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期末热点.重难点 空间点、直线、平面的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 遵义期末）已知a，b是两条不同直线，m，n是两个不同平面，下列结论正确的是（　　）
A．m∥α，n α，则m∥n B．m α，n β，α∥β，则m∥n
C．m⊥α，n α，则m⊥n D．m α，n β，α⊥β，则m⊥n
2．（2024秋 景德镇期末）在空间中，设l，m，n为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题错误的是（　　）
A．若m∥n，n∥α，m α，则m∥α
B．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
C．若m，n在平面α内，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α
D．若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β
3．（2024秋 达州期末）空间中三条不同的直线l，m，n和平面α满足l α，m α，n α，则下面结论正确的是（　　）
A．若l∥α，则l∥m B．若l⊥m且l⊥n，则l⊥α
C．若l⊥α，则l⊥m D．若l⊥n且l⊥m，则m∥n
4．（2025 厦门模拟）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝n，则下列说法正确的是（　　）
A．若m∥α，则m∥n B．若m∥n，则m∥α
C．若m⊥n，则m⊥β D．若m⊥β，则m⊥n
5．（2025 涧西区校级一模）已知空间两不同直线m，n，两不同平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α且n∥α，则m∥n
B．若m⊥β且m∥n，则n∥β
C．若m⊥α且m∥β，则α⊥β
D．若m不垂直于α，且n α，则m不垂直于n
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 五华区校级期末）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
（多选）7．（2024秋 雷州市校级期末）已知α，β为两个平面，m，n为两条直线，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n⊥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m β，则α⊥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
（多选）8．（2024秋 威海期末）设α，β，γ为三个平面，且α∩β＝m，则（　　）
A．若α∥γ，β∩γ＝n，则m∥n
B．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，m∥γ，则a∥b
C．若α⊥γ，β⊥γ，则m⊥γ
D．若γ与α，β所成的角相等，则m⊥γ
（多选）9．（2024秋 韩城市期末）已知平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则α∥β B．若，则α⊥β
C．若，则α⊥β D．若，则α∥β
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 徐汇区校级期末）用数学符号表示“直线a在平面β上”为 　 　．
11．（2024秋 桂林期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点M满足，若平面α经过点B，且AM⊥平面α，则平面α截此正方体所得的截面的面积为 　 　．
12．（2024秋 普陀区校级期中）已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 昭通校级期中）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1．证明：
（1）AD1⊥B1C；
（2）AD1与B1C是异面直线．
14．（2024秋 上海校级期中）如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．
（1）求证：点Q在直线DC上；
（2）作出过A、G、Dl三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）
15．（2024秋 保定期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是A1B1、B1C1的中点．求证：
（1）直线AM和CN在同一平面上；
（2）直线AM、BB1和CN交于一点．
期末热点.重难点 空间点、直线、平面的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 遵义期末）已知a，b是两条不同直线，m，n是两个不同平面，下列结论正确的是（　　）
A．m∥α，n α，则m∥n B．m α，n β，α∥β，则m∥n
C．m⊥α，n α，则m⊥n D．m α，n β，α⊥β，则m⊥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】C
【分析】借助空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可的得．
【解答】解：若m∥α，n α，则m与n平行或异面，所以A选项错误；
若m α，n β，α∥β，则m与n平行或异面，所以B选项错误；
若m⊥α，n α，则m⊥n，所以C选项正确；
若m α，n β，α⊥β，则m∥n或m与n异面或m与n相交，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
2．（2024秋 景德镇期末）在空间中，设l，m，n为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题错误的是（　　）
A．若m∥n，n∥α，m α，则m∥α
B．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
C．若m，n在平面α内，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α
D．若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】C
【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理判断B；利用线面垂直的判定判断C；利用面面垂直的性质判断D．
【解答】解：对于A，若m∥n，n∥α，m α，则m∥α，A正确；
对于B，令α∩γ＝b，β∩γ＝c，在γ内取点M作MP⊥b，MQ⊥c，而α⊥γ，β⊥γ，
则MP⊥α，MQ⊥β，又α∩β＝l，于是l⊥MP，l⊥MQ，而MP∩MQ＝M，因此l⊥γ，B正确；
对于C，若m，n在平面α内，且l⊥m，l⊥n，但没说明m与n相交，所以不能推出l⊥α，C错误；
