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期末热点.重难点 复数的三角表示
一．选择题（共5小题）
1．（2024 惠来县校级模拟）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”．若复数z满足，则|z﹣eiθ|的取值范围为（　　）
A．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5]
2．（2024 茂名模拟）已知，，则z1 z2＝（　　）
A．0 B．i C．﹣i D．
3．（2024秋 湖北月考）若z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣1﹣4i|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 五华区月考）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的θ取π就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”．已知复数z满足|z|，则|z﹣eiπ|的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
5．（2024秋 昭通期中）棣莫佛定理：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），计算（　　）
A．﹣1 B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 上期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cosθ+isinθ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）7．（2024秋 江西月考）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（　　）
A．复数为纯虚数
B．复数ei2对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆
（多选）8．（2024 安徽开学）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix＝cosx+isinx其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　）
A．的虚部为1
B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．若，在复平面内分别对应点Z1，Z2，则△OZ1Z2面积的最大值为1
（多选）9．（2024 大理市校级开学）瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式exi＝cosx+isinx（x∈R，e≈2.71828 ），该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄．依据欧拉公式，下列结论正确的是（　　）
A．为实数
B．复数为纯虚数
C．exi e﹣xi＝1
D．设复数，则
三．填空题（共3小题）
10．（2024春 闵行区校级期末）复数（i是虚数单位）的虚部是 　 　．
11．（2024春 临夏州期末）计算：　 　．
12．（2024春 福建期末）若复数z满足，则复数z＝　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 邳州市月考）设复数z＝a+bi（a，b∈R）对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．
（1）若z＝r（cosθ+isinθ），证明：z3＝r3（cos3θ+isin3θ），并写出zn的三角形式（无需证明）；
（2）求方程x5＝1虚根的实部；
（3）证明：n∈N*时，．
参考数据：．
14．（2024秋 丰城市校级期中）已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②eix＝cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根．
（1）设，求ω2024；
（2）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合；
（3）复数，求（z﹣1）（z2﹣1）…（z2023﹣1）．
15．（2024秋 普陀区校级期中）已知i为虚数单位．设，复数z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sinθ+cosθ）i．
（1）若z0的实部与虚部相等，求θ的大小；
（2）已知p，q∈R，θ，若z0是方程x2+px+q＝0的一个虚根，求p与q的值．
期末热点.重难点 复数的三角表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 惠来县校级模拟）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”．若复数z满足，则|z﹣eiθ|的取值范围为（　　）
A．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5]
【考点】复数的三角表示；复数的模；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】结合欧拉公式，求出z，再结合复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：，
则，
故z在复平面上对应的点，eiθ对应的点p为（cosθ，sinθ），其轨迹为单位圆，
所以|z﹣eiθ|为点Z到点P的距离，其最小值为|OZ|﹣1，最大值为|OZ|+1，
|OZ|＝2，
故|z﹣eiθ|的取值范围为[1，3]．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
2．（2024 茂名模拟）已知，，则z1 z2＝（　　）
A．0 B．i C．﹣i D．
【考点】复数的三角表示；复数的乘法及乘方运算．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用复数三角形式的乘法运算得答案．
【解答】解：∵，，
∴z1 z2＝（cosisin） （cos）＝cosisini．
故选：B．
【点评】本题考查复数三角形式的乘法运算，是基础题．
3．（2024秋 湖北月考）若z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣1﹣4i|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的三角表示．
【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】由复数模的几何意义结合两点间的距离公式求解．
【解答】解：复数z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位）所对应的点在复平面内以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上，
|z﹣1﹣4i|的几何意义为圆上的动点到定点（1，4）的距离，
则其最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查复数的三角表示，考查复数模的几何意义及应用，是基础题．
