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期末热点.重难点 数列的概念
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 定西期末）已知数列0，lg2，lg3，lg4，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（　　）
A．8项 B．9项 C．10项 D．11项
2．（2024秋 天河区校级期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3．已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（　　）
（参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9）
A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元
3．（2024秋 漳州期末）211是等差数列4，7，10，13，…的第（　　）项．
A．69 B．70 C．71 D．72
4．（2024秋 天河区校级期末）已知数列{an}的通项公式为，则146是该数列的（　　）
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
5．（2024秋 承德期末）已知数列1，﹣3，5，﹣7，9，…，则该数列的第211项为（　　）
A．﹣421 B．421 C．﹣423 D．423
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 保定期末）下列数列{an}中，一定是单调递增数列的是（　　）
A． B．
C．an+1＝an+n D．an+1＝2an
（多选）7．（2024秋 西安期末）已知等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠1，则下列选项正确的是（　　）
A．若d＞0，则{an}单调递增
B．若q＞1，则{bn}单调递增
C．{a}可能为等差数列
D．{|bn|+1}可能为等比数列
（多选）8．（2024秋 柳州期末）下列有关数列的说法正确的是（　　）
A．数列﹣2023，0，4与数列4，0，﹣2023是同一个数列
B．数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），则110是该数列的第10项
C．在数列中，第8个数是
D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为
（多选）9．（2024秋 江阳区校级期末）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．
D．数列{an}中最大项为第6项
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 定西期末）已知{an}是各项都为正整数的递减数列，若a1+a2+…+an＝100，则n的最大值为 　 　；当n取最大值时，a1的最小值为 　 　．
11．（2024秋 天津校级期中）数列{an}的前n项和记为Sn，若，则an＝　 　．
12．（2024秋 南京月考）某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝（a1，a2，a3，…）升级为新序列A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），A*中的第n项为an+1﹣an，若（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝ 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 余干县校级期中）数列{an}的通项公式是．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
14．（2024秋 黄浦区期末）若数列{an}与{bn}都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”．
（1）若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn＝2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求{an}的通项公式；
（2）若an＝2n，{bn}是首项为1、公比为的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求整数m的值；
（3）设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔数列”，求q的取值范围．
15．（2024秋 开福区校级月考）将n（n≥2）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
（2）计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）an＝﹣2n+19（1≤n≤100）；
（ⅱ）；
（3）已知数列a1，a2，…，an的逆序数为a，求an，an﹣1，…，a1的逆序数．
期末热点.重难点 数列的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 定西期末）已知数列0，lg2，lg3，lg4，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（　　）
A．8项 B．9项 C．10项 D．11项
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】B
【分析】观察数列可得通项公式为an＝lgn，解不等式可得结果．
【解答】解：根由题意可知，该数列的通项公式为an＝lgn，
令lgn＜1可得，0＜n＜10，
又因为n∈N+，
所以该数列中小于1的项有9项．
故选：B．
【点评】本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．
2．（2024秋 天河区校级期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3．已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（　　）
（参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9）
A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元
【考点】由实际问题归纳出数列的通项．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列{an}，由an+1＝1.3an﹣3求出通项，再结合数列求和即可得解．
【解答】解：某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，
以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，
第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，
该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，
依题意，当n∈N*，n≤9时，an+1＝1.3an﹣3，即an+1﹣10＝1.3（an﹣10），
∴数列{an﹣10}是首项为90，公比为1.3的等比数列，
，即，
则，
∴从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元．
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3．（2024秋 漳州期末）211是等差数列4，7，10，13，…的第（　　）项．
A．69 B．70 C．71 D．72
【考点】由数列若干项归纳出通项公式；由数列若干项求下一项或其中的项．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意写出等差数列的通项公式，即可求的结果．
【解答】解：等差数列4，7，10，13，…，
根据题意，得出等差数列的通项公式：
an＝3n+1，令3n+1＝211，解得n＝70，
