资源简介

期末热点.重难点 一元线性回归模型及其应用
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 常州校级期末）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8）组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点（﹣2，5）和（1，3）后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本（3，9.3）的残差为（　　）
A．1.1 B．0.5 C．﹣0.5 D．﹣1.1
2．（2024秋 青山湖区校级期末）经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x 4 6 8 10
识图能力y 3 5 6 8
由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为15，则可预测其识图能力为（　　）
A．8 B．9.6 C．11.2 D．11.9
3．（2024秋 日照期末）已知x，y之间的一组数据：
x 1 2 3 4
y 5.5 4 3.5 3
若y与x满足回归方程bx+6，则b的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 天津期末）已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Ai（xi，yi）（i＝1，2，3， ，8），经验回归方程为2x，若，，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
5．（2024秋 桂林期末）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间X（单位：小时）与工资Y（单位：元）之间的关系如表：
工作时间X 2 4 5 6 8
工资Y 30 40 50 m 70
若Y对X的线性回归方程为Y＝6.5X+17.5，则m的值为（　　）
A．56.5 B．58 C．60 D．62.5
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 丽水期末）每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：
二月 三月 四月 五月 六月
月份代码x 1 2 3 4 5
月借阅量y（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据上表，可得y关于x的经验回归方程为，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的下四分位数为5.7
C．y与x的线性相关系数r＞0
D．七月的借阅量一定不少于6.12百册
（多选）7．（2025 安阳二模）对于一元线性回归模型，下列说法错误的是（　　）
A．对于随机误差e，在刻画成对变量的相关关系时，需假定E（e）＝0
B．解释变量的取值距离样本数据范围越远，预报的效果越差
C．在经验回归方程中，样本点（1，1.2）的残差为﹣0.2
D．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3个单位
（多选）8．（2024秋 济南期末）已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为，则（　　）
x 1 2 3 4 5
y 5 9 10 11 15
附：样本相关系数，经验回归方程斜率，截距．
A．
B．当x＝5时，对应样本点的残差为0.6
C．表中y的所有样本数据的第70百分位数是11
D．去掉样本点（3，10）后，y与x的样本相关系数不变
（多选）9．（2024秋 杭州校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量X服从正态分布X（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2
B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为13.5
C．对具有线性相关关系的变量x，y，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是﹣4
D．若决定系数R2越小，则两个变量的相关性越强
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 道里区校级期末）某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表所示，由表中的数据求得经验回归方程为，其中m为如表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当x＝6时，的值为 　 　（百万元）．
科技投入x（百万元） 1 2 3 4
收益y（百万元） m m+3 15 18
11．（2024秋 梧州期末）由数据（x1，y1），（x2，y2）， ，（x8，y8）可得y关于x的线性回归方程为，若7，则 　 　．
12．（2024秋 鹰潭期末）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是x+3.05，则表中a的值为　 　．
月份x 1 2 3 4
用水量y 4 5 a 7
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 韩城市期末）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码（t） 1 2 3 4 5
交易额y（单位：百亿元） 1.5 2 3.5 8 15
（Ⅰ）根据上表数据，计算y与t间的样本相关系数r（精确到0.01），并说明y与t的线性相关性的弱；（若0.75＜|r|＜1，则认为y与t的线性相关性很强；若0.3＜|r|≤0.75，则认为y与t的线性相性一般；若|r|≤0.3，则认为y与t的线性相关性较弱．）
（Ⅱ）利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，线性回归方程中，斜率和截距的最小法估计公式分别为．
14．（2024秋 潮州期末）“潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
