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期末热点.重难点 立体图形的直观图
一．选择题（共5小题）
1．（2025 秦皇岛一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A．44 B．32 C．10+6 D．22+6
2．（2024秋 达州期末）如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．
3．（2024秋 上海校级期中）水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝O′C′＝2，A′O′，那么原△ABC是一个（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
4．（2024春 越秀区校级期末）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）．∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
5．（2024春 惠阳区校级期中）如图直角△O'A'B'是某一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（　　）
A． B．1 C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 福州模拟）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝4
B．四边形ABCD的周长为
C．A'D'＝2
D．四边形ABCD的面积为
（多选）7．（2024春 济阳区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底
B．在△ABC中，b＝11，a＝20，B＝30°，则这样的三角形有两个
C．已知△ABC是边长为2的正三角形，其直观图的面积为
D．已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为
（多选）8．（2024春 禄劝县校级期中）下列结论正确的是（　　）
A．在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
B．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是
C．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BC，AB的中点，P是线段A1D1（不含端点）上的动点，过M，N，P点的平面截该正方体所得的截面为六边形
（多选）9．（2024秋 广东月考）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形ABCD，则（　　）
A．∠ABD的最小值小于15°
B．∠BDC的最大值小于90°
C．|AC|的最小值大于2
D．|BD|的最大值大于4
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 上海校级期末）如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是直角梯形O′A'B'C'，其中O'A'∥B'C'，∠O'A'B'＝90°，O′A'＝2B'C'＝4，A'B'＝2，则平面图形OABC的面积为 　 　．
11．（2024秋 上海校级期末）若三棱锥P﹣ABC的侧棱长PA＝PB＝PC，则点P在底面的射影O是△ABC的　 　心．
12．（2024秋 浦东新区期末）如图，若平行四边形A′B′C′D′是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图，已知A′B′＝4cm，∠D′A′B′＝45°，平行四边形A′B'C′D′的面积为8cm2，则原平面图形ABCD中AD的长度为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 文安县校级期中）已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图．
14．（2024春 临汾期中）一个竖直放置的几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形．
（1）根据三视图，求其表面积和体积；
（2）若该容器内盛有其体积的水，当该容器的一个侧面水平放置时，求容器内水面的高度．（容器壁的厚度忽略不计）
15．（2023春 涪城区校级月考）如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：
（1）求奖杯的体积；（尺寸如图，单位：cm，π取3）
（2）求下部四棱台的侧面积．
期末热点.重难点 立体图形的直观图
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 秦皇岛一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A．44 B．32 C．10+6 D．22+6
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；分割补形法；立体几何．
【答案】D
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形四棱锥，结合图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为矩形四棱锥；
且矩形的长为6，宽为2，四棱锥的高为4，如图所示：
所以该四棱锥的表面积为
S＝S矩形ABCD+2S△PAB+2S△PBC
＝6×2+2622
＝22+6．
故选：D．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．
2．（2024秋 达州期末）如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，求出直观图梯形A'B'C'D'的面积，由直观图与原图的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，四边形A'B'C'D'是梯形，其中A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，
其高h＝A′B′×sin45°，
则其面积S′＝（A′D′+B′C′），
则平面图形ABCD的面积S＝2S′＝3；
故选：C．
【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
3．（2024秋 上海校级期中）水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝O′C′＝2，A′O′，那么原△ABC是一个（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【考点】由斜二测直观图还原图形；平面图形的直观图．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】B
【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC＝B′C′，AO⊥BC，且，故三角形为等边三角形，即可得答案．
【解答】解：根据题意，在原△ABC中，AO⊥BC，
因为，则，
因为B′O′＝O′C′＝2，则BC＝4，
而AO⊥BC，AB＝AC＝4，故AB＝AC＝BC，即原△ABC是一个等边三角形．
故选：B．
【点评】本题考查平面图形的直观图，注意斜二测画法，属于基础题．
