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期末热点.重难点 条件概率与全概率公式
一．选择题（共5小题）
1．（2025 湖南模拟）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为，，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 辽宁期末）甲、乙，丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件M＝“3个人都没去A景点”，事件N＝“甲独自去一个景点”，则P（M|N）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 哈尔滨校级期末）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（　　）
A．0.925 B．0.03 C．0.9 D．0.1
4．（2024秋 呼和浩特期末）已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 重庆校级期末）四本大小相同的语文、数学、英语、物理练习册随机堆叠成一座四层小“书山”，记事件A为“语文练习册不在最底层”，事件B为“数学练习册在语文练习册上层（可以不相邻）”，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 扬州期末）口袋中有n（n∈N*，n≥2）个黑球和3个白球，这n+3个球除颜色外完全相同，每次不放回地随机摸出一球，连摸两次．记事件A表示“第一次摸得黑球”，事件B表示“第二次摸得黑球”，则下列说法中正确的有（　　）
A．P（A）＝P（B）
B．P（B|A）＝P（A|B）
C．存在n∈N*，使得事件A与事件独立
D．存在n∈N*，使得
（多选）7．（2025 昆明一模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P（A），P（B），P（AB），则（　　）
A． B． C． D．
（多选）8．（2025 福建模拟）已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件A＝“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件B＝“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件C＝“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件D＝“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，则（　　）
A．A与B相互独立 B．C与D互为对立
C． D．P（A|D）+P（B|D）＝1
（多选）9．（2024秋 南昌校级期末）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以A1，A2分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以B表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A1与事件A2互斥
B．事件A1与事件B相互独立
C．
D．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 五华区校级期末）周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是　 　；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是　 　．
11．（2025 景德镇模拟）甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同．第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色．在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是　 　．
12．（2024秋 吉安期末）若，，，则P（B）＝　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 广州期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球．
（1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；
（2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论？
14．（2025 濮阳一模）假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2．由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9．求：
（1）当接收到信号0时传送的信号是0的概率；
（2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为X，求E（X）．
15．（2025 湖南模拟）某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7．（1）若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；
（2）若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率．
期末热点.重难点 条件概率与全概率公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 湖南模拟）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为，，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】设选择邮件投诉为事件A，维权成功为事件B，利用全概率公式求出P（B），再利用贝叶斯公式可求得P（A|B）的值．
【解答】解：设选择邮件投诉为事件A，维权成功为事件B，
则，
，
所以，
即在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全概率公式和贝叶斯公式的应用，属于中档题．
2．（2024秋 辽宁期末）甲、乙，丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件M＝“3个人都没去A景点”，事件N＝“甲独自去一个景点”，则P（M|N）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意结合古典概型求P（N），P（MN），进而可得条件概率．
【解答】解：事件M＝“3个人都没去A景点”，事件N＝“甲独自去一个景点”，
，，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
3．（2024秋 哈尔滨校级期末）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（　　）
A．0.925 B．0.03 C．0.9 D．0.1
【考点】全概率公式；对立事件的概率关系及计算．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式，即可求出结果．
【解答】解：由题知，产品是次品的概率是：
．
故选：D．