对于D，由m∥α，得在平面α内存在直线d使得m∥d，而m⊥l，则d⊥l，
又α⊥β，α∩β＝l，于是d⊥β，因此m⊥β，D正确．
故选：C．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
3．（2024秋 达州期末）空间中三条不同的直线l，m，n和平面α满足l α，m α，n α，则下面结论正确的是（　　）
A．若l∥α，则l∥m B．若l⊥m且l⊥n，则l⊥α
C．若l⊥α，则l⊥m D．若l⊥n且l⊥m，则m∥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】C
【分析】根据线面平行的性质定理判断选项A；根据线面垂直的判定定理判断选项B；根据线面垂直的性质定理判断选项C；根据空间直线位置关系判断选项D即可．
【解答】解：若l∥α，m α，则l∥m或l与m异面，所以A选项错误；
若l⊥m且l⊥n，m α，n α，但m与n没说明相交，所以l⊥α不一定成立，所以B选项错误；
若l⊥α，m α，则l⊥m，所以C选项正确；
若l⊥n且l⊥m，m α，n α，则m∥n或m与n相交，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
4．（2025 厦门模拟）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝n，则下列说法正确的是（　　）
A．若m∥α，则m∥n B．若m∥n，则m∥α
C．若m⊥n，则m⊥β D．若m⊥β，则m⊥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；空间想象．
【答案】D
【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
【解答】解：若m∥α，则m与n可以成任意角，∴A选项错误；
若m∥n，则m∥α或m α，∴B选项错误；
若m⊥n，则m与β可以成任意角，∴C选项错误；
若m⊥β，则m⊥n，∴D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
5．（2025 涧西区校级一模）已知空间两不同直线m，n，两不同平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α且n∥α，则m∥n
B．若m⊥β且m∥n，则n∥β
C．若m⊥α且m∥β，则α⊥β
D．若m不垂直于α，且n α，则m不垂直于n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】C
【分析】在A中，m、n相交或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得n⊥β；在C中，由线面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m与n有可能垂直．
【解答】解：由空间两不同直线m，n，两不同平面α，β，知：
在A中，若m∥α且n∥α，则m∥n或m、n相交或异面，故A不正确；
在B中，若m⊥β且m∥n，则n⊥β，故B不正确；
在C中，若m⊥α且m∥β，则α⊥β，所以C正确；
在D中，若m不垂直于α，且n α，则m与n有可能垂直，故D不正确；
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 五华区校级期末）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】BCD
【分析】根据直线与平面的位置关系逐项判断即可．
【解答】解：若m∥α，m∥β，则α，β平行或相交，所以A选项错误；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，所以B选项正确；
若m⊥α，m∥β，则α⊥β，所以C选项正确；
若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n，所以D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
（多选）7．（2024秋 雷州市校级期末）已知α，β为两个平面，m，n为两条直线，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n⊥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m β，则α⊥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据线面关系、面面关系逐项判断可得答案．
【解答】解：若m∥α，n⊥α，则m⊥n，所以A选项正确；
若m∥α，n∥α，则m与n可以成任意角，所以B选项错误；
若m⊥α，m β，则α⊥β，所以C选项正确；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，所以D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
（多选）8．（2024秋 威海期末）设α，β，γ为三个平面，且α∩β＝m，则（　　）
A．若α∥γ，β∩γ＝n，则m∥n
B．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，m∥γ，则a∥b
C．若α⊥γ，β⊥γ，则m⊥γ
D．若γ与α，β所成的角相等，则m⊥γ
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
【解答】解：若α∥γ，β∩γ＝n，且α∩β＝m，则m∥n，所以A选项正确；
若α∩γ＝a，β∩γ＝b，α∩β＝m，又m∥γ，
则根据线面平行的性质定理及平行线的传递性可得a∥b，所以B选项正确；
若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，
则根据面面垂直的性质定理及线面平行的判定定理可得m⊥γ，所以C选项正确；
若γ与α，β所成的角相等，则m与γ可以成任意角，所以D选项错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
（多选）9．（2024秋 韩城市期末）已知平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则α∥β B．若，则α⊥β
C．若，则α⊥β D．若，则α∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】利用空间位置关系的向量证明逐项判断即可．
【解答】解：因为平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为，，
所以对于AB，由，得α∥β，A正确，B错误；
对于CD，由，得，则α⊥β，C正确，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 徐汇区校级期末）用数学符号表示“直线a在平面β上”为 　a β　．
【考点】点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；空间想象．
