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期末热点.重难点 导数的概念及其意义
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 周口期末）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2，则（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2．（2024秋 榆阳区校级期末）已知函数f（x）在x＝x0处可导，则（　　）
A． B． C．f′（x0） D．2f′（x0）
3．（2024秋 淮安期末）已知函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且，则f'（x0）等于（　　）
A． B． C．1 D．
4．（2025 榆林模拟）已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式S（t）＝sintcost+t+1，则该物体瞬时速度的最大值为（　　）
A．3m/s B．2m/s C． D．1m/s
5．（2025 长沙模拟）已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 连云港期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中T（t）为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）．则（　　）
A．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃
B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min
C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min
D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻
（多选）7．（2024秋 淮安期末）已知某物体运动的位移方程为S（t）＝3t2+2（1≤t≤6）（　　）
A．该物体位移的最大值为100
B．该物体在[1，4]内的平均速度为15
C．该物体在t＝5时的瞬时速度是32
D．该物体的速度v和时间t时的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）
（多选）8．（2024秋 香坊区校级期末）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（　　）
A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点
B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值
C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增
（多选）9．（2024秋 河南期中）已知定义在R上的函数f（x）满足：不恒为0，f′（x）为f（x）的导函数，则（　　）
A．f（0）＝4 B．f（x）为偶函数
C． D．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 吉安期末）过点（0，﹣2）作曲线的切线的斜率为　 　．
11．（2025 山西模拟）已知f（x）＝x2+x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角是 　 　．
12．（2024秋 周口期末）曲线f（x）＝ex﹣1在x＝1处的切线的倾斜角为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 邓州市校级月考）求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）y＝（x+1）（x+2）（x+3）．
14．（2024秋 萝北县校级月考）已知函数f（x）＝（x﹣k）ex，若k＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程．
15．（2024春 辽源期末）已知函数f（x）＝x﹣1．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
期末热点.重难点 导数的概念及其意义
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 周口期末）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2，则（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解．
【解答】解：函数f（x）＝xlnx﹣x2，
则f′（x）＝1+lnx﹣2x，所以f′（1）＝1+ln1﹣2＝﹣1，
f'（1）＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的定义和导数的运算公式，属于基础题．
2．（2024秋 榆阳区校级期末）已知函数f（x）在x＝x0处可导，则（　　）
A． B． C．f′（x0） D．2f′（x0）
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用导数的定义可得结果．
【解答】解：因为函数f（x）在x＝x0处可导，
则2f′（x0）．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3．（2024秋 淮安期末）已知函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且，则f'（x0）等于（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：，
则f'（x0）．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
4．（2025 榆林模拟）已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式S（t）＝sintcost+t+1，则该物体瞬时速度的最大值为（　　）
A．3m/s B．2m/s C． D．1m/s
【考点】瞬时变化率．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】对函数求导，再结合三角函数知识即可求解结论．
【解答】解：因为S（t）＝sintcost+t+1，
所以，
当时，S'（t）取得最大值3m/s．
故选：A．
【点评】本题考查瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则、辅助角公式．从核心素养角度来看，本题主要考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，属于基础题．
5．（2025 长沙模拟）已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数导数与单调性的关系，分析可得f′（x）≥0在R上恒成立，且f′（0）＝0，由此分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）在R上为增函数，
且函数在x＝0处切线的斜率为0，
故f′（x）≥0在R上恒成立，且f′（0）＝0，
分析选项：B符合．
故选：B．
【点评】本题考查函数导数与单调性的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 连云港期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中T（t）为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）．则（　　）
A．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃
B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min
C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min
D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻
【考点】平均变化率；瞬时变化率．
【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于A，分别求出t＝0和t＝5时的蜥蜴体温，即可得到从t＝0到t＝5的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出T′（t），令t＝5，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令T′（t）＝﹣3，求出t的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻．
【解答】解：根据题意，，其导数，
依次分析选项：
对于A，当t＝0时，，当t＝5时，，
所以从t＝0到t＝5，蜥蜴的体温下降了39﹣27＝12，故A正确；
对于B，从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确；
对于C，，当t＝5时，，所以当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣1.2℃/min，故C正确；
对于D，令，解得，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查平均变化率、瞬时变化率的计算，涉及导数的计算，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 淮安期末）已知某物体运动的位移方程为S（t）＝3t2+2（1≤t≤6）（　　）
