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2024-2025 学年广东省深圳市福田外国语高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 27.在等比数列{ }中， 2 = 2， 5 = 4，则公比 =( )
A. 3 B. 2 C. 22 3 3 D.
3
2
2 1.(2 2 )
6的展开式中二项式系数最大的项为( )
A.第二项 B.第三项 C.第四项 D.第五项
3.甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、
生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为( )
A. 35 B. 3 15 C. 35 D. 53
4 1.已知随机变量 的分布列如表，若 ( ) = 3，则 ( ) =( )
1 0 1
1
2
A. 1 2 5 73 B. 3 C. 9 D. 9
5.已知数列{ }为等比数列，且 1 = 1， 9 = 16，设等差数列{ }的前 项和为 ，若 5 = 5，则 9 =( )
A. 36 或 36 B. 36 C. 36 D. 18
6.某班有 6 名班干部，其中 4 名男生，2 名女生.从中选出 3 人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被
选中的情况下，女生乙也被选中的概率为( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 25 5 2 3
7.若函数 ( ) = 2 + 在区间(1, )上单调递增，则 的取值范围是( )
A. [3, + ∞) B. ( ∞,3] C. [3, 2 + 1] D. [ 2 + 1,3]
8.函数 = ( )的导数 = ′( )仍是 的函数，通常把导函数 = ′( )的导数叫做函数的二阶导数，记作
= ′′( )，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数….一般地， 1 阶
导数的导数叫做 阶导数，函数 = ( )的 阶导数记为 = ( )( )，例如 = 的 阶导数( )( ) = .若
( ) = + 2 ，则 (50)(0) =( )
A. 49 + 249 B. 49 C. 50 D. 50 250
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，这是函数 ( )的导函数的图象，则( )
A. ( )在 = 2 处取得极大值
B. = 4 是 ( )的极小值点
C. ( )在(2,4)上单调递减
D. (3)是 ( )的极小值
10.已知(1 + ) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则( )
A. = 8
B. (1 + ) 的展开式中 2项的系数为 56
C.奇数项的二项式系数和为 128
D. (1 + 2) 的展开式中 2项的系数为 56
11 1.如图， 1是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 1的左下端剪去一个半径为2的半圆后得到图形 2，然后依
次剪去一个更小半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形 3， 4，…， ，…，记纸板 的周长为 ，
面积为 ，则下列说法正确的是( )
A. 2 =
3
2 + 1 B. 4 =
23
64
C. 2 1 = 2 1 D.
1
= 9 (4 + 22 1 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 80%，乙厂产品占 20%，甲厂产品的合格率是 75%，
乙厂产品的合格率是 80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______．
13.在等差数列{ }中， 1 = 2，公差为 ，且 2， 3， 4 + 1 成等比数列，则 = ______．
14.已知函数 ( )的定义域为 ， (1) = 2，对任意 ∈ ， ′( ) > 3 恒成立，则 ( ) > 3 5 的解集为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + 10 在 = 2 处取得极值 2．
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(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 2 = 3 3( ∈ ).
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 = ( + 1) ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的
顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金 1000 元，2000 元，3000 元，当选手闯过一关
后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，
3 2 1
全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是4，3，2，该嘉宾选择继续
3 1
闯第二关、第三关的概率分别为5 , 2．
(1)求该嘉宾获得公益基金 1000 元的概率；
(2)求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
(3)求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + ) ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2) 3证明：当 > 0 时， ( ) > 2 + 2．
19.(本小题 17 分)
如果数列{ }满足： 1 + 2 + + = 0 且| 1| + | 2| + + | | = 3( ≥ 2, ∈ )，则称数列为“ 阶万
物数列”．
(1)若某“4 阶万物数列”{ }是等比数列，求该数列的各项；
(2)若某“9 阶万物数列”{ }是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若{ 3 3 }为“ 阶万物数列”，求证： 1 + 2 2 + 3 3 + + ≥ 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.76
13.2
14.(1, + ∞)
15.解：(1)由函数 ( ) = 3 2 + 10，可得 ′( ) = 3 2 2 ，
因为函数 ( )在 = 2 处取得极值 2，
′(2) = 3 × 4 4 = 0
可得 ，解得 = 1， = 8，
(2) = 8 4 2 + 10 = 2
