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期末热点.重难点 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 定西期末）将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
2．（2024秋 辽宁期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（　　）
A．60种 B．80种 C．100种 D．125种
3．（2024秋 日照期末）如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（　　）
A．12种 B．16种 C．20种 D．24种
4．（2024秋 通州区期末）设a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|＝4的不同排列的个数为（　　）
A．24 B．16 C．8 D．2
5．（2024 江苏学业考试）5人站成一排，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（　　）
A．24 B．36 C．48 D．60
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 鄄城县校级期末）设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（　　）
A．从东面上山有20种走法
B．从西面上山有27种走法
C．从南面上山有30种走法
D．从北面上山有32种走法
（多选）7．（2024春 顺德区校级期中）（多选）下列说法中正确的有（　　）
A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有43种报名方法
B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法
C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有43种可能结果
D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有34种可能结果
（多选）8．（2024秋 建华区校级月考）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（　　）
A．可组成300个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成120个能被5整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301
（多选）9．（2024春 武汉期末）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（　　）
A．共有256种放法
B．恰有一个盒子不放球，共有72种放法
C．恰有两个盒子不放球，共有84种放法
D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 浦东新区校级期末）乘积（a+b+c）（d+e+f+g）（其中abcdefg≠0）的展开式中共有　 　项．
11．（2024秋 宝山区校级期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 　 　种．
12．（2024秋 靖远县校级期末）某城市一地铁站有A，B，C，D四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有　 　种出站方法．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 华池县校级期末）（1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？
（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项．
14．（2024秋 庆阳期末）已知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试．
（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
15．（2024秋 白银校级期末）（1）如图1所示，分别给A，B，C，D，4个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
（2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？
期末热点.重难点 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 定西期末）将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【考点】分类加法计数原理．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案．
【解答】解：若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法．
若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法；
故不同的放法有7种．
故选：C．
【点评】本题主要考查分类加法计数原理，属于基础题．
2．（2024秋 辽宁期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（　　）
A．60种 B．80种 C．100种 D．125种
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可．
【解答】解：因为中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同，
所以只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色，
先涂区域1，有5种选择，
再涂区域2，有4种选择，
最后涂区域3，有3种选择，
故不同的涂色方案有5×4×3＝60种．
故选：A．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于基础题．
3．（2024秋 日照期末）如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（　　）
A．12种 B．16种 C．20种 D．24种
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出总数，再减去特例，即可求解．
【解答】解：要把4个小岛连接起来，共有6个位置可以建设桥梁，
要建三座有，其中4种不符合题意，
故建设方案有20﹣4＝16．
故选：B．
【点评】本题主要考查计数原理的应用，属于基础题．
4．（2024秋 通州区期末）设a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|＝4的不同排列的个数为（　　）
A．24 B．16 C．8 D．2
【考点】计数原理的应用；简单排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，按a1，a2，a3，a4的取值分8种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分8种情况讨论：
①a1＝1，a2＝4，a3，a4为2或3，有2个不同的排列；
②a1＝2，a2＝3，a3，a4为1或4，有2个不同的排列；
③a1＝3，a2＝2，a3，a4为1或4，有2个不同的排列；
④a1＝4，a2＝1，a3，a4为2或3，有2个不同的排列；
⑤a1＝1，a2＝3，a3，a4为2或4，有2个不同的排列；
⑥a1＝3，a2＝1，a3，a4为2或4，有2个不同的排列；
⑦a1＝2，a2＝4，a3，a4为1或3，有2个不同的排列；
⑧a1＝4，a2＝2，a3，a4为1或3，有2个不同的排列；
共有8×2＝16个不同的排列．
故选：B．
【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意分析|a1﹣a2|+|a3﹣a4|＝4的可能情况，属于基础题．
5．（2024 江苏学业考试）5人站成一排，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（　　）
A．24 B．36 C．48 D．60
【考点】计数原理的应用．
【专题】应用题；排列组合．
【答案】C
【分析】利用捆绑法，把甲乙二人看作一个复合元素，再和另外3的全排列．
【解答】解：把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为48种
故选：C．
【点评】本题考查了排队问题，审清题意，选择合理的方法是关键，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 鄄城县校级期末）设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（　　）
A．从东面上山有20种走法
B．从西面上山有27种走法
C．从南面上山有30种走法
D．从北面上山有32种走法
【考点】分步乘法计数原理；分类加法计数原理．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，由分步计数原理依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若从东面上山，上山的路2条，下山的路有3+3+4＝10条，则有2×10＝20条，A正确；
对于B，若从西面上山，上山的路3条，下山的路有2+3+4＝9条，则有3×9＝27条，B正确；
对于C，若从南面上山，上山的路3条，下山的路有2+3+4＝9条，则有3×9＝27条，C错误；
对于D，若从北面上山，上山的路4条，下山的路有2+3+3＝8条，则有4×8＝32条，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查分步、分类计数原理的应用，注意分类、分步计数原理的不同，属于基础题．
（多选）7．（2024春 顺德区校级期中）（多选）下列说法中正确的有（　　）
A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有43种报名方法
