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期末热点.重难点 等差数列
一．选择题（共5小题）
1．（2025 江西模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝81，则a5＝（　　）
A．5 B．7 C．9 D．27
2．（2024秋 博乐市期末）若数列{an}为等差数列，且a1+a2+a30＝99，则a11＝（　　）
A．66 B．22 C．11 D．33
3．（2024秋 丽水期末）记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{Sn}的前n项和，且数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（　　）
A．{an}和均是等差数列
B．{an}是等差数列，不是等差数列
C．{an}不是等差数列，是等差数列
D．{an}和均不是等差数列
4．（2024秋 常州校级期末）等差数列{an}中，若a3＝6，a2+a10＝6，则a9等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1
5．（2025 安顺模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7+a9＝20，S11＝22，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 仓山区校级期末）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＞0，S2013＝S2024，则（　　）
A．{an}为递增数列
B．{an}为递减数列
C．当n＝2018或2019时，Sn的值最大
D．使得Sn＞0成立的n的最大值是4038
（多选）7．（2024秋 深圳期末）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝S10，且a5＝3，则（　　）
A．an＝n﹣2
B．{an}的公差为负数
C．S6＝S8
D．当n＝7或8时，Sn取得最大值
（多选）8．（2024秋 连云港期末）等差数列{an}的前m（m为奇数）项的和为99，其中偶数项之和为44，且a1﹣am＝16，则（　　）
A．m＝9 B．a5＝13 C．d＝﹣2 D．a6＝11
（多选）9．（2024秋 海口校级期末）已知数列{an}的前n项和，则以下说法正确的是（　　）
A． B．an＝2n+1
C．数列{an}是递减数列 D．a13+a7＝2a10
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 洛阳期末）已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝7S1，则 　 　．
11．（2024秋 金凤区校级期末）已知等差数列{an}，a4+a8＝20，a7＝12，则a5＝ 　 　．
12．（2024秋 嘉定区校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝3，则S5＝ 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 淮安期末）已知各项为正数的等差数列{an}满足a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，问：数列{an}的前50项中哪些项在等比数列{bn}中？
14．（2024秋 酒泉期末）设数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值及对应的n值．
15．（2024秋 丰台区期末）已知数列{an}是等差数列，a1＝﹣7，且a2+a4＝2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn的最小值，以及Sn取得最小值时n的值．
期末热点.重难点 等差数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 江西模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝81，则a5＝（　　）
A．5 B．7 C．9 D．27
【考点】由等差数列的前n项和求解数列．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
则S9＝9a5＝81，∴a5＝9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
2．（2024秋 博乐市期末）若数列{an}为等差数列，且a1+a2+a30＝99，则a11＝（　　）
A．66 B．22 C．11 D．33
【考点】等差数列的性质．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知及等差数列的通项公式有a1+a2+a30＝3a11，即可求值．
【解答】解：数列{an}为等差数列，且a1+a2+a30＝99，
数列的公差为d，
则a1+a2+a30＝3a1+30d＝3（a1+10d）
＝3a11＝99，解得a11＝33．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2024秋 丽水期末）记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{Sn}的前n项和，且数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（　　）
A．{an}和均是等差数列
B．{an}是等差数列，不是等差数列
C．{an}不是等差数列，是等差数列
D．{an}和均不是等差数列
【考点】等差数列的概念与判定．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式，得到Sn＝S1+（n﹣1）d，再通过a1，a2，a3的值判断{an}不是等差数列，利用定义，判断是等差数列．
【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{Sn}的前n项和，
数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列，
∵数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列，
设Sn＝S1+（n﹣1）d且S1≠d，
∴a1＝S1，a2＝S2﹣S1＝d，a3＝S3﹣S2＝d，