当 = 1， = 8 时， ′( ) = 3 2 2 8 = ( 2)(3 + 4)，
当 < 4 43时， ′( ) > 0；当 3 < < 2 时， ′( ) < 0；当 > 2 时， ′( ) > 0，
所以 ( ) 4在( ∞, 3 ), (2, + ∞)
4
上单调递增，在( 3 , 2)上单调递减，
当 = 2 时， ( )在 = 2 处取得极小值 2，符合题意，所以 = 1， = 8；
(2)由(1)知： ( ) = 3 2 8 + 10，且 ′( ) = 3 2 2 8，
可得 ′(1) = 3 2 8 = 7 且 (1) = 2，
此时切线方程为 2 = 7 × ( 1)，即 7 + 9 = 0；
综上，曲线 = ( )在(1, (1))处的切线方程为 7 + 9 = 0．
16.解：(1)当 = 1 时，2 1 = 2 1 = 3 1 3，解得 1 = 3，
当 ≥ 2 时，2 1 = 3 1 3，
则 2 2 1 = 2 = (3 3) (3 1 3)，即 = 3 1，
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又 1 ≠ 0，则 ≠ 0，
∴ = 3，故{ }是以 1 = 3 为首项，以 3 为公比的等比数列， 1
∴数列{ }的通项公式为 = 3 ；
(2)由(1)知 = 3 ，所以 = ( + 1) = ( + 1) 3 ，
所以 = 2 × 31 + 3 × 32 + 4 × 33 + + ( + 1) 3 ，
则 3 2 3 4 = 2 × 3 + 3 × 3 + 4 × 3 + + 3 + ( + 1) 3 +1，
两式相减得， 2 = 2 × 31 + 32 + 33 + 34 + + 3 ( + 1) 3 +1，
整理得， 2 = 31 + 32 + 33 + 34 + + 3 + 31 ( + 1) 3 +1，
所以 2 = 3 2 + (
1 +1
2 ) 3 ，
1
所以 = ( 2 + 4 ) 3
+1 34．
17.解：(1)由题设，嘉宾获得公益基金 1000 元的事件为第一关成功并放弃第二关，
所以 ( = 1000) = 3 × (1 34 5 ) =
3
10；
(2)记 =“第一关成功且获得公益基金为零”， 1 =“第一关成功第二关失败”， 2 =“前两关成功第三
关失败”，
则 1， 2互斥，且 = 1 + 2，
3 3 1
又 ( 1) = 4 × 5 × 3 =
3
20 , ( 2) =
3 × 34 5 ×
2 1 1 3
3 × 2 × 2 = 40，
所以 ( ) = 3 3 920 + 40 = 40；
(3)由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额 可能值为{0,1000,3000,6000}，
( = 0) = 1 + 9 = 19 , ( = 1000) = 3 , ( = 3000) = 3 × 3 × 2 × 1 = 34 40 40 10 4 5 3 2 20，
( = 6000) = 3 3 2 1 1 34 × 5 × 3 × 2 × 2 = 40，
随机变量 的分布列为：
0 1000 3000 6000
19 3 3 340 10 20 40
19
所以 ( ) = 0 × 40 + 1000 ×
3 3
10 + 3000 × 20 + 6000 ×
3
40 = 1200 元．
18.解：(1)因为 ( ) = ( + ) ，定义域为 ， ′( ) = 1，
当 ≤ 0 时， ′( ) = 1 < 0 恒成立，所以 ( )在 上单调递减；
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当 > 0 时，令 ′( ) = 1 = 0，解得 = ，
当 < 时， ′( ) < 0，则 ( )在( ∞, )上单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0，则 ( )在( , + ∞)上单调递增；
综上：当 ≤ 0 时， ( )在 上单调递减；
当 > 0 时， ( )在( ∞, )上单调递减， ( )在( , + ∞)上单调递增．
证明：(2)由(1)得， ( ) = ( ) = ( + ) + = 1 + 2 + ，
3 3 1
要证 ( ) > 2 + 2，即证 1 +
2 + > 2 + 22，即证 2 > 0 恒成立，
1 2
令 ( ) = 2 2 ( > 0)，则
1 2 1
′( ) = 2 = ，
令 2 2′( ) < 0，则 0 < < 2 ；令 ′( ) > 0，则 > 2 ，
所以 ( )在(0, 2 ) 22 上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
所以 ( ) 2 2 2 1 2 = ( 2 ) = ( 2 ) 2 ln 2 = ln 2 > 0，则 ( ) > 0 恒成立，
3
所以当 > 0 时， ( ) > 2 + 2恒成立，证毕．
19.解：(1)设等比数列{ }的公比为 ，显然 ≠ 1．

由 + + + = 0，可得 1(1
4)
1 2 3 4 1 = 0，解得 = 1．
由| 1| + | 2| + | 3| + | 4| = 3
3
，可得 4| 1| = 3，所以 1 =± 4，
4 3 3 3 3 3 3 3 3所以“ 阶万物数列”为4， 4，4， 4，或者是 4，4， 4，4．
(2)设等差数列{ }的公差为 ，
+ + + = 0 9 + 9×8由 1 2 9 ，可得 1 2 = 0，即 1 + 4 = 0，即 5 = 0．
当 = 0 时， 1 = 2 = = 9 = 0，此时| 1| + | 2| + + | | = 0，不是“9 阶万物数列”．
3
当 > 0 时，由 1 + 2 + 3 + 4 =
3 = 0 4 1 + 6 = 和 5 ，可得 2
3 3
2 ，解得 1 = ， = ， 1 + 4 = 0 5 20
3 3 3 15所以 = 5 + ( 1) × 20 = 20 ( ∈ , ≤ 9)．
3
当 < 0 时，由 1 + 2 + 3 + 4 =
3 4 + 6 = 3 3
2和 5 = 0，可得
1 2，解得 1 = ， = ，
1 + 4 = 0 5 20
所以 =
3
5 + ( 1) × (
3 ) = 3 +15 20 20 ( ∈ , ≤ 9).
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= 3 15 = 3 +15综上所述， 20 或 20 ( ∈ , ≤ 9)．
(3)证明：由已知可知，必有 > 0，也必有 < 0，其中 ， ∈ {1,2, …, }，且 ≠ ．
设 1， 2，…， 是数列{ }中所有大于 0 的数， 1， 2，…， 是数列{ }中所有小于 0 的数，
3 3
由已知可得 1 + 2 + + = 2， 1 + 2 + + = 2，
所以 1 + 2 2 + 3 3 + +

= =1 + =1
≥ =1
3 3
+ =1 = 2 ．
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