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期末热点.重难点 导数的运算
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 安徽期末）过点P（﹣1，0）作曲线的切线l，则l的斜率为（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2025 湖北模拟）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 景德镇模拟）过点A（0，1）且与曲线f（x）＝x3+2x﹣1相切的直线方程是（　　）
A．y＝5x+1 B．y＝2x+1 C．y＝x+1 D．y＝﹣2x+1
4．（2025 张家口模拟）在抛物线x2y第一象限内一点（an，yn）处的切线与x轴交点的横坐标记为an+1，其中n∈N*，已知a2＝32，Sn为{an}的前n项和，若m≥Sn恒成立，则m的最小值为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
5．（2025 秦皇岛一模）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（　　）
A．2 B． C．3 D．0
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 洛阳期末）已知函数在点（x1，y1）处的切线与圆C：x2+y2＝1相切于点（x2，y2），则下列结论正确的有（　　）
A．x1x2＝﹣1 B．
C．x1﹣x2≠2 D．y1+y2＞3
（多选）7．（2024秋 周口期末）下列求导运算正确的是（　　）
A．（eπ）′＝eπ
B．（2x3）′＝6x2
C．[sin（cosx）]′＝﹣sinx cos（cosx）
D．
（多选）8．（2025 秦皇岛一模）已知直线x＝t与曲线y＝ex和y＝﹣x2+x﹣2分别交于B、C两点，点A的坐标为（t﹣2，0），则△ABC的面积可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
（多选）9．（2024秋 杭州期末）下列函数的求导运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．[（3x+1）2e﹣3x]′＝（3﹣27x2）e﹣3x
三．填空题（共3小题）
10．（2025 昆明一模）已知函数f（x）＝|lnx|，曲线y＝f（x）在A，B两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为H，两切线分别交y轴于C，D两点，设△CDH面积为S，若S＜λ恒成立，则λ的最小值为 　 　．
11．（2024秋 黔南州期末）已知函数g（x）＝ln（5﹣x），则函数g（x）在x＝0处的切线方程为 　 　．
12．（2025 全国一模）已知曲线f（x）＝x+ex在点（0，f（0））处的切线与曲线y＝ln（x﹣1）+a相切，则a＝　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 杭州期末）已知函数．
（1）若a＝4，求y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若y＝f（x）的图象关于点（b，3）中心对称，求a，b的值．
14．（2024秋 威海期末）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线x＝b对称．若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由；
（3）当x＞0时，f（x）＞2，求a的取值范围．
15．（2024秋 海门区期末）已知函数f（x）＝lnx+2f′（1）x，g（x）ax+1（a＞0）．
（1）求f（x）；
（2）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）也相切，求a．
期末热点.重难点 导数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 安徽期末）过点P（﹣1，0）作曲线的切线l，则l的斜率为（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】依据题意设出切点，结合导数的几何意义得到斜率，进而得到切线方程，再利用给定条件求解参数，最后求出斜率即可．
【解答】解：因为，所以y′，
设过点P（﹣1，0）的切线l切曲线于点，
则切线方程为，又其过P（﹣1，0），
所以，解得x0＝1，
所以切线l的斜率为．
故选：C．
【点评】本题考查过某一点的切线问题的求解，方程思想，属中档题．
2．（2025 湖北模拟）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先求导，将代入即可求解．
【解答】解：由已知，所以，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查简单复合函数的导数，属于基础题．
3．（2025 景德镇模拟）过点A（0，1）且与曲线f（x）＝x3+2x﹣1相切的直线方程是（　　）
A．y＝5x+1 B．y＝2x+1 C．y＝x+1 D．y＝﹣2x+1
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程．
【解答】解：因为f（x）＝x3+2x﹣1，所以f′（x）＝3x2+2，
设过A的切线切曲线f（x）于点，