又S1≠d，∴a1，a2，a3不成等差数列，∴{an}不是等差数列；
∵，∴，
∴，
∴是以S1为首项，以为公差的等差数列．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024秋 常州校级期末）等差数列{an}中，若a3＝6，a2+a10＝6，则a9等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a3＝6，a2+a10＝6，
∵2+10＝3+9，
∴a2+a10＝a3+a9，∴a9+6＝6，
∴a9＝0．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2025 安顺模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7+a9＝20，S11＝22，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】综合法；等差数列与等比数列；能力层次；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a7+a9＝2a1+14d＝20，S11＝11a1+55d＝22，
解得，d＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 仓山区校级期末）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＞0，S2013＝S2024，则（　　）
A．{an}为递增数列
B．{an}为递减数列
C．当n＝2018或2019时，Sn的值最大
D．使得Sn＞0成立的n的最大值是4038
【考点】等差数列前n项和的性质；数列的单调性．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BC
【分析】通过已知条件S2013＝S2024来分析数列的单调性，分析数列项的正负来得到前n项和的最值情况即可．
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＞0，S2013＝S2024，
∴根据等差数列前n项和公式，得S2024﹣S2013＝0．
S2024﹣S2013＝a2014+a2015+ +a2024＝0．
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴an＝a1+（n﹣1）d．
这11项的和a2014+a2015+ +a2024＝11a2019＝0，∴a2019＝0．
∵a1＞0，a2019＝a1+2018d＝0，∴．
∴{an}是首项大于0，公差小于0的数列，即{an}为递减数列，故A错误，B正确．
∵a1＞0，d＜0，且a2019＝0，∴n≤2018，an＞0，n≥2020，an＜0，
∴当n＝2018或2019时，Sn的值最大，故C正确．
根据等差数列前n项和公式．
∵a1+a4037＝2a2019，∴
，
∵a2019＝0，a2020＜0，∴S4038＜0．
∴使得Sn＞0成立的n的最大值是4036，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）7．（2024秋 深圳期末）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝S10，且a5＝3，则（　　）
A．an＝n﹣2
B．{an}的公差为负数
C．S6＝S8
D．当n＝7或8时，Sn取得最大值
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据等差数列性质可得a8＝0，则，依次分析即可得答案．
【解答】解：Sn为等差数列{an}的前n项和，S5＝S10，且a5＝3，
设等差数列{an}的公差为d，首项a1＝2，
则a6+a7+a8+a9+a10＝5a8＝0，
∴，解得，
∴an＝8﹣n，故A错误，B正确；
S8＝S6+a7+a8＝S6+a7，
∵a7≠0，∴S6≠S8，故C错误；
∵a7＞0，a8＝0，∴S7＝S8是Sn中最大的项，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）8．（2024秋 连云港期末）等差数列{an}的前m（m为奇数）项的和为99，其中偶数项之和为44，且a1﹣am＝16，则（　　）
A．m＝9 B．a5＝13 C．d＝﹣2 D．a6＝11
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据等差数列{an}的前n项和及偶数项的和及a1﹣am＝16列方程式，求出等差数列的通项公式，逐项判断即可．
【解答】解：∵等差数列{an}的前m（m为奇数）项的和为99，
∴ma199，①
∵其中偶数项之和为44，
由题意得偶数项共有项，公差为2d，
（a1+d）2d＝44，②
∵a1﹣am＝16，
∴a1﹣am＝16﹣（m﹣1）d，③
由①②③，解得m＝9，d＝﹣2，a1＝19，故AC正确；
∴an＝a1+（n﹣1）d＝19+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+21，
∴a5＝﹣2×5+21＝11，故B错误；
a6＝﹣2×6+21＝9，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）9．（2024秋 海口校级期末）已知数列{an}的前n项和，则以下说法正确的是（　　）
A． B．an＝2n+1
C．数列{an}是递减数列 D．a13+a7＝2a10
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由可求Sn﹣1，故可判断A的正误，利用an＝Sn﹣Sn﹣1求出{an}的通项后故可判断BCD的正误．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于，则，故A正确；
对于B，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1，而a1＝S1＝3也符合该式，
故an＝2n+1，故B成立；
对于C，an﹣an﹣1＝2＞0，故数列{an}是递增数列，故C错误；
对于D，由C可得{an}为等差数列，故a13+a7＝2a10，故D成立．
故选：ABD．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 洛阳期末）已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝7S1，则 　2　．