【点评】本题考查对立事件的概率公式及全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024秋 呼和浩特期末）已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】条件概率；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式计算即可．
【解答】解：设事件A：答对A题，事件B：答对B题，
则P（AB），
P（B|A），
∴P（A）．
故选：B．
【点评】本题考查了条件概率的计算，属于基础题．
5．（2024秋 重庆校级期末）四本大小相同的语文、数学、英语、物理练习册随机堆叠成一座四层小“书山”，记事件A为“语文练习册不在最底层”，事件B为“数学练习册在语文练习册上层（可以不相邻）”，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，根据排列组合问题求出事件A、事件AB的概率，结合条件概率的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，四本练习册随机堆叠，总的基本事件数为，
事件A包含的基本事件数为，
故，
事件AB：若数学在最顶层，共有种，
若数学在次顶层，共有种，
所以事件AB包含的基本事件数为6，
故，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了条件概率的概率公式，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 扬州期末）口袋中有n（n∈N*，n≥2）个黑球和3个白球，这n+3个球除颜色外完全相同，每次不放回地随机摸出一球，连摸两次．记事件A表示“第一次摸得黑球”，事件B表示“第二次摸得黑球”，则下列说法中正确的有（　　）
A．P（A）＝P（B）
B．P（B|A）＝P（A|B）
C．存在n∈N*，使得事件A与事件独立
D．存在n∈N*，使得
【考点】求解条件概率；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据古典概型的概率公式求解概率，即可根据条件概率的计算公式以及相互独立的性质，结合选项即可逐一求解．
【解答】解：由题意可知，，故A正确；
对于B，由于，，
且P（A）＝P（B），故P（B|A）＝P（A|B），B正确；
对于C．由于P（A，
而，
不存在n∈N*，满足P（A）＝P（A）P（），故事件A与事件不相互独立，C错误；
对于D，由于，
若P（A）＝P（AB），则，
解得n＝4，故存在n∈N*，使得P（A）＝P（AB），D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
（多选）7．（2025 昆明一模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P（A），P（B），P（AB），则（　　）
A． B． C． D．
【考点】求解条件概率；全概率公式；对立事件的概率关系及计算．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据对立事件的概率公式判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据和事件的概率公式判断D．
【解答】解：∵A，B是一个随机试验中的两个事件，P（A），P（B），P（AB），
∴P（）＝1﹣P（B）＝1，故A正确；
P（B|A），故B正确；
∵，
∴，故C正确；
，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查对立事件的概率公式、条件概率公式、全概率公式、和事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）8．（2025 福建模拟）已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件A＝“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件B＝“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件C＝“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件D＝“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，则（　　）
A．A与B相互独立 B．C与D互为对立
C． D．P（A|D）+P（B|D）＝1
【考点】求解条件概率；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质、对立事件、相互独立事件及条件概率逐项分析判断．
【解答】解：P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，
则P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝1，则P（AB）＝0.6+0.5﹣1＝0.1≠P（AB），A错误；
C＝AB，，CD＝ ，C+D＝Ω，则C，D互为对立，B正确；
P（A）＝0.6，P（AB）＝0.1，
则，C正确；
对于D，，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 南昌校级期末）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以A1，A2分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以B表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A1与事件A2互斥
B．事件A1与事件B相互独立
C．
D．
【考点】求解条件概率；事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A1和事件A2不可能同时发生，所以A1，A2互斥，故A正确；
对于C，若事件A2发生，由甲班队伍中抽出的是男生，此时乙队中有4个女生，3个男生，
则P（B|A2），C正确，
对于B、D，分析可得，，
则，
，
所以，
则，
所以事件A1与事件B不相互独立，故B错误，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 五华区校级期末）周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是　　；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是　　．
【考点】全概率公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】；．
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式来求解即可．
【解答】解：周先生到达会议室心到的概率为：；
若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是：
．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了全概率公式和贝叶斯公式的应用，属于中档题．
11．（2025 景德镇模拟）甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同．第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色．在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是　　．