试销单价x（元） 3 4 5 6 7
产品销量y件 20 16 15 12 6
（1）经计算相关系数r≈﹣0.97，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；
（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，．
参考数据：．
15．（2025 湖北模拟）某市为创建全国文明城市，自2019年1月1日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著．下表是该市人民广场某路口连续5年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据：记方案执行时间为执行后第x年，不礼让行人车数为y（单位：百辆）．
x/年 1 2 3 4 5
y/百辆 5.8 5.2 4.5 3.7 2.8
（1）求不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程；
（2）预测该路口2025年不礼让行人车数．
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
期末热点.重难点 一元线性回归模型及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 常州校级期末）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，8）组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点（﹣2，5）和（1，3）后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本（3，9.3）的残差为（　　）
A．1.1 B．0.5 C．﹣0.5 D．﹣1.1
【考点】经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得，由残差定义可得结果．
【解答】解：因为，所以增加两个样本点后x的平均数为，
因为，所以，
所以增加两个样本点后y的平均数为，
所以，解得：，所以新的经验回归方程为：，
则当x＝3时，，所以样本（3，9.3）的残差为9.3﹣9.8＝﹣0.5．
故选：C．
【点评】本题考查了经验回归方程，属于基础题．
2．（2024秋 青山湖区校级期末）经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x 4 6 8 10
识图能力y 3 5 6 8
由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为15，则可预测其识图能力为（　　）
A．8 B．9.6 C．11.2 D．11.9
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】求出，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令x＝15，代入求解即可．
【解答】解：由表中数据可得，，，
又因为线性回归方程恒过点（，），即（7，5.5），
所以，解得，
故，
当x＝15时，，
即小明同学的记忆能力为15，则可预测其识图能力为11.9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
3．（2024秋 日照期末）已知x，y之间的一组数据：
x 1 2 3 4
y 5.5 4 3.5 3
若y与x满足回归方程bx+6，则b的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据回归方程bx+6过点（，）求解即可．
【解答】解：由题意可知，，4，
因为回归方程bx+6过点（，），即（，4），
所以4b+6，
解得b．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
4．（2024秋 天津期末）已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Ai（xi，yi）（i＝1，2，3， ，8），经验回归方程为2x，若，，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】结合平均数公式，以及线性回归方程的性质，即可求解．
【解答】解：若，，
则，，
经验回归方程为2x，
则，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性回归方程的性质，是基础题．
5．（2024秋 桂林期末）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间X（单位：小时）与工资Y（单位：元）之间的关系如表：
工作时间X 2 4 5 6 8
工资Y 30 40 50 m 70
若Y对X的线性回归方程为Y＝6.5X+17.5，则m的值为（　　）
A．56.5 B．58 C．60 D．62.5
【考点】一元线性回归模型．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】求出样本中心点，代入回归直线即可求得结果．
【解答】解：由表格中数据知，（2+4+5+6+8）＝5，
（30+40+50+m+70）＝38，
由线性回归方程为Y＝6.5X+17.5，
∴6.5×5+17.5＝38，解得m＝60．
故选：C．
【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 丽水期末）每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：
二月 三月 四月 五月 六月
月份代码x 1 2 3 4 5
月借阅量y（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据上表，可得y关于x的经验回归方程为，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的下四分位数为5.7
C．y与x的线性相关系数r＞0
D．七月的借阅量一定不少于6.12百册
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A：根据回归方程必过样本中心点分析运算；对于B：根据百分位的定义分析运算；对于C：根据相关系数的概念分析理解；对于D：取x＝6，代入回归直线分析运算．
