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2024-2025 学年广东省深圳市高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知盒中装有大小形状完全相同的 3 个红球、2 个白球、5 个黑球．甲每次从中任取一球且不放回，则在
他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为( )
A. 310 B.
1
3 C.
3
8 D.
2
9
2.如果随机变量 ～ (4,1)，则 ( ≤ 2)等于( )
(注： ( 2 < ≤ + 2 ) = 0.9544)
A. 0.210 B. 0.0228 C. 0.0456 D. 0.021 5
3.设随机变量 ～ ( , )，且 ( ) = 1， ( ) = 23，则 ( = 1)的值为( )
A. 49 B.
2
3 C.
3 8
1024 D. 27
4.满足
2 5 5
16 = 16 的正整数 等于( )
A. 1，5 B. 3， 7 C. 1，3 D. 5， 7
5.已知 ( ) = 2 + 2 ′(1)，则 ′(0)等于( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 2
6. 22 + 2 2 23 + 4 + … + 10等于( )
A. 990 B. 120 C. 165 D. 55
7.某批麦种中，一等麦种占 80%，二等麦种占 20%等麦种种植后所结麦含有 50 粒以上麦粒的概率分别为
0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有 50 粒以上麦粒的概率为( )
A. 0.48 B. 0.52 C. 0.56 D. 0.65
8.定义在 上的函数 ( )的导函数为 ′( )，满足 ′( ) + ( ) > 0，则不等式 2 ( 2) (1) < 0 的解集
为( )
A. (0,1) B. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)
C. ( 1,1) D. ( 1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. ( 2 )′ = 2 B. (3 + 1)′ = 3
C. ( 2 )′ = 12 D. ( )′ = +
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10.设(2 1)7 = 0 + 1 + 2 2 + + 6 6 + 77 ，则下列结论正确的是( )
A. 1+3
7
2 + 5 = 588 B. 1 + 3 + 5 + 7 = 2
C. 1 + 2 + + 7 = 1 D. | 71| + | 2| + + | 7| = 3 1
11.18 世纪 30 年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量 服从二项分布 ( , )，那么当 比较大时，可视为
( )2
1 服从正态分布 ( , 2)，其密度函数 ( ) = 2 22 ， ∈ ( ∞, + ∞).任意正态分布 ～ ( ,
2)，