4．（2024春 越秀区校级期末）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）．∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】平面图形的直观图．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【答案】B
【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，即可求得图形的面积．
【解答】解：在直观图中，∵∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC
∴AD＝1，BC＝1，
∴原来的平面图形上底长为1，下底为1，高为2，
∴平面图形的面积为2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．
5．（2024春 惠阳区校级期中）如图直角△O'A'B'是某一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，求出直观图Rt△O'A'B'的直角边的边长，进而可得其面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，计算得到结果．
【解答】解：根据题意，Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，且斜边O'B'＝2，
则Rt△O'A'B'的直角边长是，其面积S′1；
则这个平面图形的面积S＝2S′＝2．
故选：D．
【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及直观图与平面图形的面积之间的关系，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 福州模拟）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝4
B．四边形ABCD的周长为
C．A'D'＝2
D．四边形ABCD的面积为
【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图．
【专题】对应思想；定义法；立体几何；逻辑思维．
【答案】AD
【分析】根据斜二测画法的直观图，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：根据斜二测画法的直观图，知AB＝A'B'＝4，选项A正确；
CD＝C'D'＝2，AD＝2A′D′＝22，BC2，
所以四边形ABCD的周长为6+22，选项B错误；
A′D′，选项C错误；
四边形ABCD的面积为（2+4）×2，选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了斜二测画法的直观图应用问题，是基础题．
（多选）7．（2024春 济阳区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底
B．在△ABC中，b＝11，a＝20，B＝30°，则这样的三角形有两个
C．已知△ABC是边长为2的正三角形，其直观图的面积为
D．已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为
【考点】平面图形的直观图；平面向量的基本定理；正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】利用基底的定义可判断A；利用正弦定理可判断B；利用原图形面积与直观图面积的比值可判断C；利用向量坐标的线性运算求出，再根据夹角为钝角，可得且与（）不平行，求出k的范围可判断D．
【解答】解：对于A，设，是两个不共线的向量，，，
设，（k为常数），即，则，故k不存在，
则与不平行，可作为平面向量的一组基底，A正确；
对于B，在△ABC中，b＝11，a＝20，B＝30°，
因为，可得，
因为a＞b，故A＞B，这样的三角形有两个，故B正确；
对于C，边长为2的正三角形的面积为，
原图面积：直观图面积，
故直观图的面积为，C正确；
对于D，，，故，
若与的夹角为钝角，
则且与（）不平行，
即6k+1＜0且3×2≠﹣4（2k+3），
解得且，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了基底的定义，考查了利用正弦定理判断三角形个数，以及平面图形的直观图面积，向量夹角问题，属于中档题．
（多选）8．（2024春 禄劝县校级期中）下列结论正确的是（　　）
A．在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
B．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是
C．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BC，AB的中点，P是线段A1D1（不含端点）上的动点，过M，N，P点的平面截该正方体所得的截面为六边形
【考点】斜二测法画直观图；平面的基本性质及推论；异面直线的判定；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．
【专题】对应思想；数形结合法；立体几何；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据棱柱的性质即可判断A，根据斜二测画法的性质即可求解B，由异面直线的定义即可判断C，根据平面基本性质即可作出截面判断D．
【解答】解：对于A，由棱柱的性质可知：棱柱的上下底面互相平行，故A正确，
对于B，根据斜二测画法的规则可知：直观图中，高，
所以直观图的面积是，故B错误，
对于C，由于在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C既不平行也不相交，所以是异面直线，故C正确，
对于D，延长MN，DA相交于E，连接PE交AA1于点F，同理延长MN，DC交于点H，
由于M，N是中点，所以MN∥AC，AC∥A1C1 A1C1∥MN，
故在平面A1B1C1D1中，作PQ∥A1C1交边C1D1于Q，连接QH交CC1于G，
因此六边形MNFPQG即为所求截面六边形，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查斜二测画法相关知识，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 广东月考）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形ABCD，则（　　）
A．∠ABD的最小值小于15°
B．∠BDC的最大值小于90°
C．|AC|的最小值大于2
D．|BD|的最大值大于4
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：正方形的一条边与x′轴重合时，由斜二测画法的性质，
另一条边与y′轴重合，如图所示：
由于对称性与旋转可换性，图中∠ACB与∠BDC均等价为所求角，
由斜二测画法图形性质知，AB＝CD，BC＝AD＝2，∠CAB+∠ACB＝θ1＝45°，
过A作BC的垂线，则tan∠ACB，
即∠ACB＜15°，故∠ABD的最小值小于15°，选项A正确；
过D作BC的垂线，易有θ2＝45°，
且，
故θ3＞45°，则∠BDC＞90°，∠BDC的最大值大于90°，选项B错误；
设图形绕C点逆时针旋转α，
则，
即
，
其中，则最小值为，
最大值为，选项C错误，选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了斜二测画法应用问题，是中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 上海校级期末）如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是直角梯形O′A'B'C'，其中O'A'∥B'C'，∠O'A'B'＝90°，O′A'＝2B'C'＝4，A'B'＝2，则平面图形OABC的面积为 　12　．
