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期末热点.重难点 数学归纳法
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋 虹口区校级期末）用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024 松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　）
A．增加了
B．增加了
C．增加了，但减少了
D．增加了，但减少了
3．（2024 鼓楼区校级模拟）用数学归纳法证明：（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（　　）
A．1项 B．2k﹣1项 C．2k+1项 D．2k项
4．（2024春 宛城区校级月考）用数学归纳法证明：（n+1）（n+2） … （n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*），从n＝k到n＝k+1，等式的左边需要增乘的代数式是 （　　）
A．2k+1 B． C． D．2（2k+1）
5．（2024春 沈河区校级期中）平面上n个圆最多把平面分成an个区域，通过归纳推理猜测an的表达式，再利用数学归纳法证明．用数学归纳法证明的过程中，当n＝k+1时，需证ak+1＝ak+（　　）
A．k+1 B．k2﹣k+2 C．k（k+1） D．2k
6．（2023秋 平罗县校级期末）用数学归纳法证明，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．（2023春 斗门区校级期中）以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（　　）
A．2n＞2n+1（n≥2）
B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1）
C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3）
D．凸n边形的对角线条数
（多选）8．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：当f（k）≥k+1 1成立时，总能推出f（k+1）≥k+2成立，那么下列命题不一定成立的是（　　）
A．若f（1）＜2成立，则f（10）＜11成立
B．若f（3）≥4成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k+1成立
C．若f（2）＜3成立，则f（1）≥2成立
D．若f（4）≥5成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k+1成立
（多选）9．用数学归纳法证明对任意n≥k（n，k∈N*）都成立，则以下满足条件的k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 长沙县校级期末）用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是　 　．
11．（2024秋 西峰区校级月考）若f（n）＝1+2+22+23+…+25n﹣1用数学归纳法证明1+2+22+23+…+25n﹣1是31的倍数（n∈N+），在验证n＝1成立时，原式为 　 　．
12．（2024春 虹口区校级期末）记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 　 　项．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 上海校级期中）已知等差数列{an}的首项为a1＝2，公差为d，前n项和为Sn．若a1＝d＝1，用数学归纳法证明：．
14．（2024春 西城区校级期中）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有．
（1）直接写出a2，a3，a4的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
15．（2024秋 静安区校级月考）已知数列{an}满足a1＝1，设该数列的前n项和为Sn，且Sn，Sn+1，2a1成等差数列．
（1）用数学归纳法证明：（n是正整数）；
（2）求数列{an}的通项公式．
期末热点.重难点 数学归纳法
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋 虹口区校级期末）用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】数学归纳法．
【专题】规律型．
【答案】D
【分析】只须求出当n＝k时，左边的代数式，当n＝k+1时，左边的代数式，相减可得结果．
【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为，
当n＝k+1时，左边的代数式为 ，
故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为：
故选：D．
【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n＝1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．
2．（2024 松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　）
A．增加了
B．增加了
C．增加了，但减少了
D．增加了，但减少了
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】C
【分析】分别求出当n＝k，n＝k+1时，不等式左边的表达式，通过比较，即可求解．
【解答】解：当n＝k时，
不等式左边为，
当n＝k+1时，不等式的左边为，
故不等式左边增加了，但减少了．
故选：C．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
3．（2024 鼓楼区校级模拟）用数学归纳法证明：（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（　　）
A．1项 B．2k﹣1项 C．2k+1项 D．2k项
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；方程思想；综合法；推理和证明；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，分析f（k+1）、f（k）的项数，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，证明时，
f（k+1）中有2k+1项，f（k）中有2k项，
则f（k+1）比f（k）增加了2k+1﹣2k＝2k项．
故选：D．
【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意归纳分析f（n）的项数，属于基础题．