【解答】解：对于A，由题意可知，，，
因为经验回归方程恒过点（3，5.4），
所以，
解得，故A正确；
对于B，因为5×25%＝1.25，
所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的下四分位数为5.1，故B错误；
对于C，因为0.24＞0，所以y与x的线性相关系数r＞0，故C正确；
对于D，由选项A可知线性回归方程为，
当x＝6，则，
所以七月的借阅量约为6.12百册，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了经验回归方程的性质，属于中档题．
（多选）7．（2025 安阳二模）对于一元线性回归模型，下列说法错误的是（　　）
A．对于随机误差e，在刻画成对变量的相关关系时，需假定E（e）＝0
B．解释变量的取值距离样本数据范围越远，预报的效果越差
C．在经验回归方程中，样本点（1，1.2）的残差为﹣0.2
D．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3个单位
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据一元线性回归模型判断A，根据残差的定义判断BC，结合回归方程判断D．
【解答】解：对于A，由一元线性回归模型方程知，对于随机误差e，在刻画成对变量的相关关系时，需假定E（e）＝0，故A正确；
对于B，解释变量的取值距离样本数据范围越远，说明残差越大，故预报的效果越差，故B正确；
对于C，取x＝1可得，，
所以样本点（1，1.2）的残差为1.2﹣1＝0.2，故C错误；
对于D，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少2个单位，故D错误．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了一元线性回归模型的性质，考查了残差的定义，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 济南期末）已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为，则（　　）
x 1 2 3 4 5
y 5 9 10 11 15
附：样本相关系数，经验回归方程斜率，截距．
A．
B．当x＝5时，对应样本点的残差为0.6
C．表中y的所有样本数据的第70百分位数是11
D．去掉样本点（3，10）后，y与x的样本相关系数不变
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】求出样本中心点，利用样本中心点在经验回归方程上求出判断A；利用残差的概念判断B；利用百分数的概念判断C；利用样本中心点正好是（3，10）可判断D．
【解答】解：由表中数据可得，
，
因为经验回归方程过点（，），即经过点（3，10），
所以，
解得，故A错误；
当x＝5时，，
所以残差为15﹣14.4＝0.6，故B正确；
表中y的所有样本数据从小到大排列为5，9，10，11，15，
因为5×70%＝3.5，
所以表中y的所有样本数据的第70百分位数是11，故C正确；
因为，
所以去掉样本点（3，10）后，y与x的样本相关系数计算公式中的分子、分母都不发生变化不变，所以相关系数的值不变，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了百分位数的定义，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 杭州校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量X服从正态分布X（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2
B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为13.5
C．对具有线性相关关系的变量x，y，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是﹣4
D．若决定系数R2越小，则两个变量的相关性越强
【考点】经验回归方程与经验回归直线；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据正态分布概率性质计算判断A，由百分位数定义计算判断B，把中心点代入回归方程求解后判断C，利用相关系数与决定系数的概念判断D，从而得解．
【解答】解：选项A，因为X～N（3，σ2），P（X≤4）＝0.7，
所以P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣P（X＞3）＝0.7﹣0.5＝0.2，故A正确；
选项B，由于10×60%＝6，
因此第60百分位数为，故B错误；
选项C，因为经验回归方程为，样本中心为（m，2.8），
所以2.8＝0.3m﹣m，
解得m＝﹣4，故C正确；
选项D，因为决定系数R2越大，两个变量的相关性越强，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了百分位数的定义，以及经验回归方程的性质，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 道里区校级期末）某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表所示，由表中的数据求得经验回归方程为，其中m为如表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当x＝6时，的值为 　35　（百万元）．
科技投入x（百万元） 1 2 3 4
收益y（百万元） m m+3 15 18
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】35．
【分析】根据方差的定义求出m的值，再根据经验回归方程过点（，）求出，进而得到经验回归方程为6x﹣1，令x＝6求出的值即可．
【解答】解：由题意可知，表中科技投入x的4个数据的平均数为2.5，
所以表中科技投入x的4个数据的方差为[（1﹣2.5）2+（2﹣2.5）2+（3﹣2.5）2+（4﹣2.5）2]＝1.25，
所以m＝8×1.25＝10，
所以14，
又因为经验回归方程过点（，），即（2.5，14），
所以14＝2.51，
解得6，
所以经验回归方程为6x﹣1，
