别是 ， .设∠ = ，求 + 的最大值及此时 的取值．
20.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)求方程 ( ) = 2 在[0, ]上的解集；
(2)设函数 ( ) = ( ) + 2 ；
①证明： = ( ) 在区间( 4 , 2 )上有且只有一个零点；
②记函数 = ( )的零点为 10，证明： 2 < +
1
0 4 2 <
1
0 4．
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21.(本小题 14 分)
对于一组向量 1, 2, 3, , ( ∈ , ≥ 3)，记 = { 1, 2, 3, }，令 = 1+ 2 + 3 + + ，如果
存在 ( ∈ {1,2,3, , })，使得| | ≥ | + |, ( ∈ )，那么称 是 的“ 向量”．
(1)设 = ( , )， ∈ 且 > 0，若 3是 3的“ 3 向量”，求实数 的取值范围；
(2) 若 = (sin 2 , cos 2 )， ∈ 且 > 0，向量组 1, 2, 3, , 7是否存在“ 1 向量”？给出你的结论并
说明理由；
(3)已知 1， 2， 3均是 3的“ 1 向量”，其中 1 = ( , )， 2 = (2 , 2 )，设在平面直角坐标
系中有一点列 1， 2， 3， ， 满足： 1为坐标原点， 2为 3的位置向量的终点，且 2 +1与 2 关于点 1
对称， 2 +2与 2 +1( ∈ 且 > 0)关于点 2对称，求| 2025 2026|的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2 3
6.2
7. 23
8.(5, + ∞)
9. 5
10.1
11.( 2,5)
12.4
13.( 12 , 1)
14.5 64 + 2
15.[0,4 2]
16.{ | ≥ 3 或 ≤ 5}
17.解：(1)因为 ( ) = log2(4 + 1) 是偶函数，且定义域为 ，
所以 ( ) = ( )恒成立，
即log2(4 + 1) + = log2(4 + 1) ，

则 2 = log (4 2 + 1) log 2(4 + 1) = log
1+4
2 1+4 = log24 = 2 恒成立，
所以 = 1；
(2)由(1)可得 ( ) = log (4 2 + 1) ，

若 ( ) > log25 1，则log
1+4 > log 52 2 2 2，
1+4 5 1
所以 2 > 2，即2 > 2 或2 < 2，
所以 > 1 或 < 1，
故 的取值范围为{ | > 1 或 < 1}．
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18.解：(1)由复数 1 = + 2 + ( 2 3) ， 2 = 2 (3 + 1) ，

得 2 = 2 + (3 + 1) ，则 1 2= + ( 2 3 4) ，
> 0
第一象限需满足： 2 3 4 > 0，解得 > 4．
则实数 的取值范围是(4, + ∞)；
(2)当 = 1 时，点 (3, 2)， (2, 4)， = (3, 2), = (2, 4)，
设 , 的夹角为 ，则 ∈ [0, ]，
14 7 7 65
且 = 13 2 5 = 65 , = arccos 65 ．
19.解：(1)因为 + + = ，所以 + = ，所以 cos( + ) = cos( ) = ，
因为 2 2 + 4 ( + ) + 3 = 0，又 2 = 2 2 1，
所以 4 2 4 + 1 = 0，即(2 1)2 = 0，
1
所以 = 2，所以 = 3．
(2) 2 2 因为∠ = 3，则依题意有∠ = 3，又设∠ = ，所以∠ = 3 ，
在 △ 中， = ，在 △ 中， = ( 2 3 )，又 = 4，
所以 + = 4 + 4 ( 2 3 ) = 4 + 2 3 + 2 = 6 + 2 3 = 4 3sin( +

6 )，
∈ (0, 2 ) 5 因为 3 ，所以 + 6 ∈ ( 6 , 6 )，

所以当 + 6 = 2时，即 = 3时， + 有最大值 4 3．
+ 4 3 = 所以 的最大值为 ，此时 3．
20.解：(1)因为 = 2 = cos2 sin2 ，
因此( + + 1)( ) = 0，
因此 = 0 或 + = 1，
当 = 0 时， ≠ 0，那么 = 1，
又 ∈ [0, ] ，因此 = 4，
当 + = 1，那么 sin( + 4 ) =
2
2 ，
又 ∈ [0, ] 5 ，所以 + 4 ∈ [ 4 , 4 ]，
因此 + 5 4 = 4，因此 = ，
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因此 ( ) = 2 在[0, ] 上的解集为{ 4 , }．
(2)①证明： ( ) = + 2 = 2sin( 4 ) + 2 ，
∈ ( , 当 4 2 )