A．该物体位移的最大值为100
B．该物体在[1，4]内的平均速度为15
C．该物体在t＝5时的瞬时速度是32
D．该物体的速度v和时间t时的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）
【考点】瞬时变化率．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学抽象．
【答案】BD
【分析】根据题意，由函数的解析式分析位移的最大值，可得A错误，由平均变化率公式可得B正确，由瞬时变化率的计算公式可得C错误，由导数的定义可得D正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），其导数S′（t）＝6t（1≤t≤6），
依次分析选项：
对于A，S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），t＝6时，位移取得最大值，其最大值为S（6）＝110，A错误；
对于B，该物体在[1，4]内的平均速度15，即
该物体在[1，4]内的平均速度为15，B正确；
对于C，S′（t）＝6t（1≤t≤6），则S′（5）＝30，即该物体在t＝5时的瞬时速度是30，C错误；
对于D，由于S′（t）＝6t（1≤t≤6），即该物体的速度v和时间t时的关系式是v（t）＝6t（1≤t≤6），D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查平均变化率和瞬时变化率的计算，涉及函数的最值，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 香坊区校级期末）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则以下说法正确的为（　　）
A．﹣2是函数y＝f（x）的极值点
B．函数y＝f（x）在x＝1处取最小值
C．函数y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增
【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据导函数图像判断函数的单调性，再根据选项逐一判断即可．
【解答】解：根据导函数y＝f'（x）的图象，
可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0且仅当x＝1时，f'（x）＝0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上函数f（x）单调递减；在（﹣2，+∞）函数f（x）单调递增，
所以﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，所以A正确；
其中x＝1两侧函数的单调性不变，则在x＝1处不是函数y＝f（x）的最小值，所以B不正确；
由图像可知f'（0）＞0，所以函数y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于零，所以C不正确；
由y＝f（x）图象可得，当x∈（﹣2，2）时，f'（x）≥0，
所以函数y＝f（x）在x∈（﹣2，2）上单调递增，所以D正确，
故选：AD．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义和函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 河南期中）已知定义在R上的函数f（x）满足：不恒为0，f′（x）为f（x）的导函数，则（　　）
A．f（0）＝4 B．f（x）为偶函数
C． D．
【考点】导数及其几何意义．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据y＝x即可求解A，利用y＝﹣x即可求解B，根据即可求导即可求解CD．
【解答】解：因为 x，y∈R，f（x）+f（y），
令y＝x，得，因为f（x）不恒为0，所以f（0）＝4，故A正确；
令y＝﹣x，得f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，故B正确；
由，得f′（2x） 2＝f（x）f′（x），令x＝1，得，故C正确；
令y＝0，得，所以，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了偶函数的定义，复合函数和基本初等函数的求导公式，是中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 吉安期末）过点（0，﹣2）作曲线的切线的斜率为　2　．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】先求导，设出切点，再结合切线的性质，列出方程组，即可求解．
【解答】解：y＝f（x），
则y'＝f'（x）＝1，
设切点为（x0，y0），
则，解得，
故切线的斜率为f'（1）＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查导数与切线的性质，属于基础题．
11．（2025 山西模拟）已知f（x）＝x2+x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角是 　　．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】对函数y＝f（x）求导，求出在点（0，f（0））处的切线斜率，进而得出倾斜角．
【解答】解：由f（x）＝x2+x，得f′（x）＝2x+1，则f′（0）＝1，
则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，
设斜线的倾斜角为α（0≤α＜π），则tanα＝1，可得α．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的几何意义及应用，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
12．（2024秋 周口期末）曲线f（x）＝ex﹣1在x＝1处的切线的倾斜角为 　　．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据导数的几何意义求导即可求得斜率，可得倾斜角．
【解答】解：曲线f（x）＝ex﹣1，
则f′（x）＝（ex﹣1）′＝ex﹣1，
当x＝1时，切线的斜率为1，故切线的倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 邓州市校级月考）求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）y＝（x+1）（x+2）（x+3）．
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）y′＝3x2+12x+11．
【分析】（1）（2）（3）（4）利用求导公式、导数的运算法则逐一求出给定函数的导数．
【解答】解：（1），则．
（2）．
（3）
（4）y′＝（x+1）′（x+2）（x+3）+（x+1）[（x+2）（x+3）]′
＝（x+2）（x+3）+（x+1）[（x+2）′（x+3）+（x+2）（x+3）′]
＝（x+2）（x+3）+（x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）＝3x2+12x+11．
【点评】本题考查导数的运算，属于中档题．
14．（2024秋 萝北县校级月考）已知函数f（x）＝（x﹣k）ex，若k＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】＝ex﹣e．
【分析】根据导数的几何意义求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝（x﹣1）ex，
∴f（1）＝0，
∵f′（x）＝xex，f′（1）＝e．
∴f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝ex﹣e．
【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题．
15．（2024春 辽源期末）已知函数f（x）＝x﹣1．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【考点】变化的快慢与变化率；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；函数思想；转化法；导数的综合应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出，
（Ⅱ）先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x﹣1，得f′（x）＝1
由函数f（x） 在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得 f′（1）＝10，解得a＝e
（Ⅱ）f′（x）＝1
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值
②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，
∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
∴f（x）在x＝lna处取得极小值，且极小值为f（lna）＝lna，无极大值
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，f（x）在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．
【点评】本题考查了导数和函数的极值的关系，关键是分类讨论，属于中档题．
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