B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法
C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有43种可能结果
D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有34种可能结果
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用计算原理，转化求解判断选项的正误即可．
【解答】解：对于A、B，4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每人都有3种选择，共有34种报名方法，所以A错误；B正确；
对于C、D，4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），每个冠军有4种可能，共有43 种可能结果，所以C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查计数原理以及排列组合的简单应用，是中档题．
（多选）8．（2024秋 建华区校级月考）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（　　）
A．可组成300个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成120个能被5整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301
【考点】数字问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】ABD
【分析】应用分类分步原理，结合分组讨论的方法研究不同选项中的计算问题：A中6个数中选4个全排列再排除首位为0的情况或首位在1、2、3、4、5任选一个数再从剩余数中选3个数全排；B中分末位为0，为2、4两种情况分别计数再求和；B中分末位为0，为5两种情况分别计数再求和；D中分首位为1、2、 依次计数，找到第85个数字的位置再确定数字即可．
【解答】解：A选项，有个，故A正确；
B选项，分为两类：0在末位，则有种；
0不在末位，则有种，
所以共有60+96＝156种，故B正确；
C选项，分为两类：0在末位，则有种；
5在末位，则有种，
所以共有60+48＝108种，故C错误；
D选项，首位为1的有个；前两位为20的有个；前两位为21的有个，
所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
（多选）9．（2024春 武汉期末）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（　　）
A．共有256种放法
B．恰有一个盒子不放球，共有72种放法
C．恰有两个盒子不放球，共有84种放法
D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种
【考点】分步乘法计数原理；简单组合问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】ACD
【分析】按照分步乘法计数原理判断A，B，先分组、再分配，即可判断C，先确定编号为1的球的放法，再确定与1号球所放盒子的编号相同的球的放法，按照分步乘法计数原理判断D．
【解答】解：若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44＝256种放法，故A正确；
恰有一个盒子不放球，先选一个盒子，再选一个盒子放两个球，则种放法，故B错误；
恰有两个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将四个球分为3，1或2，2两种情况，
故共种放法，故C正确；
编号为1的球有3种放法，编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号或其他两个盒子，
共有，即3×3＝9种放法，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 浦东新区校级期末）乘积（a+b+c）（d+e+f+g）（其中abcdefg≠0）的展开式中共有　12　项．
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】12．
【分析】根据分步乘法计数原理计算可得答案．
【解答】解：乘积（a+b+c）（d+e+f+g）（其中abcdefg≠0）的展开式中，从a，b，c中取一项共有3种不同取法，从d，e，f，g中取一项有4种不同取法，
由分步乘法计数原理知，该展开式共3×4＝12 （项）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了分步乘法计数原理，是基础题．
11．（2024秋 宝山区校级期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 　81　种．
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】81．
【分析】利用分步乘法计数原理求解．
【解答】解：因为每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，
所以每名学生都有3种报名结果，只报“行知杯”足球赛，或只报“灵辰杯”篮球赛，或两个比赛都报，
所以4名学生不同的报名结果有3×3×3×3＝81种．
故答案为：81．
【点评】本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
12．（2024秋 靖远县校级期末）某城市一地铁站有A，B，C，D四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有　256　种出站方法．
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】256．
【分析】根据分步乘法计数原理来求得正确答案．
【解答】解：由题意得，每位乘客都有4种出站选择，
所以根据分步计数原理可得共有4×4×4×4＝256种出站方法．
故答案为：256．
【点评】本题考查分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 华池县校级期末）（1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？
（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项．
【考点】数字问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）600；（2）193．
【分析】（1）根据题意，先排首位，再排其它位置，进而结合分步计数乘法原理得到答案；
（2）根据所给数字，考虑首位数字是1和2两种情况，当首位数字为1时都比240135小，当首位数字为2时考虑比240135小的数字，进而根据排列数公式和分类加法计数原理得到答案．
【解答】解：（1）由于是五位数，首位数字不能为0，
首位数字有种排法，
其它位置有种排法，
所以用0，1，2，3，4，5可以组成5×120＝600个无重复数字的五位数．
（2）由于是六位数，首位数字不能为0，
首位数字为1有个数，
首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有个数，
所以从小到大排列，240135是第1＝193个，
即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，240135是数列的第193项．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（2024秋 庆阳期末）已知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试．
（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
【考点】计数原理的应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）48；
（2）18．
【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求得结果；
（2）分两种情况讨论：（i）测试2次找到所有次品；（ii）测试3次找到所有的正品．求出两种情况下不同的测试情况种数，相加即可．
【解答】解：（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，
则第一、三、四次抽到的都是正品，
由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为4×2×3×2×1＝48种；
（2）至多测试3次就能找到所有次品，有两种情况：
（i）测试2次找到所有次品，不同的测试情况种数为2×1＝2种，
（ii）测试3次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到次品，
则不同的测试情况种数为2×2×4＝16种，
综上所述，不同的测试情况种数为2+16＝18种．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于基础题．
15．（2024秋 白银校级期末）（1）如图1所示，分别给A，B，C，D，4个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
（2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）48；
（2）6．
【分析】（1）应用分步计数原理及排列数计算即可；
（2）应用分步计数原理计算即可．
【解答】解：（1）先涂A，B，C区域，有种涂色方法，再涂D区域，有2种涂色方法，
所以共有24×2＝48种涂色方法；
（2）先给顶点P涂色，有3种涂色方法，再给顶点A，C涂色，有2种涂色方法，
最后给顶点B，D涂色，有1种涂色方法，
所以有3×2×1＝6种涂色方法．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于基础题．
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