当x＝6时，6×6﹣1＝35．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
11．（2024秋 梧州期末）由数据（x1，y1），（x2，y2）， ，（x8，y8）可得y关于x的线性回归方程为，若7，则 　32　．
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】32．
【分析】根据线性回归方程过点（，）求解即可．
【解答】解：因为线性回归方程过点（，），
所以，
解得，
所以．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
12．（2024秋 鹰潭期末）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是x+3.05，则表中a的值为　6.2　．
月份x 1 2 3 4
用水量y 4 5 a 7
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】6.2．
【分析】根据样本中心即可求解．
【解答】解：由题中数据可得，，
即样本中心为：，代入回归方程x+3.05，得：，解得a＝6.2．
故答案为：6.2．
【点评】本题考查了回归方程，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 韩城市期末）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码（t） 1 2 3 4 5
交易额y（单位：百亿元） 1.5 2 3.5 8 15
（Ⅰ）根据上表数据，计算y与t间的样本相关系数r（精确到0.01），并说明y与t的线性相关性的弱；（若0.75＜|r|＜1，则认为y与t的线性相关性很强；若0.3＜|r|≤0.75，则认为y与t的线性相性一般；若|r|≤0.3，则认为y与t的线性相关性较弱．）
（Ⅱ）利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，线性回归方程中，斜率和截距的最小法估计公式分别为．
【考点】一元线性回归模型．
【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）r＝0.92，y与t的线性相关性很强．
（Ⅱ）y＝3.3t﹣3.9，预计2025年该平台的交易额为19.2百亿元．
【分析】（Ⅰ）根据公式计算r，比较即可得出结论．
（Ⅱ）计算样本中心点，求出回归方程的系数，即可求出线性回归方程，再利用回归方程预测即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意知，（1+2+3+4+5）＝3，（ti）（yi）＝33，
2（y1）2＝127.5，
（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22＝10，
所以，
所以y与t的线性相关性很强．
（Ⅱ）计算（1.5+2+3.5+8+15）＝6，
，
所以ab6﹣3.3×3＝﹣3.9，
所以y关于t的线性回归方程为y＝3.3t﹣3.9，
当t＝7时，，
所以预计2025年该平台的交易额为19.2百亿元．
【点评】本题考查了相关系数与线性回归方程的应用问题，是中档题．
14．（2024秋 潮州期末）“潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
试销单价x（元） 3 4 5 6 7
产品销量y件 20 16 15 12 6
（1）经计算相关系数r≈﹣0.97，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；
（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，．
参考数据：．
【考点】一元线性回归模型．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）3.2x+29.8；
（2）分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望．
【分析】（1）根据一元线性模型即可求解；
（2）根据分布列和数学期望的性质即可求解．
【解答】解：（1）由已知，得，
，
，，
则，
所以13.8﹣（﹣3.2）×5＝29.8，所以3.2x+29.8．
（2）当x＝3时，，当x＝4时，，
当x＝5时，13.8；当x＝6时，10.6；当x＝7时，，
因此该样本的残差的绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4，
所以“次数据”有2个，所以“次数据”个数X的可能取值为0，1，2．
，，
．所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
则数学期望．
【点评】本题考查了一元线性模型，属于中档题．
15．（2025 湖北模拟）某市为创建全国文明城市，自2019年1月1日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著．下表是该市人民广场某路口连续5年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据：记方案执行时间为执行后第x年，不礼让行人车数为y（单位：百辆）．
x/年 1 2 3 4 5
y/百辆 5.8 5.2 4.5 3.7 2.8
（1）求不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程；
（2）预测该路口2025年不礼让行人车数．
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
【考点】一元线性回归模型．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）140辆．
【分析】（1）根据线性回归方程的求法计算得解；
（2）根据所求回归方程代入数据预测即可．
【解答】解：（1）由表中数据可得，，，，，
所以，
所以，
所以不礼让行人车数y与执行时间x之间的经验回归方程为；
（2）由（1）可知，，
令x＝7得，，
所以2025年该路口不礼让行人车数的预测值是140辆．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
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