【考点】平面图形的直观图．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】12．
【分析】根据给定条件，求出O′C′，再作出水平放置的原平面图形作答．
【解答】解：在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，
显然∠A′O′C′＝45°，于是O′C′2，
直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，
BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，OC＝2O′C′＝4，
所以该平面图形的高为4，
故平面图形OABC的面积为：（2+4）×412．
故答案为：12．
【点评】本题考查了直观图的画法与应用问题，是基础题．
11．（2024秋 上海校级期末）若三棱锥P﹣ABC的侧棱长PA＝PB＝PC，则点P在底面的射影O是△ABC的　外　心．
【考点】平行投影及平行投影作图法．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据从一点出发的斜线段，如果斜线段长相等，那么它们的射影长也相等得到，点P在底面的射影O到三角形三个顶点的距离相等，从而即可选出答案．
【解答】解：如图，由题意得：
PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，
即O点是三角形ABC的外心，
故答案为外．
【点评】本题主要考查了三角形的外心，三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，即外心．外心到三顶点的距离相等．
12．（2024秋 浦东新区期末）如图，若平行四边形A′B′C′D′是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图，已知A′B′＝4cm，∠D′A′B′＝45°，平行四边形A′B'C′D′的面积为8cm2，则原平面图形ABCD中AD的长度为 　4cm　．
【考点】由斜二测直观图还原图形．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】4cm．
【分析】根据题意，分析可得直观图中A′D′的长度，结合斜二测画法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，平行四边形A′B'C′D′中，A′B′＝4cm，∠D′A′B′＝45°，其面积为8cm2，
则有S＝A′B′×A′D′×sin∠D′A′B′＝8cm2，解可得A′D′＝24cm，
在原图中，∠DAB＝90°，AD＝2A′D′＝4cm；
故答案为：4cm．
【点评】本题考查斜二测画法的应用，注意斜二测画法中的长度关系，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 文安县校级期中）已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图．
【考点】空间几何体的直观图；斜二测法画直观图．
【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象．
【答案】见解答．
【分析】画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置，利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图，长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的三条棱所在直线为x轴，y轴，z轴．
【解答】解：（1）画轴，如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O（A），使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
（2）画底面，在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝3cm，在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1cm，
过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，
则长方形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．
（3）画侧棱，在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′＝1.5cm，
过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB′，CC′，DD′．
（4）成图，顺次连接A′，B′，C′，D′，工加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），
就得到长方体的直观图．
【点评】本题考查空间几何体的直观图的画法，考查斜二测画法的规则，是中档题．
14．（2024春 临汾期中）一个竖直放置的几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形．
（1）根据三视图，求其表面积和体积；
（2）若该容器内盛有其体积的水，当该容器的一个侧面水平放置时，求容器内水面的高度．（容器壁的厚度忽略不计）
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象；运算求解．
【答案】（1）表面积24，体积．
（2）．
【分析】（1）判断几何体的形状，然后求解表面积和体积．
（2）判断当容器水平放置时，形成底面为等腰梯形的直四棱柱，通过体积转化求解水面的高度．
【解答】解：（1）依题意等边三角形，侧棱与底面垂直，可知该几何体为正三棱柱，底面面积为．
∴表面积为，体积为．
（2）该容器内的水的体积为．该容器内盛有其体积的水，当该容器的一个侧面水平放置时，
此时形成底面为等腰梯形的直四棱柱，容器内水面的高度即为该梯形的高，设为h．
剩余没有水的部分为正三棱柱，其底面为正三角形，设其高为h′．
∵该正三棱柱的体积为．
∴底面的面积为，边长为1，．
∴．∴该容器内水面的高度为．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，是中档题．
15．（2023春 涪城区校级月考）如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：
（1）求奖杯的体积；（尺寸如图，单位：cm，π取3）
（2）求下部四棱台的侧面积．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）1344cm3；
（2）cm2．
【分析】（1）由三视图可知，奖杯分为3部分，分别计算各部分的体积，即可计算奖杯的体积；
（2）首先根据图形，计算侧面梯形的高，再求侧面积．
【解答】解：（1）由三视图可知，奖杯分三部分组成，最下部分是四棱台，
棱台上底面是边长为8cm，12cm的长方形，下底面是边长为16cm，24cm的长方形，高为3cm，
棱台的体积，
中间部分为长，宽，高分别为8cm，4cm，20cm的长方体，体积为8×4×20＝640cm3，
最上面一部分是球，直径为4cm，体积为，
所以奖杯的体积为672+640+32＝1344cm3；
（2）如图，四棱台前后侧面全等，左右侧面全等，前面侧面的高，
右侧面的高，
所以四棱台侧面的面积cm2．
【点评】本题考查组合体的体积与侧面积的求解，属中档题．
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