4．（2024秋 五华区月考）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的θ取π就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”．已知复数z满足|z|，则|z﹣eiπ|的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】复数的三角表示．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解；新定义类．
【答案】D
【分析】根据欧拉公式与绝对值不等式，求解即可．
【解答】解：由欧拉公式得，eiπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，且|z|，
所以|z﹣eiπ|＝|z+1|≤|z|+11，
即|z﹣eiπ|的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算与绝对值不等式的应用问题，是基础题．
5．（2024秋 昭通期中）棣莫佛定理：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），计算（　　）
A．﹣1 B． C． D．
【考点】复数的三角表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题目中棣莫佛定理，根据三角函数的诱导公式，可得答案．
【解答】解：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），
由棣莫佛定理得：．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：复数的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 上期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cosθ+isinθ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】复数的三角表示．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解；新定义类．
【答案】BD
【分析】根据棣莫佛定理可得z的一般形式，故可得正确的选项．
【解答】解：设z＝r（cosθ+isinθ），其中r＞0，则z5＝r5（cos5θ+isin5θ）＝32，
故r5cos5θ＝32，sin5θ＝0，而cos5θ＞0，故5θ＝2kπ，k∈Z，所以θ，k∈Z，
故r＝2，故z＝2（cosisin），k∈Z，
故BD正确，AC错误．
故选：BD．
【点评】本题考查棣莫佛定理的应用，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 江西月考）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（　　）
A．复数为纯虚数
B．复数ei2对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆
【考点】复数的三角表示．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用欧拉公式将复数化为cosx+isinx的形式，然后应用复数的相关知识判断即可．
【解答】解：对于A，，所以为纯虚数，选项A正确；
对于B，ei2＝cos2+isin2，因为2∈（，π），
所以cos2＜0，sin2＞0，复数ei2对应的点位于第二象限，选项B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，选项C错误；
对于D，eiθ＝cosθ+isinθ，且|eiθ|＝|cosθ+isinθ|＝1，
复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了复数的三角表示，以及复数的基本概念，是基础题．
（多选）8．（2024 安徽开学）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix＝cosx+isinx其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　）
A．的虚部为1
B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．若，在复平面内分别对应点Z1，Z2，则△OZ1Z2面积的最大值为1
【考点】复数的三角表示；复数的实部与虚部；复数对应复平面中的点．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解；新文化类．
【答案】AC
【分析】根据题意得到判断A；求出，得到对应的点坐标判断B；计算出eix＝cosx+isinx，e﹣ix＝cosx﹣isinx判断C；计算出，Z2（cosθ，sinθ），则|OZ1|＝|OZ2|＝1，从而求出三角形面积的最大值判断D．
【解答】解：对于A，，故的虚部为1，故A正确；
对于B，，
故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，故B错误；
对于C，eix＝cosx+isinx，e﹣ix＝cos（﹣x）+isin（﹣x）＝cosx﹣isinx，
故，故C正确；
对于D，若，，
故，Z2（cosθ，sinθ），
则|OZ1|＝|OZ2|＝1，故，
当sin∠Z1OZ2＝1，即∠Z1OZ2＝90°时，面积取得最大值，最大值为，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查复数的三角形式，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）9．（2024 大理市校级开学）瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式exi＝cosx+isinx（x∈R，e≈2.71828 ），该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄．依据欧拉公式，下列结论正确的是（　　）
A．为实数
B．复数为纯虚数
C．exi e﹣xi＝1
D．设复数，则
【考点】复数的三角表示．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解；新文化类．
【答案】CD
【分析】结合复数及三角函数的概念，根据欧拉公式exi＝cosx+isinx逐项计算，判断正误即可．
【解答】解：
，故A错误；
由欧拉公式得，，
则k为偶数时，，k为奇数时，，故B错误；
exi e﹣xi＝（cosx+isinx）[cos（﹣x）+isin（﹣x）]
＝（cosx+isinx）（cosx﹣isinx）＝cos2x﹣（isinx）2＝1，故C正确；
∵，
∴，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查复数的三角形式，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024春 闵行区校级期末）复数（i是虚数单位）的虚部是 　　．
【考点】复数的三角表示．
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】化简复数z，可得z的虚部．
【解答】解：zi，虚部为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
11．（2024春 临夏州期末）计算：　﹣1　．
【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：i，
则i6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12．（2024春 福建期末）若复数z满足，则复数z＝　2i　．
【考点】复数的三角表示．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】2i．