【考点】全概率公式；求解条件概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】设事件A表示“第三步取出的是黑球”，事件B表示“第一步从甲口袋中取的球是黑色”，利用全概率公式求出P（A），再结合贝叶斯公式求解即可．
【解答】解：第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，
第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为0，
第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，
第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，
设事件A表示“第三步取出的是黑球”，事件B表示“第一步从甲口袋中取的球是黑色”，
则P（A），P（AB），
所以P（B|A）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了全概率公式和贝叶斯公式的应用，属于中档题．
12．（2024秋 吉安期末）若，，，则P（B）＝　　．
【考点】求解条件概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学建模．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求解．
【解答】解：∵，
∴．
又P（A）＝P（B）P（A|B）+P（）P（A|），
∴，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 广州期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球．
（1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；
（2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论？
【考点】全概率公式；样本点与样本空间；古典概型及其概率计算公式．
【专题】运算求解．
【答案】（1）样本空间见解析，第一次摸到红球的概率为；
（2）第二次摸到红球的概率为，第三次摸到红球的概率为．
【分析】（1）根据题意，设3个红球为A、B、C，1个黄球为1，第一次摸到红球为事件E1，由列举法分析试验的样本空间和第一次摸到红球为事件包含的基本事件，由古典概型公式计算可得答案；
（2）设第二次摸到红球为事件E2，第三次摸到红球为事件E3，由古典概型公式可得P（E2）、P（E3）的值，由此总结结论即可．
【解答】解：（1）根据题意，设3个红球为A、B、C，1个黄球为1，
则试验的样本空间Ω＝{（ABC）、（ABd）、（AC1）、（ACB）、（A1B）、（A1C）、
（BAC）、（BA1）、（BCA）、（BC1）、（B1A）、（B1C）、
（CAB）、（CA1）、（CB1）、（CBA）、（C1A）、（CAB）、
（1AB）、（1AC）、（1BA）、（1BC）、（1CA）、（1CB）}，则n（Ω）＝24，
记第一次摸到红球为事件E1，E1＝{（ABC）、（ABd）、（AC1）、（ACB）、（A1B）、（A1C）、
（BAC）、（BA1）、（BCA）、（BC1）、（B1A）、（B1C）、
（CAB）、（CA1）、（CB1）、（CBA）、（C1A）、（CAB）}，n（E1）＝18，
则P（E1）；
（2）根据题意，设第二次摸到红球为事件E2，第三次摸到红球为事件E3，
易得n（E2）＝18，则P（E2）；
n（E3）＝18，则P（E3）；
由此可得结论：每次摸到红球的概率都相等，都是．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及试验的样本空间的列举，属于基础题．
14．（2025 濮阳一模）假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2．由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9．求：
（1）当接收到信号0时传送的信号是0的概率；
（2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为X，求E（X）．
【考点】贝叶斯公式；二项分布的均值（数学期望）与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）E（X）＝0.66n．
【分析】（1）根据贝叶斯公式即可求；
（2）由二项分布求E（X）．
【解答】解：（1）记A0＝“传送信号0”，A1＝“传送信号1”，B＝“接收信号0”．
可知P（A0）＝0.8，P（A1）＝0.2，P（B|A0）＝0.8，P（B|A1）＝0.1，
由贝叶斯公式得所求的概率为：
，
即当接收到信号0时传送的信号是0的概率为．
（2）在一次传送中，接收到0的概率为P＝P（A0）P（B|A0）+P（A1）P（B|A1）＝0.8×0.8+0.2×0.1＝0.66，
每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有X B（n，0.66），
所以E（X）＝0.66n．
【点评】本题主要考查贝叶斯公式的应用，属于基础题．
15．（2025 湖南模拟）某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7．（1）若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；
（2）若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率．
【考点】全概率公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.82；
（2）0.398．
【分析】（1）设出对应事件，利用全概率公式完成概率计算；
（2）先分析目标事件所包含的事件，然后利用概率乘法公式计算出结果．
【解答】解：（1）设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品，
若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4：4：2，
则，
甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7，
则P（D|A）＝0.9，P（D|B）＝0.8，P（D|C）＝0.7，
故P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.9×0.4+0.8×0.4+0.7×0.2＝0.82，
所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82．
（2）设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E的情况有：
甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，
则P（E）＝0.9×0.8×（1﹣0.7）+0.9×（1﹣0.8）×0.7+（1﹣0.9）×0.8×0.7＝0.216+0.126+0.056＝0.398，
所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
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