∴211是等差数列4，7，10，13，…的第70项．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024秋 天河区校级期末）已知数列{an}的通项公式为，则146是该数列的（　　）
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
【考点】由通项公式求解或判断数列中的项．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】利用数列的通项公式求解．
【解答】解：数列{an}的通项公式为，
由，
解得n＝12．
则146是该数列的第12项．
故选：D．
【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2024秋 承德期末）已知数列1，﹣3，5，﹣7，9，…，则该数列的第211项为（　　）
A．﹣421 B．421 C．﹣423 D．423
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出数列的通项公式，由此能求出该数列的第211项．
【解答】解：数列1，﹣3，5，﹣7，9，…，
该数列的通项公式为an＝（﹣1）n+1 （2n﹣1），
∴该数列的第211项为：
a211＝（﹣1）212×（2×211﹣1）＝421．
故选：B．
【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 保定期末）下列数列{an}中，一定是单调递增数列的是（　　）
A． B．
C．an+1＝an+n D．an+1＝2an
【考点】数列的单调性．
【专题】函数思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】举反例判断选项A和D，利用an+1﹣an与0的关系验证选项B和C即可．
【解答】解：对于选项A：因为，所以数列{an}一定不是单调递增，不符合题意，故A不正确；
对于选项B：因为，所以数列{an}为单调递增数列，故B正确；
对于选项C：因为an+1﹣an＝n≥1＞0，所以数列{an}是单调递增数列，故C正确；
对于选项D：当an＜0时，an+1﹣an＝2an﹣an＝an＜0，此时数列{an}不是单调递增数列，不合题意，故D不正确．
故选：BC．
【点评】本题考查数列的单调性，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
（多选）7．（2024秋 西安期末）已知等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠1，则下列选项正确的是（　　）
A．若d＞0，则{an}单调递增
B．若q＞1，则{bn}单调递增
C．{a}可能为等差数列
D．{|bn|+1}可能为等比数列
【考点】数列的单调性；等比数列的概念与判定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据题意，由等差数列的性质分析A，举出反例可得B错误，利用反证法可得C错误，举出实例可得D正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，等差数列{an}，若公差d＞0，即an+1﹣an＞0（n≥1且n∈Z），数列{an}单调递增，A正确；
对于B，当b1＝﹣1，q＝2时，数列{bn}单调递减，B错误；
对于C，假设{a}为等差数列，设其公差为d′，
当n≥1且n∈Z时，有（an+1﹣an）（an+1+an）＝d′，
又由an+1﹣an＝d，则有an+1+an，为常数，不会成立，故{a}不会为等差数列，C错误；
对于D，等比数列{bn}中，当q＝﹣1时，|bn|+1＝|b1|+1，是非零常数，则数列{|bn|+1}是等比数列，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义和性质，涉及数列的单调性，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 柳州期末）下列有关数列的说法正确的是（　　）
A．数列﹣2023，0，4与数列4，0，﹣2023是同一个数列
B．数列{an}的通项公式为an＝n（n+1），则110是该数列的第10项
C．在数列中，第8个数是
D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为
【考点】数列的概念及简单表示法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BCD
【分析】选项A的两个数列顺序不同，不是同一个数列，A错误；解n（n+1）＝110即可判断B的正误；可看出C的通项公式，从而判断C正确；归纳前三项的规律即可判断D的正误．
【解答】解：A．这两个数列的顺序不同，不是同一个数列，A错误；
B．解n（n+1）＝110得n＝10或﹣11（舍去），B正确；
C．该数列的通项公式为，所以，C正确；
D.3＝21+1，5＝22+1，9＝23+1，…，所以，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了数列的定义，根据数列的前几项归纳数列的通项公式的方法，考查了计算能力，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 江阳区校级期末）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．
D．数列{an}中最大项为第6项
【考点】数列的单调性；数列的最大项最小项；求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到a7＜0，a6+a7＞0，再利用等差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判断AC；利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质计算判定B；利用单调性判定D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，a3＝12，S12＞0，S13＜0，
依次分析选项：
对于A、C，由于S12＞0，S13＜0，则，，
则a7＜0，a6+a7＞0，
又a3＝12，则，解得，
由于d＜0，则等差数列{an}是递减数列，A错误，C正确；
对于B，由a3＝12，得，B正确；
对于D，由等差数列{an}是递减数列，得数列{an}中最大项为第1项，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及数列的单调性，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 定西期末）已知{an}是各项都为正整数的递减数列，若a1+a2+…+an＝100，则n的最大值为 　13　；当n取最大值时，a1的最小值为 　14　．
【考点】数列的单调性；求等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】13；14．
【分析】先证明n≤13，再证明n＝13时，满足条件的{an}存在，再由n＝13时，a1≥13，并证明a1＝13满足条件的数列不存在，a1＝14时存在满足条件的数列，由此可得结论．
【解答】解：当n≥14且n∈N*时，a1+a2+…+an≥a1+a2+…+a14≥14+13+…+1105，
而a1+a2+…+an＝100，矛盾，所以n≤13，
又因为数列22，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1满足题意，
所以n的最大值为13．
当n＝13时，由已知可得：a1≥13，
当a1＝13时，数列只能为13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，
而13+12+11+…+191≠100，与a1+a2+…+an＝100矛盾，
所以当a1＝14时，存在数列14，13，12，11，10，9，8，7，6，4，3，2，1满足题意，
所以当n取最大值时，a1的最小值为14．
故答案为：13；14．
【点评】本题考查数列的性质及其前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
11．（2024秋 天津校级期中）数列{an}的前n项和记为Sn，若，则an＝　　．
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】．