可通过变换 = 转化为标准正态分布( = 0 且 = 1).当 ～ (0,1)时，对任意实数 ，记 ( ) = ( < )，
则( )
A. ( ) = 1 ( )
B.当 > 0 时， (| | < ) = 1 2 ( )
C.随机变量 ～ ( , 2)，当 减小， 增大时，概率 (| | < )保持不变
D.随机变量 ～ ( , 2)，当 ， 都增大时，概率 (| | < )单调增大
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从正态分布 (10, 22)，则 (3 1) = ______．
13.为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了 3 名男教师和 2 名女教师去
支援新疆教育，要求这 5 名教师被分派到 3 个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排
1 名教师，其中 2 名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有______种.
14.设实数 > 0，若对任意的 ∈ (0, + ∞)，不等式 ≥ 0 恒成立，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 9 ．
(1)求函数 ( )在点(0,0)处的切线方程；
(2)求函数 ( )在区间[ 2,2]的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩
戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展
速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)， 市从该地区小学生中随机抽取
容量为 100 的样本，其中因近视佩戴眼镜的有 24 人(其中佩戴角膜塑形镜的有 8 人，其中 2 名是男生，6
名是女生)
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
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(2)从这 8 名戴角膜塑形镜的学生中，选出 3 个人，求其中男生人数 的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从 市的小学生中，随机选出 20 位小学生，求佩戴角膜塑
形镜的人数 的期望和方差．
17.(本小题 15 分)
已知(2 + 1 )
( ∈ )的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之和是 21，
(1)求 的值；
(2)求展开式中各项系数最大的项．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( + )．
(1)若 = 0 是 ( )的极值点，求 ，并讨论 ( )的单调性；
(2)当 = 2 时，证明 ( ) > 0．
19.(本小题 17 分)
2( 1)
已知函数 ( ) = +1 ．
(1)证明：函数 ( )在定义域内存在唯一零点；
(2)设 0 < < + ，试比较 2 与 的大小，并说明理由：
(3) { } 1 1 1若数列 的通项 = 1 + 2+ 3 + + ，求证 ln(2 + 1) > ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.36
13.36
14.1
15.解：(1) ′( ) = 3 2 6 9，则 ′(0) = 9，
所以函数在点(0,0)处的切线方程为 = 9 ；
(2)由(1)得 ′( ) = 3 2 6 9 = 3( 3)( + 1)，
由 ′( ) = 0，得 = 3，或 = 1．
令 ′( ) > 0，得 < 1 或 > 3；
令 ′( ) < 0，得 1 < < 3，
所以 ( )在[ 2, 1)上单调递增，在( 1,2]上单调递减，
因为 ( 2) = 2， (2) = 22， ( 1) = 5，
所以， ( ) = 5， ( ) = 22．
16.解：(1)根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件 ，则 ( ) = 24100 = 0.24，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件 ，
8
则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件 ，则 ( ) = 100 = 0.08，
( ) 0.08 1
故所求的概率为： ( | ) = ( ) = 0.24 = 3，
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1
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是3；
(2)依题意，佩戴角膜塑形滰的有 8 人，其中 2 名是男生，6 名是女生，
故从中抽 3 人，男生人数 的所有可能取值分别为 0，1，2，
3 6×5×4
其中： ( = 0) = 6 = 63 8×7×6 =
20 5
8 56
= 14，
6
1 ( = 1) = 2
2
6 2×
6×5
= 2 30 15
3 8×7×6
=
8 56
= 28，
6
2 1
( = 2) = 2 6 6 6 3
3
= 8×7×6 =
8 56
= 28，
6
所以男生人数 的分布列为：
0 1 2
5 15 314 28 28
15 3 3
所以 ( ) = 1 × 28 + 2 × 28 = 4，
( ) = (0 3 2 5 3 2 15 3 2 3 454 ) × 14 + (1 4 ) × 28 + (2 4 ) × 28 = 112；
(3)由已知可得： ～ (20,0.08)，
则： ( ) = × = 20 × 0.08 = 1.6， ( ) = (1 ) = 20 × 0.08 × 0.92 = 1.472，
所以佩戴角膜塑形镜的人数 的期望是 1.6，方差是 1.472．
17.解：(1) 1 2 ( 1)由题意得 + = 21，即 + 2 = 21，化简得( 6)( + 7) = 0，解得 = 6；
(2)由(1) 1可知题中的二项式为(2 + 6 6 ) ，展开式中第 + 1 项的系数为 62 ，
+1 6 26 ≥ 26 ( +1) +1 ≤ 2设 6 6 4 7 6 1 6 ( 1)，化简得 7 ，可得3 ≤ ≤ 3，结合 ∈ ，解得 = 2． 62 ≥ 6 2 ≥ 2
1
因此，展开式中各系数最大的为第三项，即 = 23 6(2 )4( 2 ) = 240
3．
18.解：(1) ( ) = ln( + )，
′( ) = 1 + ，
∵ = 0 是 ( )的极值点，
∴ ′(0) = 0，得 = 1；
当 在( 1,0)时， ′( ) < 0， ( )递减，
当 在(0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )递增；
(2)当 = 2 时，
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′( ) = 1 +2，
∵ ′( 1) < 0， ′(0) > 0，
故 ′( ) = 0 在( 2, + ∞)上有唯一实数根 0，且 0 ∈ ( 1,0)．
当 ∈ ( 2, 0)时， ′( ) < 0，
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) > 0，
从而当 = 0时， ( )取得最小值 ( 0)，
( 0) = 0 ln( 0 + 2)
( 0+1)2= 0+2
> 0，
∴ ( ) > 0．
另解：当 = 2 时，
( ) = ln( + 2)，
令 ( ) = 1， ′( ) = 1，
当 < 0 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 > 0，时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 0，即 ≥ + 1，当且仅当 = 0 时取等号，
所以 ( ) ≥ 1 = 1 ≥ 0，当且仅当 = 1 时取等号，
故 ln( + 2) ≥ + 1 ln( + 2) = + 2 ln( + 2) 1 ≥ 0，
取等条件不一致，故 ln( + 2) > 0，
即 ( ) > 0．
19.解：(1) ( ) = 2( 1) 4证明：已知 +1 = + +1 2，函数定义域为(0, + ∞)，
2
可得 ′( ) = 1 4 ( 1) ( +1)2 = ( +1)2 ≥ 0，
所以函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0，
所以函数在定义域内存在唯一零点；
(2) + > 2 ，理由如下：
+
要证 2 >

，
> 2( )需证 + ，
2( 1)
要证 ln > ，
+1
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2(

1)即证 ln > 0( > > 0)，
+1

令 = ， > 1，
2( 1)
此时要证 +1 > 0( > 1)，
2( 1)
不妨设 ( ) = +1 ( > 1)，
易知函数 ( )在区间(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = 0，
此时 2( 1) +1 > 0( > 1)成立，
+
故有 2 > ；
(3) (2) > > 0 > 2( )证明：由 知，若 ，总有 + 成立，
不妨令 = 2 + 1， = 2 1，
此时 ln(2 + 1) ln(2 1) > 44 =
1
，
因为 ∈ ，
所以 3 1 > 1, 5 3 > 12 , , ln(2 + 1) ln(2 1) >
1
，
易得( 3 1) + ( 5 3) + + [ln(2 + 1) ln(2 1)] > 11+
1 1 1
2 + 3 + ，
所以 ln(2 + 1) > 1 1 11 + 2 + 3 +
1
，
故 ln(2 + 1) > 成立．
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