则切线方程为y﹣（）＝（）（x﹣x0），又其过A（0，1），
所以1﹣（）＝（）（﹣x0），
所以，
所以x0＝﹣1，所以切点（﹣1，﹣4），则k＝f′（﹣1）＝5，
切线方程为：y＝5x+1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数求函数的切线问题，属中档题．
4．（2025 张家口模拟）在抛物线x2y第一象限内一点（an，yn）处的切线与x轴交点的横坐标记为an+1，其中n∈N*，已知a2＝32，Sn为{an}的前n项和，若m≥Sn恒成立，则m的最小值为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】把抛物线方程变形，求y＝2x2（x＞0）的导函数，得到函数在点（an，yn）处的切线方程，求解横坐标，可得an+1an，得到{an}是首项为a1＝64，公比q的等比数列，求其前n项和，结合m≥Sn恒成立，即可求得m的最小值．
【解答】解：∵x2y，∴y＝2x2（x＞0），
∴y′＝4x，
∴x2y在第一象限内图象上一点（an，2an2）处的切线方程是：y﹣2an2＝4an（x﹣an），
整理，得4anx﹣y﹣2an2＝0，
∵切线与x轴交点的横坐标为an+1，
∴an+1an，又a2＝32，∴a1＝64，
∴{an}是首项为a1＝64，公比q的等比数列，
∴128，
∵m≥Sn恒成立，∴m≥128，
即m的最小值为128．
故选：D．
【点评】本题考查数列与函数的综合，综合性强，容易出错，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用，是中档题．
5．（2025 秦皇岛一模）曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（　　）
A．2 B． C．3 D．0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式；函数的最值．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【答案】A
【分析】在曲线y＝ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8＝0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．
【解答】解：设曲线y＝ln（2x﹣1）上的一点是P（ m，n），
则过P的切线与直线2x﹣y+8＝0平行．
由，所以切线的斜率．
解得m＝1，n＝ln（2﹣1）＝0．
即P（1，0）到直线的最短距离是d．
故选：A．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，关键是理解与直线平行且与曲线相切的直线和曲线的切点到直线的距离最小，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 洛阳期末）已知函数在点（x1，y1）处的切线与圆C：x2+y2＝1相切于点（x2，y2），则下列结论正确的有（　　）
A．x1x2＝﹣1 B．
C．x1﹣x2≠2 D．y1+y2＞3
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用导数的几何意义，直线的点斜式方程，基本不等式，结合直线与圆的位置关系，建立方程，即可求解．
【解答】解：设公切线为l，因为，
所以f'（x），
所以公切线，又l与圆C相切，切点为（x2，y2），
所以公切线l：，
故，联立得x1x2＝﹣1，故A正确；
因为，所以由式子②得y1y2＝2，故B错误；
由A可知又x1＞0，所以，
当且仅当x1＝1时取等号，此时x2＝﹣1，该情况下公切线l不存在，所以x1﹣x2≠2故C正确；
因为，且y2∈（0，1），所以y1，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查两曲线的共切线问题，导数的几何意义的应用，属中档题．
（多选）7．（2024秋 周口期末）下列求导运算正确的是（　　）
A．（eπ）′＝eπ
B．（2x3）′＝6x2
C．[sin（cosx）]′＝﹣sinx cos（cosx）
D．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据导数的运算对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：对于A，因为eπ为常数，所以（eπ）′＝0，故A错误；
对于B，因为（2x3）′＝6x2，故B正确；
对于C，因为[sin（cosx）]′＝cos（cosx） （cosx）′＝﹣sinx cos（cosx），故C正确；
对于D，因为，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
（多选）8．（2025 秦皇岛一模）已知直线x＝t与曲线y＝ex和y＝﹣x2+x﹣2分别交于B、C两点，点A的坐标为（t﹣2，0），则△ABC的面积可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；构造法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】分别求出B、C的坐标，写出三角形ABC的面积，再由导数求最值得答案．
【解答】解：把x＝t分别代入y＝ex和y＝﹣x2+x﹣2，可得B（t，et），C（t，﹣t2+t﹣2），
又A（t﹣2，0），∴et+t2﹣t+2．
令g（t）＝et+t2﹣t+2，