【分析】根据an，Sn的关系即可求解．
【解答】解：当n≥2时，有，
但当n＝1时，a1＝S1＝﹣1不适合上式，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2024秋 南京月考）某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝（a1，a2，a3，…）升级为新序列A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），A*中的第n项为an+1﹣an，若（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝ 　8　．
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．
【答案】8．
【分析】利用A*中的第n项为an+1﹣an，表示出（A*）*，利用（A*）*的所有项都是3，逐步计算出a3，a2，a1．
【解答】解：由题意得，
A＝（a1，a2，a3，a4，a5，…），
A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），
（A*）*＝（a3﹣2a2+a1，a4﹣2a3+a2，a5﹣2a4+a3，…），
∵（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，
∴a3﹣2a2+a1＝3，
a4﹣2a3+a2＝3，
a5﹣2a4+a3＝3，
由a5﹣2a4+a3＝3，得18﹣22+a3＝3，解得a3＝7，
由a4﹣2a3+a2＝3，得11﹣14+a2＝3，解得a2＝6，
由a3﹣2a2+a1＝3，得7﹣12+a1＝3，解得a1＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查新定义、数列的项的规律等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 余干县校级期中）数列{an}的通项公式是．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．
【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）﹣6；（2）16项．
【分析】（1）利用数列{an}的通项公式能求出这个数列的第4项．
（2）由150，能求出结果．
【解答】解：（1）数列{an}的通项公式是．
∴这个数列的第4项是：
a4＝42﹣7×4+6＝﹣6．
（2）150，即n2﹣7n﹣144＝0，
解得n＝16或n＝﹣9（舍），
∴150是这个数列的项，是第16项．
【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2024秋 黄浦区期末）若数列{an}与{bn}都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”．
（1）若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn＝2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求{an}的通项公式；
（2）若an＝2n，{bn}是首项为1、公比为的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求整数m的值；
（3）设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔数列”，求q的取值范围．
【考点】数列的单调性．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类．
【答案】（1）an＝3n或an＝4n﹣1；（2）m的值为21，22，23，24，25，26，27，28；（3）[2，+∞）．
【分析】（1）根据新定义及等差数列的性质，即可求解；
（2）根据新定义及等比数列的性质，即可求解；
（3）根据新定义及数列的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1，d∈Z，
∵数列a1，a1+d，a1+2d是数列2，4，8，16的“隔数列”，
∴d＞0，2＜a1＜4＜a1+d＜8＜a1+2d＜16，
∴a1＝3且2.5＜d＜5，∴d＝3或4，
∴an＝3n或an＝4n﹣1；
（2）设等比数列{bn}的公比为q，由数列2，4，6，8是数列1，q，q2，q3的“隔数列”，
可得q＞2，相应地q2＞4，q3＞8，
∴1＜2＜q＜4＜6＜q2＜8＜q3或1＜2＜q＜4＜q2＜6＜8＜q3，
解得或，
∴，
∴整数m的值为21，22，23，24，25，26，27，28；
（3）∵{Sn}是{an+1}的“隔数列”，∴{Sn}与{an+1}都是严格增数列，
∵{Sn}是严格增数列，∴对一切正整数恒成立，
又{an+1}是严格增数列，∴an+2＞an+1，
∴对一切正整数n都成立，
∴q＞1且a1＞0，
又Sn＞an对一切大于等于2的整数恒成立，
∴S1＜a2＜S2＜a3＜S3＜a4＜S4＜…＜an＜Sn＜an+1＜Sn+1＜…，
∴Sn＜an+1对一切正整数n都成立，
∴对一切正整数n都成立，
∴对一切正整数n都成立，
∴2﹣q≤0，
∴q的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查数列的新定义，数列的单调性，化归转化思想，属难题．
15．（2024秋 开福区校级月考）将n（n≥2）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
（2）计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）an＝﹣2n+19（1≤n≤100）；
（ⅱ）；
（3）已知数列a1，a2，…，an的逆序数为a，求an，an﹣1，…，a1的逆序数．
【考点】数列的单调性．
【专题】函数思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】（1）{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，2，1，4}．
（2）（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析．
（3）．
【分析】（1）根据逆序的定义求解即可；
（2）（ⅰ）由数列{an}为单调递减数列，即可得到逆序数；
（ⅱ）当n为奇数时，a1＞a3＞ ＞a2n﹣1＞0，当n为偶数时，0＞a2＞a4＞ ＞a2n，由此分析，即可得逆序数；
（3）在数列a1＝2，a2，…，an中，若a1＝2与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，即可得到答案．
【解答】解：（1）由1，2，3，4构成的逆序对有（4，3），（4，2），（4，1），（3，2），（3，1），（2，1），
若第一个数为4，则至少有3个逆序对；
若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1，4，2，3}；
若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1，3，4，2}或{2，1，4，3}；
若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{2，3，1，4}或{3，2，1，4}．
综上所述，符合条件的数列组合有：
{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，2，1，4}．
（2）（ⅰ）因为{an}为单调递减数列，
所以逆序数为．
（ⅱ）当n为奇数时，a1＞a3＞ ＞a2n﹣1＞0，
当n为偶数时，
，
所以0＞a2＞a4＞ ＞a2n，
当k为奇数时，逆序数为：
，
当k为偶数时，逆序数为：
．
（3）在数列a1＝2，a2，…，an中，若a1＝2与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，
则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，
所以在数列an，an﹣1，…，a1＝2中，逆序数为：
．
【点评】本题考查数列的新定义问题，解题关键是读懂题意，理解新定义的本质，属于中档题．
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