【答案】a β．
【分析】由线面关系的符号表示即可得解．
【解答】解：用数学符号表示“直线a在平面β上”为a β．
故答案为：a β．
【点评】本题主要考查了线面关系的符号表示，属于基础题．
11．（2024秋 桂林期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点M满足，若平面α经过点B，且AM⊥平面α，则平面α截此正方体所得的截面的面积为 　　．
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法确定截面，进而计算出截面的面积．
【解答】解：根据题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由于点M满足，则C1M＝1，则M（3，3，2）．
又由A（0，0，0），则，
因为AM⊥平面α，则平面α的一个法向量为（3，3，2），
设平面α与棱A1D1的交点为E，且E（0，y，z），则．
因为，即（﹣3，y，z） （3，3，2）＝0，可得﹣9+3y+2z＝0．
又因为E在棱A1D1上，0≤y≤3，z＝3，代入可得﹣9+3y+6＝0，
解得y＝1，所以E（0，1，3）．
设平面α与棱A1B1的交点为F，设F（x，0，z），则．
因为，即（x﹣3，0，z） （3，3，2）＝0，可得3（x﹣3）+2z＝0．
又因为F在棱A1B1上，0≤x≤3，z＝3，代入可得3（x﹣3）+6＝0，
解得x＝1，所以F（1，0，3）．
其中B（3，0，0），D（0，3，0），E（0，1，3），F（1，0，3）．
，所以BD∥FE，
所以平面α与正方体的截面为四边形BDEF，
，
，，所以四边形BDEF是等腰梯形，
高为，
所以面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查立体几何中求截面相关问题，关键是确定截面形状，属于中档题．
12．（2024秋 普陀区校级期中）已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为 　a∥α或a α　．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间想象．
【答案】a∥α或a α．
【分析】由的位置关系判断．
【解答】解：因为α⊥β，a⊥β，
所以a∥α或a α．
故答案为：a∥α或a α．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 昭通校级期中）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1．证明：
（1）AD1⊥B1C；
（2）AD1与B1C是异面直线．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线的判定．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明；
（2）根据异面直线的定义可得．
【解答】证明：（1）根据题意，如图所示，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BC1，
∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，
∴AB∥D1C1，
∴平面ABC1D1为平行四边形，
∴AD1∥BC1，AD1＝BC1．
∵BCC1B1为正方形，
∴BC1⊥B1C，
∴AD1⊥B1C．
（2）根据题意，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1 面ADD1A1，B1C 面BCC1B1，
而面ADD1A1∥面BCC1B1，则AD1与B1C不相交，
又AD1与B1C不平行，
故AD1与B1C是异面直线．
【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及异面直线的判定，属于基础题．
14．（2024秋 上海校级期中）如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．
（1）求证：点Q在直线DC上；
（2）作出过A、G、Dl三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；数学抽象．
【答案】（1）证明见详解；
（2）图形见详解．
【分析】（1）通过证明Q在平面ABCD与平面CDD1C1的交线上，来证得Q在直线DC上．
（2）取BC的中点P，连接AP，PG，D1G，易证AD1∥PG，则APGD1即为所求截面．
【解答】解：（1）证明：如图：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABCD∩平面CDD1C1＝DC，
EF与HG相交于点Q，
则Q∈EF，而EF 平面ABCD，所以Q∈平面ABCD，
同理Q∈平面CDD1C1，
而平面ABCD∩平面CDD1C1＝DC，
所以Q∈DC，即点Q在直线DC上．
（2）如图所示，取BC的中点P，
连接AP，PG，D1G，
因为GP∥BC1，BC1∥AD1，
所以GP∥AD1，故A，D1，G，P共面．
则APGD1即为所求截面．
【点评】本题考查平面的基本性质，涉及正方体的结构特征，属于基础题．
15．（2024秋 保定期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是A1B1、B1C1的中点．求证：
（1）直线AM和CN在同一平面上；
（2）直线AM、BB1和CN交于一点．
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见详解；
（2）证明见详解．
【分析】（1）连结MN，A1C1，AC，根据点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，利用平行关系的传递性得到MN∥AC即可；
（2）易得AM与CN相交，设交点为P，则能得到P∈平面ABB1A1，P∈平面BCC1B1，结合平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，即可得证．
【解答】证明：（1）如图，连结MN，A1C1，AC，
因为点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN∥A1C1，
由正方体的结构特征可知A1C1∥AC，
所以MN∥AC，
所以A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面；
（2）由（1）可知，MN∥AC且MN≠AC
所以AM与CN相交，设交点为P，
因为P∈AM，AM 平面ABB1A1，
所以P∈平面ABB1A1，
又因为P∈CN，CN 平面BCC1B1，
所以P∈平面BCC1B1，
因为平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，
所以P∈BB1，
所以AM、BB1、CN三线交于点P．
【点评】本题主要考查了正方体的结构特征，考查了平面的基本性质及推论，属于中档题．
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