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期末热点.重难点 二项式定理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 浙江期末）展开式中的常数项为（　　）
A．﹣13 B．﹣1 C．11 D．12
2．（2024秋 仓山区校级期末）从重量分别为1，2，3，4， ，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展式中x9的系数为m的选项是（　　）
A．（1+x）（1+x2）（1+x3） （1+x10）
B．（1+x）（1+2x）（1+3x） （1+10x）
C．（1+x）2（1+x2）2（1+x3）2（1+x4）2 （1+x10）2
D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3） （1+x+x2+ +x10）
3．（2024秋 丽水期末）若n是数据3，1，2，2，3，9，10，3的第75百分位数，则二项式的展开式的常数项是（　　）
A．240 B．90 C．12 D．5376
4．（2024秋 常德校级期末）已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为270，则a的值为（　　）
A．2 B．±2 C．3 D．±3
5．（2025 安徽模拟）（x+y﹣2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（　　）
A．120 B．﹣120 C．60 D．30
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 于洪区校级期末）若，则（　　）
A．a0＝1
B．a1＝﹣8
C．a1+a2+a3+…+a7+a8＝0
D．a1﹣a2+a3﹣a4+…+a7﹣a8＝﹣6561
（多选）7．（2024秋 定西期末）已知，则（　　）
A．a0＝16
B．a1＝﹣96
C．a1+a2+a3+a4＝16
D．展开式中所有项的二项式系数的和为16
（多选）8．（2024秋 青山湖区校级期末）关于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．各项的系数之和为0
B．二项式系数的和为2025
C．展开式共有2026项
D．展开式中常数项为﹣1
（多选）9．（2024秋 百色期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为{an}，其前n项和为Sn，则（　　）
A．a9＝34
B．S7＝32
C．a1+a2+a4+a6+ +a2024＝a2025
D．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 张家口模拟）在的展开式中，x项的系数为10，则项的系数为 　 　．
11．（2025 江西模拟）若（a﹣x）（x+1）5的展开式中x4的系数是20，则实数a的值为 　 　．
12．（2025 温州模拟）已知二项式的展开式：，则a3＝ 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 亳州期末）设．
（1）求a1+a2+ +an；
（2）若a5是a0，a1＝2，a2， ，an中唯一的最大值，求n的所有可能取值；
（3）若，求．
14．（2024秋 漳州期末）已知．
（1）若，求；
（2）若f（x）＝（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N）的展开式中x的系数为6，求展开式中x2系数的最小值．
15．（2024秋 南昌校级期末）已知二项式（n∈N*）展开式中，前三项的二项式系数和是56，求：
（Ⅰ）n的值；
（Ⅱ）展开式中的常数项．
期末热点.重难点 二项式定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 浙江期末）展开式中的常数项为（　　）
A．﹣13 B．﹣1 C．11 D．12
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】先将原式化为，然后分别找出各项的常数项，相加可得答案．
【解答】解：由题意可知，，
展开式的通项为，
令6﹣3r＝0，得r＝2，则展开式对应常数项为，
，无常数项；
无常数项，
则展开式中的常数项为12﹣1＝11．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
2．（2024秋 仓山区校级期末）从重量分别为1，2，3，4， ，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展式中x9的系数为m的选项是（　　）
A．（1+x）（1+x2）（1+x3） （1+x10）
B．（1+x）（1+2x）（1+3x） （1+10x）
C．（1+x）2（1+x2）2（1+x3）2（1+x4）2 （1+x10）2
D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3） （1+x+x2+ +x10）
【考点】二项式定理的应用．
【专题】集合思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得m，再分析求解各个选项中x9的系数，即可求解．
【解答】解：从重量分别为1，2，3，4， ，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，
取一个砝码时，有（9）一种情况，方法有种，
取两个砝码时，有（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）几种情况，方法有种，
取三个砝码时，有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）几种情况，
方法有种，
取四个砝码时，有（1，1，2，5），（1，1，3，4），（1，2，2，4），（1，2，3，3）几种情况，
方法有种，
取五个砝码时，有（1，1，2，2，3）一种情况，方法有种，
∴总计方法总数m＝2+16+30+16+2＝66种．
对于A，x9系数可为x9单独组成，其他为常数，则有种，系数为1，
x9由两项x与x8，或x2与x7，或x3与x6，或x4与x5组成，系数为4×1＝4，
x9由三项x，x2与x6，或x，x3与x5组成，系数为2×1＝2，
∴（1+x）（1+x2）（1+x3） （1+x10）展开式中x9系数为7，不符合，故A错误；
对于B，x9的系数可为10个因式中选9个带x的，剩下1个因式选常数项组成，
∴（1+x）（1+2x）（1+3x） （1+10x）展开式中x9的系数为，故B错误；
对于C，（1+x）2（1+x2）2（1+x3）2（1+x4）2 （1+x10）2
＝（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x4） （1+x10）（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x4）…（1+x10），