时，那么可得 4 ∈ (0, 4 )，

此时函数 = 2sin( 4 )在区间(

4 ,

2 )上单调递增，
= 2 ( 在区间 4 , 2 )上也单调递增，因此 ( )在区间( 4 , 2 )上单调递增，
( ) = 2sin 2 4 + 2

2 > 0， ( 4 ) = 2 4 < 0，

因此函数 = ( )在区间( 4 , 2 )上有且只有一个零点；
②证明：令函数 = ( )的零点为 0，
因此 0 0 + 2 0 = 0，并且 0 ∈ (
1
4 , 2 )，因此 0 = 2 ( 0 0)，
因此 1 10 + 4 2 0 = 2 ( 0 0) +
1
2 0 0，
令 = 0 0 = 2cos( +
3
0 4 )，由于 0 ∈ ( 4 , 2 )，所以可得 0 + 4 ∈ ( 2 , 4 )，
因此 22 < cos( 0 +

4 ) < 0，因此 ∈ ( 1,0)，
2
又因为 2 = 1 2 0 0，那么 0
1
0 = 2 ，
1 1 1 1 2
因此 0 + 4 2 0 = 2 + 2 × 2 =
1 2 1 1 1
4 + 2 + 4 = 4 ( 1)
2 + 12 ∈ (
1 , 12 4 )，
1 < + 1 2 < 1那么 2 0 4 0 4．
21.解：(1)由题意可得：| 3| ≥ | 3 3 3|，即| 3| ≥ | 1 + 2 2 3|，
因为 = ( , )，则 1 = (1, 1)， 2 = (2, 2)， 3 = (3, 3)，
可得 1 + 2 2 3 = ( 3, 3)，则 9 + ( 3)2 ≥ 9 + 9，
解得 ≥ 6 或 ≤ 0，所以实数 的取值范围( ∞,0] ∪ [6, + ∞)．
(2)存在“ 1 向量”，且“ 1 向量”为 2， 6，理由如下：
由题意得| | = sin2

2 + cos
2
2 = 1.若存在“ 1 向量” ，则|
| ≤ 1，
7 = 1 + 2 + 3+ + 7 = (1 + 0 1 + 0 + 1 + 0 1,0 1 + 0 + 1 + 0 1 + 0) = (0, 1)，
可得| 2 27 | = sin 2 + (cos 2 + 1)
= sin2 2 + cos
2
2 + 2

2 + 1 = 2 + 2

2 ≤ 1，
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则 0 ≤ 2 + 2 2 ≤ 1，即 1 ≤ cos

2 ≤
1
2，
所以当 = 2 或 = 6 时，符合要求．存在“ 1 向量”，且“ 1 向量”为 2、 6．
(3)由题意，得| 1| ≥ | 2+ 3|，| 21| ≥ | 2+ 3|2，
即 21 ≥ ( 2 + )2
2 2 2
3 ，即 1 ≥ 2 + 3 + 2 2 3，
2 2 2
同理 2 ≥ 1 + 3 + 2 1 3， 3
2 ≥ 21 +
2
2 + 2 1 2，
三式相加并化简，得 0 ≥ 2 + 21 2 + 3
2 + 2 1 2 + 2 1 2 + 2 2 3，
即( 21 + 2 + 3) ≤ 0，| 1 + 2 + 3| ≤ 0，所以 1 + 2 + 3 = 0，
= ( , ). + + = 0 = 2 ,设 3 由 1 2 3 ，得 = 2 .
( 2 +1, 2 +1) = 2( 1, 1) ( , ),设 ( , )，则依题意得 2 2 ( 2 +2, 2 +2) = 2( 2, 2) ( 2 +1, 2 +1)
( 2 +2, 2 +2) = 2[( 2, 2) ( 1, 1)] + ( 2 ， 2 )，
从而( 2 , 2 ) = 2[( 2, 2) ( 1, 1)] + ( 2 2， 2 2)，. . .
( 4, 4) = 2[( 2, 2) ( 1, 1)] + ( 2， 2)，
以上 个式子相加化简得，( 2 +2, 2 +2) = 2 [( 2, 2) ( 1, 1)] + ( 2， 2)，
( 2 +1, 2 +1) = 2( 2, 2) = ( 2 +2, 2 +2) = 2( 2, 2) = 2 [( 2, 2) ( 1, 1)] = ( 2， 2)
= 2 [( 2, 2) ( 1, 1)] + ( 2， 2)，
所以 2 +1 2 +2 = ( 2 +2 2 +1, 2 +2 2 +1)，4 [( 2, 2)，( 1, 1)] = 4 1 2，
其中 1 2 = ( , ) = ( 2 , 2 )，
1 2 = ( 2 )2 + ( 2 )2 = 5 + 8 = 5 + 4 2 ≥ 1，
当且仅当 = 4 ( ∈ )
2024
时等号成立，故| 2025 2026| = 4 × 2 = 4048．
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