【分析】根据复数的乘方及乘法运算计算即可．
【解答】解：，
所以z＝（1+i）2＝2i．
故答案为：2i．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 邳州市月考）设复数z＝a+bi（a，b∈R）对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．
（1）若z＝r（cosθ+isinθ），证明：z3＝r3（cos3θ+isin3θ），并写出zn的三角形式（无需证明）；
（2）求方程x5＝1虚根的实部；
（3）证明：n∈N*时，．
参考数据：．
【考点】复数的三角表示．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明过程见解答；zn的三角形式为zn＝rn（cosnθ+isinnθ）．
（2）x5＝1虚根有四个，其实部分别为﹣cos，cos，﹣cos，cos．
（3）证明过程见解答．
【分析】（1）由z＝r（cosθ+isinθ），利用复数的四则运算法则与三角恒等变换公式，即可证明z3＝r3（cos3θ+isin3θ），进而猜出zn的三角形式zn＝rn（cosnθ+isinnθ）；
（2）设x＝r（cosθ+isinθ），r∈R，r≠0，θ∈[0，2π），利用（1）的结论解方程x5＝1，求出r，θ的值即可；
（3）由于cos（2n+1）θ+isin（2n+1）θ＝（cosθ+isinθ）n，利用二项展开式，比较虚部得到sinθk，1≤k≤2n，（其中θk，k＝1，2，…，2n+1）为多项式（1﹣x2）（﹣1）n的2n个根，利用韦达定理即可求解．
【解答】解：（1）证明：若z＝r（cosθ+isinθ），则：
z2＝r2（cos2θ+isin2θ）2
＝r2（cos2θ+i2sin2θ+isin2θ）
＝r2（cos2θ﹣sin2θ+2isinθcosθ）
＝r2（cos2θ+isin2θ），
z3＝r2（cos2θ+isin2θ） r（cosθ+isinθ）
＝r3（cos2θcosθ+i2sin2θsinθ+icos2θsinθ+isin2θcosθ）
＝r3[cos2θcosθ﹣sin2θsinθ+i（cos2θsinθ+sin2θcosθ）
＝r3[cos（2θ+θ）isin（2θ+θ\＝r3（cos3θ+isin3θ），
∴z3＝r3（cos3θ+isin3θ），
zn的三角形式为zn＝rn（cosnθ+isinnθ）．
（2）设x＝r（cosθ+isinθ），r∈R，r≠0，θ∈[0，2π]，
则x5＝r5（cos5θ+isin5θ）＝r5cos5θ+ir5sin5θ＝1，
∴r5cos5θ＝1，r5sin5θ+ir5sin5θ＝1，
∴r5cos5θ＝1，r5sin5θ＝0，∴sin5θ＝0，
∴r5cos5θ＝1，r5sin5θ＝0，∴sin5θ＝0，
∴或，
∴或或或或，
∴x5＝1虚根有四个，其实部分别为﹣cos，cos，﹣cos，cos．
（3）证明：∵cos（2n+1）θ+isin（2n+1）θ＝（cosθ+isinθ）n，
利用二项展开式，比较虚部得：
sin（2n+1）θ（﹣1）n
，
令θk，k＝1，2，…，2n+1，
∵sin（2n+1）θk＝0，1≤k≤2n+1，
则sinθk，1≤k≤2n为方程（﹣1）n0的2n个根，
∵sin2θk＝sin2θ2n+1﹣k，1≤k≤2n，
∴sinθk，1≤k≤n为方程（﹣1）n0的n个根，
∵上述多项式的最高项系数为（﹣1）n（）＝（﹣1）n22n，
末项系数（常数项）为，
∴由韦达定理得sin2θn，
∵sinθk≥0，
∴sinθ1sinθ2sinθ3…sinθn，
∴n∈N*时，．
【点评】本题考查复数的四则运算法则、三角恒等变换公式、复数的三角形式、韦达定理等基础知识，是难题．
14．（2024秋 丰城市校级期中）已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②eix＝cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根．
（1）设，求ω2024；
（2）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合；
（3）复数，求（z﹣1）（z2﹣1）…（z2023﹣1）．
【考点】复数的三角表示；虚数单位i、复数；复数的运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）i；
（2）{﹣1，1，i，i，i，i}；
（3）﹣2024．
【分析】（1）利用欧拉公式及ω3＝1可求得ω2024；
（2）设x＝cosθ+isinθ，依题意，可求得cos6θ＝1 6θ＝2kπ，k∈Z，对k赋值可求得复数x的值所组成的集合；
（3）依题意，可得（2n）2024＝1 x2024﹣1＝0的根为1，z，z2 …，z2023，分析可得（x﹣z）（x﹣z2） （x﹣z2023）＝1+x+ +x2023，再令x＝1可求得答案．
【解答】解：（1）由ωi＝cosisin，
则ω3ei2π＝cos2π+isin2π＝1，
则；
（2）设x＝cosθ+isinθ，则x6＝（cosθ+isinθ）6＝（eiθ）6＝ei6θ＝cos6θ+isin6θ＝1，
故cos6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，
则当k＝0，1，2，3，4，5时，分别对应的，，
故相应的，，
故由所有的复数x所组成的集合为{﹣1，1，i，i，i，i}；
（3）若z＝cosx+isinx，则zn＝（cosx+isinx）n＝（eix）n＝einx＝cosnx+isinnx，
因为，
则，
易知，关于x的方程x2024﹣1＝0的根为1，z，z2 …，z2023，
故x2024﹣1＝（x﹣1）（x﹣z）（x﹣z2） （x﹣z2023），
又x2024﹣1＝（x﹣1）（1+x+x2+x2023），
故（x﹣z）（x﹣z2） （x﹣z2023）＝1+x+ +x2023，
令x＝1，可得（1﹣z）（1﹣z2） （1﹣z2023）＝1+1+ +12023＝2024，且2023为奇数，
所以（z﹣1）（z2﹣1） （z2022﹣1）＝﹣2024．
【点评】本题考查复数的三角形式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于难题．
15．（2024秋 普陀区校级期中）已知i为虚数单位．设，复数z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sinθ+cosθ）i．
（1）若z0的实部与虚部相等，求θ的大小；
（2）已知p，q∈R，θ，若z0是方程x2+px+q＝0的一个虚根，求p与q的值．
【考点】复数的三角表示；实系数多项式虚根成对定理．
【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）；
（2）p＝﹣6，q＝10．
【分析】（1）由实部与虚部相等建立等量关系，结合角的范围计算可得结果；
（2）代入可得复数z0，将复数z0代入方程，根据方程建立新的复数的实部与虚部求解可得结果．
【解答】解：（1）由z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sinθ+cosθ）i的实部与虚部相等，
得3sinθ﹣cosθ＝sinθ+cosθ，即sinθ＝cosθ，
∵，∴tanθ＝1，
∴；
（2）∵，∴z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sinθ+cosθ）i＝3+i，
代入方程x2+px+q＝0，
可得：（3+i）2+p（3+i）+q＝0，即3p+q+8+（6+p）i＝0，
则，解得．
【点评】本题考查复数三角形式的运算，考查方程思想，是基础题．
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