x9系数为x9单独组成，其他为常数，则有种，系数为2，
x9由两项组成，系数为x与x8组成，其他为常数，，系数为4，
x9系数为x2与x7组成，其他为常数，，系数为4，
x9系数为x3与x6组成，其他为常数，，系数为4，
x9系数为x4与x5组成，其他为常数，，系数为4，
同理x9由三项组成（x，x，x7），（x，x2，x6），（x，x3，x5），（x，x4，x4），（x2，x2，x5），（x2，x3，x4）几种情况，
其他项为常数，则系数为，
同理x9由四项组成（x，x，x2，x5），（x，x，x3，x4），（x，x2，x2，x4），（x，x2，x3，x3）几种情况，
其他为常数，则系数，
同理x9由五项组成（x，x，x2，x2，x3），其他项为常数，则系数为，
综上，（1+x）2（1+x2）2（1+x3）2（1+x4）2 （1+x10）2展开式中x9系数为m＝66，故C正确；
对D，（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3） （1+x+x2+ +x10）
x9由x9一项及其他为常数项组成，有种情况，系数为2，
x9由x与x8两项及其他为常数项组成，有种情况，系数为27，
x9由x2与x7两项及其他为常数项组成，有种情况，系数为32，
x9由x3与x6两项及其他为常数项组成，有种情况，系数为35，
x9由x4与x5两项及其他为常数项组成，有种情况，系数为36，
此时x9的系数为2+27+32+35+36＝132＞66，
x9还有其他组成的情形，
∴（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3） （1+x+x2+ +x10）民开式中x9系数大于m，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3．（2024秋 丽水期末）若n是数据3，1，2，2，3，9，10，3的第75百分位数，则二项式的展开式的常数项是（　　）
A．240 B．90 C．12 D．5376
【考点】二项式定理的应用；百分位数．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】求数据中的第75百分位数得n＝6，利用二项式展开式通项求常数项即可．
【解答】解：将3，1，2，2，3，9，10，3按从小到大顺序排列得1，2，2，3，3，3，9，10，
由题设8×75%＝6，
则该组数据的第75百分位数为．
所以展开式通项为，
令，得r＝2，
则，
即二项式的展开式的常数项为240．
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
4．（2024秋 常德校级期末）已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为270，则a的值为（　　）
A．2 B．±2 C．3 D．±3
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【答案】C
【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n＝5，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得常数项，再根据常数项为270，求得a的值．
【解答】解：∵关于x的二项式展开式的二项式系数之和为2n＝32，∴n＝5．
它的通项公式为Tr+1 ar ，令0，求得r＝3，可得常数项为 a3＝270，∴a＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
5．（2025 安徽模拟）（x+y﹣2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（　　）
A．120 B．﹣120 C．60 D．30
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；二项式定理．
【答案】A
【分析】由（x+y﹣2z）5＝[（x+y）﹣2z]5可知展开式的通项为Tr+1（x+y）5﹣r（﹣2z）r，令r＝2，然后在考虑（x+y）3的展开式的通项，则答案可求．
【解答】解：∵（x+y﹣2z）5＝[（x+y）﹣2z]5，
展开式的通项为Tr+1（x+y）5﹣r（﹣2z）r，
令r＝2可得，，
∵（x+y）3的展开式的通项，
令m＝2可得，T3，
∴（x+y﹣2z）5的展开式中，xy2z2的系数是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，考查通项在求解展开式的指定项中的应用，解题的关键是两次利用展开式的通项，属中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 于洪区校级期末）若，则（　　）
A．a0＝1
B．a1＝﹣8
C．a1+a2+a3+…+a7+a8＝0
D．a1﹣a2+a3﹣a4+…+a7﹣a8＝﹣6561
【考点】二项式系数的性质．
【专题】方程思想；数学模型法；二项式定理；运算求解．
【答案】AC
【分析】由已知结合赋值法逐一求解得答案．
【解答】解：在中，
令x＝0，可得a0＝1，故A正确；
a1为展开式中含x项的系数，而含x的项为，故a1＝﹣16，B错误；
令x＝1，得a0+a1+a2+...+a7+a8＝1，则a1+a2+...+a7+a8＝0，故C正确；
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣...﹣a7+a8＝38，则﹣a1+a2﹣...﹣a7+a8＝38﹣1＝6560，
可得a1﹣a2+a3﹣a4+...+a7﹣a8＝﹣6560，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查赋值法的应用，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）7．（2024秋 定西期末）已知，则（　　）
A．a0＝16
B．a1＝﹣96
C．a1+a2+a3+a4＝16
D．展开式中所有项的二项式系数的和为16
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】借助赋值法令x＝0可得A；借助二项式的展开式的通项公式计算可得B；借助赋值法令x＝1，结合A中所得可得C；借助二项式系数的和的性质可得D．
【解答】解：已知，
对于A：令x＝0，可得24＝a0，故a0＝16，故A正确；
对于B：，所以a1＝﹣96，故B正确；
对于：令x＝1，可得1＝a0+a1+a2+a3+a4，则a1+a2+a3+a4＝﹣15，故C错误；
对于D：展开式中所有项的二项式系数的和为24＝16，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 青山湖区校级期末）关于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．各项的系数之和为0
B．二项式系数的和为2025
C．展开式共有2026项
D．展开式中常数项为﹣1