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】2．
【分析】利用等差数列的性质求解．
【解答】解：递增等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝7S1，
∴4a1+6d＝7a1，解得a1＝2d，
∴an＝2d+（n﹣1）d＝（n+1）d，
则2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2024秋 金凤区校级期末）已知等差数列{an}，a4+a8＝20，a7＝12，则a5＝ 　8　．
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】8．
【分析】根据等差数列的项的性质计算即可．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，有a4+a8＝a7+a5，
而a4+a8＝20，a7＝12，必有a5＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，属于基础题．
12．（2024秋 嘉定区校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝3，则S5＝ 　15　．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】15．
【分析】由等差数列的前n项和公式与等差中项的概念求解即可．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝3，
∴由等差数列前n项和公式得：
．
故答案为：15．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 淮安期末）已知各项为正数的等差数列{an}满足a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，问：数列{an}的前50项中哪些项在等比数列{bn}中？
【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝1或an＝2n﹣1．
（2）当an＝1时，数列{an}的前50项都在等比数列{bn}中；
当an＝2n﹣1时，数列{an}的前50项中有5项，分别是第1，2，5，14，41项在等比数列{bn}中．
【分析】（1）根据题意列出方程求出公差即可得到通项公式；
（2）分别求出{bn}的通项公式，根据通项公式即可确定答案．
【解答】解：（1）各项为正数的等差数列{an}满足a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，
∴（1+d）2＝1×（1+4d），解得d＝0或d＝2，
当d＝0时，数列{an}的通项公式为an＝1；
当d＝2时，数列{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．
（2）等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，
当an＝1时，b1＝a1＝1，b2＝a2＝1，
∴等比数列{bn}中，bn＝1，
∴数列{an}的前50项都在等比数列{bn}中；
当an＝2n﹣1时，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，
q3，∴bn3n﹣1，
∴b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，b3＝9＝a5，b4＝27＝a14，b5＝81＝a41，b6＝243＞a50＝99，
∴数列{an}的前50项中有5项，分别是第1，2，5，14，41项在等比数列{bn}中．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2024秋 酒泉期末）设数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值及对应的n值．
【考点】等差数列前n项和的性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝﹣2n+27；
（2）当n＝13时，Sn取最大值，且其最大值为S13＝169．
【分析】（1）根据题意，由前n项和与通项的关系，分析可得答案；
（2）根据题意，结合等差数列的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，数列{an}的前n项和，
则
an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣n2+26n﹣[﹣（n﹣1）2+26（n﹣1）]＝﹣2n+27，
当n＝1时，a1＝S1＝25也满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝﹣2n+27；
（2）根据题意，由（1）的结论，an＝﹣2n+27，
则数列{an}为公差为﹣2的等差数列，
当1≤n≤13时，an＞0，
当n≥14时，an＜0，
所以当n＝13时，Sn取最大值，Sn最大值为S13＝13a1（﹣2）＝169．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．
15．（2024秋 丰台区期末）已知数列{an}是等差数列，a1＝﹣7，且a2+a4＝2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn的最小值，以及Sn取得最小值时n的值．
【考点】求等差数列的前n项和；由等差数列中若干项求通项公式或其中的项．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（I）an＝4n﹣11．
（II）﹣10．
【分析】（I）由已知结合等差数列的通项公式即可求解；
（II）结合等差数列的求和公式及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝﹣7，a2+a4＝2，
所以a2+a4＝2a1+4d＝4d﹣14，
所以4d﹣14＝2，解得d＝4，
所以an＝4n﹣11．
（Ⅱ）因为{an}是等差数列，所以，
由（Ⅰ）可知，，
所以当n＝2时，Sn有最小值﹣10．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
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