则g′（t）＝et+2t﹣1，再令h（t）＝et+2t﹣1，则h′（t）＝et+2＞0，
则h（t）为R上的单调递增函数，而h（0）＝0，即g′（0）＝0，
又g′（t）为增函数，∴当t∈（﹣∞，0）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
当t∈（0，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，
∴g（t）min＝g（0）＝3．
即△ABC的面积可能为3，4．
故选：CD．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）9．（2024秋 杭州期末）下列函数的求导运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．[（3x+1）2e﹣3x]′＝（3﹣27x2）e﹣3x
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据初等函数及导数的运算法则求函数的导数判断AB，结合复合函数求导公式及导数运算法则，初等函数求导公式求导判断CD．
【解答】解：，故A错误；
sin2x+cos2x＝1，
则，故B正确；
，故C错误；
[（3x+1）2e﹣3x]′＝[（3x+1）2]′e﹣3x+（3x+1）2[e﹣3x]′＝（18x+6）e﹣3x+（3x+1）2（﹣3e﹣3x）＝（3﹣27x2）e﹣3x，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查复合函数的求导，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 昆明一模）已知函数f（x）＝|lnx|，曲线y＝f（x）在A，B两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为H，两切线分别交y轴于C，D两点，设△CDH面积为S，若S＜λ恒成立，则λ的最小值为 　1　．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；不等式恒成立的问题．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】先根据已知条件求出x1x2＝1，进而得到|CD|＝2，再求出，根据x2的范围得出S的范围，最后根据S＜λ恒成立求出λ的最小值．
【解答】解：因为函数f（x）＝|lnx|，所以设0＜x1＜1＜x2，则A（x1，﹣lnx1），B（x2，lnx2），
对y＝﹣lnx（0＜x＜1）求导得，所以在点A处切线．
对y＝lnx（x＞1）求导得，所以在点B处切线．
因为切线垂直，所以，所以x1x2＝1，
此时C（0，1﹣lnx1），又，所以C（0，1+lnx2），D（0，﹣1+lnx2），
所以|CD|＝2，
联立，x1x2＝1，可得，
解得，
因为，
又x2＞1，所以，
所以S＜1，
由S＜λ恒成立，则λ∈[1，+∞），
所以λ的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的切线问题的求解，恒成立问题的求解，属难题．
11．（2024秋 黔南州期末）已知函数g（x）＝ln（5﹣x），则函数g（x）在x＝0处的切线方程为 　x+5y﹣5ln5＝0　．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】x+5y﹣5ln5＝0．
【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程．
【解答】解：因为g（x）＝ln（5﹣x），所以，
所以f（0）＝ln5，f′（0）
所以切线方程为，即x+5y﹣5ln5＝0．
故答案为：x+5y﹣5ln5＝0．
【点评】本题考查利用导数求函数的切线问题，属基础题．
12．（2025 全国一模）已知曲线f（x）＝x+ex在点（0，f（0））处的切线与曲线y＝ln（x﹣1）+a相切，则a＝　4+ln2　．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】4+ln2．
【分析】根据导数的几何意义可得曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得y＝ln（x﹣1）+a的切点（x0，y0），从而得解．
【解答】解：因为f（x）＝x+ex的导数为f′（x）＝1+ex，则f（0）＝1，f′（0）＝2，
所以曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝2x，即y＝2x+1，
又切线y＝2x+1与曲线y＝ln（x﹣1）+a相切，设切点为（x0，y0），
因为，所以切线斜率为，解得，
所以y0＝2x0+1＝4，则，解得a＝4+ln2．
故答案为：4+ln2．
【点评】本题考查导数的几何意义与曲线的切线方程，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 杭州期末）已知函数．
（1）若a＝4，求y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若y＝f（x）的图象关于点（b，3）中心对称，求a，b的值．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；奇偶函数图象的对称性．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）3x﹣y﹣2＝0；
（2）．