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】AC
【分析】令x＝1代入二项式，可得各项系数之和，判断A正确；由（a+b）n展开式的二项式系数之和为2n，可求B错；根据（a+b）n展开式中共有n+1项，可判断C正确；利用二项展开式的通项公式，可判断D错．
【解答】解：令x＝1，则各项系数的和为，故A正确；
展开式的二项式系数的和为22025，故B错；
展开式中共有2026项，故C正确；
展开式中的第r+1项为，r∈N，且0≤r≤2025，
因为r∈N，且0≤r≤2025，所以2025﹣2r≠0，因此展开式中无常数项，故D错．
故选：AC．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是基础题．
（多选）9．（2024秋 百色期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为{an}，其前n项和为Sn，则（　　）
A．a9＝34
B．S7＝32
C．a1+a2+a4+a6+ +a2024＝a2025
D．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】对应思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可．
【解答】解：依题意可得a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34， ，A正确；
由S7＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝1+1+2+3+5+8+13＝33，B错误；
a1+a2+a4+a6+ +a2024＝a3+a4+a6+ +a2024＝a5+a6+a8+ +a2024＝a7+a8+ +a2024＝ ＝a2023+a2024＝a2025，C正确；
，累加得，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查数列相关知识，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 张家口模拟）在的展开式中，x项的系数为10，则项的系数为 　10　．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】10．
【分析】写出二项展开式的通项，分别由x的次数为1和﹣1求得r值，进一步求解得答案．
【解答】解：的展开式的通项为，
令5﹣2r＝1，得r＝2，由，得a＝1．
令5﹣2r＝﹣1，得r＝3，此时，即项的系数为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
11．（2025 江西模拟）若（a﹣x）（x+1）5的展开式中x4的系数是20，则实数a的值为 　6　．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】6．
【分析】根据二项式展开式计算求解．
【解答】解：由题意，二项式展开式中x4的系数是，∴5a＝30，解得a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查二项式的应用，属于基础题．
12．（2025 温州模拟）已知二项式的展开式：，则a3＝ 　﹣160　．
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】﹣160．
【分析】根据二项展开式的特点求解即可．
【解答】解：因为二项式的展开式：，
故，
所以a3＝﹣160．
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 亳州期末）设．
（1）求a1+a2+ +an；
（2）若a5是a0，a1＝2，a2， ，an中唯一的最大值，求n的所有可能取值；
（3）若，求．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）4n﹣3n；（2）20，21，22；（3）．
【分析】（1）利用赋值法，令x＝1，x＝0，即可得结果；
（2）根据二项式定理可得，根据题意列式求解即可；
（3）整理可得，结合二项式系数的性质运算求解．
【解答】解：（1）由设，
令x＝1，可得；
令x＝0，可得；
所以．
（2）由题意知（3+x）n的展开式的通项为，r＝0，1，2，…，n，
所以，r＝0，1，2，…，n．
因为a5是a0，a1，a2，…，an中唯一的最大值，
可得，解得19＜n＜23，所以n的所有可能取值为20，21，22．
（3）由题意可得：
（x+3）n＝[1+（x+2）]n；
所以，r＝0，1，2，…，n，
则；
因为，
．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2024秋 漳州期末）已知．
（1）若，求；
（2）若f（x）＝（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N）的展开式中x的系数为6，求展开式中x2系数的最小值．
【考点】二项式定理的应用；二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）81；
（2）5．
【分析】（1）根据二项式系数的性质算出2n＝16，解得n＝4，然后取x＝1求得系数和，可得的值；
（2）运用二项式展开式的通项公式，推导出f（x）的一次项系数为m+2n＝6，且二次项系数等于，然后消元得到关于n的表达式，利用二次函数的性质，结合n为整数算出展开式中x2系数的最小值．
【解答】解：（1）根据，可得2n＝16，解得n＝4．
当x＝1时，（1+2）4＝34＝81；
（2）因为f（x）＝（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N）的展开式中x的系数为6，
所以，可得m+2n＝6，即m＝6﹣2n，
f（x）展开式中x2项的系数为
4n2﹣13n+15＝4（n）2，
因为n∈N，所以当n＝2时，x2项的系数的最小值为4×22﹣13×2+15＝5．
【点评】本题主要考查二项式定义及其应用、二次函数的最值求法等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
15．（2024秋 南昌校级期末）已知二项式（n∈N*）展开式中，前三项的二项式系数和是56，求：
（Ⅰ）n的值；
（Ⅱ）展开式中的常数项．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程，即可求解n的值；
（Ⅱ）利用展开式，通过x的幂指数为0，转化求解即可．
【解答】解：（Ⅰ） n0+ n1+ n2＝56…2分
1+nn﹣110＝0 n＝10，n＝﹣11（舍去）． …5分
（Ⅱ） 展开式的第r+1项是
，200 r＝8，…10分
故展开式中的常数项是． …12分．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质的应用，考查计算能力．
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