4．（2024春 宛城区校级月考）用数学归纳法证明：（n+1）（n+2） … （n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*），从n＝k到n＝k+1，等式的左边需要增乘的代数式是 （　　）
A．2k+1 B． C． D．2（2k+1）
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【答案】D
【分析】从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．
【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）（n∈N*）时，
n＝k时，左侧＝（k+1）（k+2）…（k+k），
n＝k+1时，左侧＝（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k﹣1）（k+1+k）（k+1+k+1），
从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是2（2k+1）．
故选：D．
【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（2024春 沈河区校级期中）平面上n个圆最多把平面分成an个区域，通过归纳推理猜测an的表达式，再利用数学归纳法证明．用数学归纳法证明的过程中，当n＝k+1时，需证ak+1＝ak+（　　）
A．k+1 B．k2﹣k+2 C．k（k+1） D．2k
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】对应思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】D
【分析】分别分析n＝1、2、3时an的值，然后归纳猜测an的表达式，再由归纳法证题的步骤分析得答案．
【解答】解：一个圆分2区域，2个圆分2+1×2，三个圆分2+1×2+2×2，
依此类推：n个圆分2+1×2+2×2+…+（n﹣1）×2＝n（n﹣1）+2个区域．
归纳猜测an＝n2﹣n+2．
假设当n＝k（k≥1）时成立，即，
则当n＝k+1时，ak+1＝ak+2k．
故选：D．
【点评】本题考查归纳法证题的步骤，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．
6．（2023秋 平罗县校级期末）用数学归纳法证明，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】数学归纳法．
【专题】证明题；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】B
【分析】求出当n＝k时，左边的代数式，当n＝k+1时，左边的代数式，相减可得结果．
【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为，
当n＝k+1时，左边的代数式为，
故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为，
故选：B．
【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n＝k到n＝k+1项的变化．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．（2023春 斗门区校级期中）以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（　　）
A．2n＞2n+1（n≥2）
B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1）
C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3）
D．凸n边形的对角线条数
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；简易逻辑；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于命题A，可以验证当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；
对于命题B，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝1时，不成立，所以满足条件；
对于命题C，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；
对于命题D，凸n边形对角线条数f（n），假设n＝k时命题成立，当n＝k+1时多了一条边，即多了一个顶点，故多了k个对角线，则可以验证当n＝k+1时不成立，不满足要求．
【解答】解：对于命题A，2n＞2n+1（n≥2），当n＝2的时有4＜5，故当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；
对于命题B，2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1），
假设n＝k时命题成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+2，
当n＝k+1时有2+4+6+…+2k+2（k+1）＝k2+k+2+2（k+1）＝k2+2k+1+k+3＝（k+1）2+（k+1）+2，
故对n＝k+1时命题也成立，对于初始值n＝1时有4≠4+2+2，不成立．所以满足条件；
对于命题C，凸n边形内角和为f（n）＝（n﹣1）π（n≥3），
假设n＝k时命题成立，即f（k）＝（k﹣1）π，
当n＝k+1时有f（k+1）＝f（k）+π＝kπ，故对n＝k+1时命题也成立，
对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；
对于命题D，凸n边形对角线条数f（n），
假设n＝k时命题成立，即f（k），
当n＝k+1时，有f（k+1）＝f（k）+k﹣1k﹣1，故不满足条件．
故选：ABC．
【点评】本题考查了数学归纳法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（多选）8．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：当f（k）≥k+1 1成立时，总能推出f（k+1）≥k+2成立，那么下列命题不一定成立的是（　　）
A．若f（1）＜2成立，则f（10）＜11成立
B．若f（3）≥4成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k+1成立
C．若f（2）＜3成立，则f（1）≥2成立
D．若f（4）≥5成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k+1成立
【考点】数学归纳法．
【专题】对应思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】根据四种命题的关系，数学归纳法进行判断即可．