【分析】（1）求导得切线斜率，由直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据对称可知f（x+b）﹣3为奇函数，即可利用定义域对称求解．
【解答】解：（1）当a＝4时，，
所以f（2）＝4，f′（2）＝3，
所以所求切线方程为y﹣4＝3（x﹣2），即为3x﹣y﹣2＝0；
（2）因为y＝f（x）的图象关于点（b，3）中心对称，
所以f（x+b）﹣3的图象关于原点对称，
所以为奇函数，
所以f（x+b）﹣3的定义域关于原点对称，所以a﹣b＝b，所以a＝2b，
所以，定义域为（﹣|b|，|b|），
所以f（b）﹣3＝2b﹣3＝0，
联立，解得，经检验可得，此时y为奇函数，
所以．
【点评】本题考查导数的综合应用，函数的性质的应用，属中档题．
14．（2024秋 威海期末）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线x＝b对称．若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由；
（3）当x＞0时，f（x）＞2，求a的取值范围．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；不等式恒成立的问题．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）（ln3）x+y﹣ln3＝0．
（2）存在a＝﹣1，b＝﹣1，使曲线关于直线x＝b对称．
（3）（﹣∞，﹣1]．
【分析】（1）当a＝1时，求出f（x）的解析式及导函数，由导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程；
（2）令g（x）＝f（），求出函数的定义域，由对称性可求出b＝﹣1，再由g（x）＝g（﹣2﹣x），可求出a的值，可得结论；
（3）已知不等式转化为（1﹣ax）ln（2x+1）﹣2x＞0，设h（x）＝（1﹣ax）ln（2x+1）﹣2x，可得导函数，再设，对m（x）求导，分a≥0，﹣1＜a＜0，a≤﹣1三种情况讨论，判断h（x）的单调性，从而可得满足条件的a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，，
则，
所以f'（1）＝﹣ln3，又f（1）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y＝（﹣ln3）（x﹣1），即（ln3）x+y﹣ln3＝0．
（2）令，
所以g（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），
由曲线y＝g（x）关于直线x＝b对称，
所以g（x）的定义域关于x＝b对称，即，
且有g（x）＝g（﹣2﹣x），
所以，
即，
整理得，
所以a＝﹣1，
故存在a＝﹣1，b＝﹣1，使曲线关于直线x＝b对称．
（3）因为x＞0，所以，即（1﹣ax）ln（2x+1）﹣2x＞0，
设h（x）＝（1﹣ax）ln（2x+1）﹣2x，则，
设，则，
当a≥0时，m′（x）＜0，所以h′（x）在（0，+∞）上单调递减，可得h'（x）＜h'（0）＝0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，可得h（x）＜h（0）＝0，所以a≥0不满足题意；
当a＜0时，由m'（x）＝0，得，
若﹣1＜a＜0，则，
当时，m'（x）＜0，所以h'（x）在上单调递减，
可得h'（x）＜h'（0）＝0，所以h（x）在上单调递减，
所以h（x）＜h（0）＝0，所以﹣1＜a＜0不满足题意；
若a≤﹣1，，则m'（x）＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
可得h'（x）＞h'（0）＝0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
可得h（x）＞h（0）＝0，所以a≤﹣1满足题意．
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于难题．
15．（2024秋 海门区期末）已知函数f（x）＝lnx+2f′（1）x，g（x）ax+1（a＞0）．
（1）求f（x）；
（2）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）也相切，求a．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝lnx﹣2x；（2）1．
【分析】（1）求导，代入x＝1，求出f′（1），即可求解；
（2）求导，根据导数的几何意义运算求解．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx+2f′（1）x，
所以，
即f′（1）＝1+2f′（1），
解得f′（1）＝﹣1．
所以f（x）＝lnx﹣2x；
（2）因为f（x）＝lnx﹣2x，
则，可得f（1）＝﹣2，f′（1）＝﹣1，
即切点坐标为（1，﹣2），切线斜率k＝﹣1，所以切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），
即y＝﹣x﹣1，又因为g（x）ax+1（a＞0），
由，
得，
由题意Δ＝（a+1）2﹣4＝0，（a＞0），
解得a＝1．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，属于中档题．
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