【解答】解：对于A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f（1）＜2成立，则不一定f（10）＜11 成立；
对于B，当k＝1或2时，不一定有f（k）≥k+1成立；
对于C，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，
所以只能得出：若f（2）＜3成立，则f（1）＜2成立，不能得出f（1）≥2成立；
对于D，根据题意，若f（4） 5成立，则f（n0+1） n0+2（n0 4），
即f（k） k+1（k 5），综合f（4） 5，可知当k 4 时，均有f（k） k+1 成立．
故选：ABC．
【点评】本题考查了四种命题的关系，数学归纳法，属于中档题．
（多选）9．用数学归纳法证明对任意n≥k（n，k∈N*）都成立，则以下满足条件的k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据题意，分析成立的n的范围，结合数学归纳法的定义，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，对于，即11，
则有2n+1＞2n+2，
即2n＞2n+1，
又由n∈N*，则有n≥3，
即n≥3时，成立．
若数学归纳法证明对任意n≥k（n，k∈N*）都成立，必有k≥3，
故选：CD．
【点评】本题考查不等式的证明，涉及数学归纳法的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 长沙县校级期末）用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是　　．
【考点】数学归纳法．
【专题】计算题；规律型；分析法；推理和证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察不等式的特点，然后写出结果即可．
【解答】解：1n（n∈N*，且n≥2），
左侧的表达式的分母可知第k项是由1，2，3，到2k﹣1，结束；
第一步要证的不等式是：．
故答案为：．
【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意观察表达式的特征是解题的关键．
11．（2024秋 西峰区校级月考）若f（n）＝1+2+22+23+…+25n﹣1用数学归纳法证明1+2+22+23+…+25n﹣1是31的倍数（n∈N+），在验证n＝1成立时，原式为 　1+2+22+23+24　．
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】对应思想；数学模型法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】1+2+22+23+24．
【分析】由题意直接在1+2+22+23+…+25n﹣1中取n＝1得答案．
【解答】解：用数学归纳法证明1+2+22+23+…+25n﹣1是31的倍数（n∈N+），
在验证n＝1成立时，原式为1+2+22+23+24．
故答案为：1+2+22+23+24．
【点评】本题考查数学归纳法证题的步骤，是基础题．
12．（2024春 虹口区校级期末）记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 　3　项．
【考点】数学归纳法．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】3．
【分析】根据给定条件，分析从n＝k到n＝k+1时式子的变化即可作答．
【解答】解：因为f（k）＝1+2+3+ +（3k﹣1）+3k，f（k+1）＝1+2+3+ +（3k﹣1）+3k+（3k+1）+（3k+2）+3（k+1），
所以不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了3k+1，3k+2，3（k+1），共3项．
故答案为：3．
【点评】本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 上海校级期中）已知等差数列{an}的首项为a1＝2，公差为d，前n项和为Sn．若a1＝d＝1，用数学归纳法证明：．
【考点】数学归纳法证明命题；求等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】证明见解析．
【分析】根据给定条件，求出等差数列{an}的通项an，前n项和为Sn，再利用数学归纳法证明．
【解答】证明：等差数列{an}的首项为a1＝2，公差为d，前n项和为Sn．若a1＝d＝1，
可得an＝1+n﹣1＝n，Sn＝nn（n﹣1）（n2+n），
下面运用数学归纳法证明：
当n＝1时，，，原等式成立；
假设当n＝k（k∈N*）时，原等式成立，即，即，
则当n＝k+1时，[]2+（k+1）3
，
即当n＝k+1时，原等式成立，
所以对一切n∈N*，等式成立．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
14．（2024春 西城区校级期中）已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有．
（1）直接写出a2，a3，a4的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】（1）．
（2）猜想：，证明详见解析．
【分析】（1）直接结合数列递推式，即可求解；
（2）结合数学归纳法的法则，即可证明．
【解答】解：（1）．
（2）猜想：．（*）
下用数学归纳法证明：
①当n＝1时，（*）成立．
②假设n＝k（k≥1）时（*）成立，即．
则当n＝k+1时，，
故（*）对n＝k+1也成立．
由①②，对任意n∈N*，（*）成立，即．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于中档题．
15．（2024秋 静安区校级月考）已知数列{an}满足a1＝1，设该数列的前n项和为Sn，且Sn，Sn+1，2a1成等差数列．
（1）用数学归纳法证明：（n是正整数）；
（2）求数列{an}的通项公式．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）．
【分析】（1）根据已知条件，结合数学归纳法的步骤，即可求解；
（2）结合（1）的结论，并分类讨论，即可求解．
【解答】证明：（1）Sn，Sn+1，2a1成等差数列，a1＝1，
则1，
①当n＝1时，，等式成立，
②当n＝k时，成立，
当n＝k+1时，
，等式成立，
由①②可知，（n是正整数）；
（2）解：当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，
当n＝1时，也满足上式，
综上所述，数列{an}的通项公式为．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于中档题．
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